6.2 分式线性变换及其映射性质
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Transcript 6.2 分式线性变换及其映射性质
第二节 分式线性变换及其映射性质
• 一、分式线性函数
• 二、分式线性函数的映射性质
一、分式线性函数
1. 分式线性函数的定义
分式线性函数指如下形式的函数:
z
w
,
z
其中 , , 及 是复常数, 且 0.
说明: 1. 0, 保证了映射的保角性.
dw
否则,由于
0, 有w 常数.
2
dz ( z )
于是, 整个z平面映射成w平面上的一点.
z
2. 0, w
称为整线性映射.
z
z
w
3. 由w
z
,
z
w
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射.
z
4. 将w
的定义域及值域推广到扩充复平面C .
z
z
当 0, w
将z 映射成w ;
z
z
当 0, w
将z 及z 映射成
z
w 及w ;
z
5. 0, w
z ,
z
0, w
,
z
2
z
一般的分式线性方程由下面四种简单的函数复合可得：
(1) w z (为常数) (平移);
(2) w ei z(为实数) (旋转);
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
1
(4) w
(反演映射).
z
2. 四种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
(1) w z (为常数) (平移);
在此映射下, z沿向量 (即复数 所表示的向量)
的方向平移一段距离 后, 就得到w.
(z) (w)
w
z
o
(z) (w)
(2) w e z(为实数) (旋转);
i
把z旋转一个角度 得到w.
w
z
o
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
(z) (w)
把| z| 伸长 倍后得到w.
w
z
o
1
(4) w
(反演映射).
z
y
定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点
p, p'
r
满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
于 圆 周z r对 称.
x
P'
o
~~~~~~~~
P
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
如何由p找到关于圆周
z r的对称点p'呢?
设p在 圆 外, 从p作 圆 周 的
T
切 线pT , 连 接op,由T作op
的 垂 线Tp' , 与op交 于p' ,
那 么p与p'即 互 为 对 称 点
.
o
P
P'
1
1
反演映射w . 令w1 , 则w w1.
z
z
1 1 i
1 i
i 则有 w
e , w w1 e ,
设 z re ,
1
z r
r
从而 w1 z 1.
故z与w1是关于单位园周 z 1的对称点.
z
.z
关于单位圆对称
w1
关于实轴对称
w
w1
.
o
w.
二、分式线性函数的映射性质
1. 保圆性
所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为
圆周的性质.
特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.
定理6.2.1 在扩充复平面上, 分式线性函数
把圆映射成圆.
证 已知分式线性映射所确定的映射, 是平移,
1
旋转, 相似映射以及反演映射w 的复合.
z
显然, 平移, 旋转, 相似映射将圆映射成圆.
1
下证反演映射w 将圆映射成圆.
z
在圆方程
a ( x 2 y 2 ) bx cy d 0,
(如果a 0, 表示一条直线)中,
代换
zz
zz
x y z z, x
,y
,
2
2i
2
2
则得到圆方程的复数形式
az z z z d 0,
1
其中a, b, c, d为实常数, (b ic)为复常数.
2
1
函数w 将上式映射为
z
dww w w a 0,
它为w平面上的圆, (d 0表示直线).
2. 保交比性
定理6.2.2 对于扩充复平面上任意三个不同的点
z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1, z2 , z3分别映射成
w1 , w2 , w3 .
证 先考虑各点为有限的情况.
z
设所求的分式线性函数为w
,则
z
zk
wk
(k 1, 2,3).
zk
算出w w1 , w w2 , w3 w1 , w3 w2 , 并计算消去
, , , , 得到
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1
:
:
.
w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
(6.2.4)
(6.2.4)即可推出.
1 z 1
满足条件,
下证唯一性. 若另一函数为w
1 z 1
类似地可得到(6.2.4). 所以该变换是唯一的.
其次, 若已给出点除w3＝外, 其它点都是有限点.
z
那么所求函数有下列形式w
.
( z z3 )
zk
并且wk
( zk z3 )
(k 1, 2).
算出w w1 , w w2 , 并计算消去 , , , , 得到
w w1 z z1 z3 z1
:
.
w w2 z z2 z3 z2
(6.2.5)
(6.2.5)可推出所求函数为分式线性函数.
(6.2.5)可看作(6.2.4)中令w3 得到.
z1, z2, z3及w1 , w2 , w3中其它点为的情形可类似证.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1
:
:
.
w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
(6.2.4)
w w1 z z1 z3 z1
:
.
w w2 z z2 z3 z2
(6.2.5)
上两式左右两边分别称为w1 , w2 , w3及z1, z2 , z3的交比,
记作( w1 , w2 , w, w3 )及( z1 , z2 , z, z3 ).
系6.2.1 在分式线性函数所确定的映射中, 交比不变,即
(w1 , w2 , w, w3 ) ( z1 , z2 , z, z3 ).
3. 保对称性
y
定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点
p, p'
r
满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
于 圆 周z r对 称.
x
P'
o
~~~~~~~~
P
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
设给定圆C :| z z0 | R(0 R )，如果两个有限点
z1与z2在过点z0的同一条射线上, 且
|z1 z0 | | z2 z0 | R 2 .
则称z1与z2为关于圆C的对称点.
T
z0
z1
z2
引理6.2.1 不同两点z1与z2是关于C的对称点
通过z1与z2的任何圆与圆C直交.
证 如果C是直线或者C是半径为有限的圆, 而且
z1与z2之中有一个是无穷远点,引理显然成立.
现在考虑C :| z z0 | R(0 R ), 且
z1与z2是有限点的情形.
必要性() 设z1与z2是关于C的对称,
那么通过z1与z2的直线显然与圆C直交.
作过z1与z2的任何半径为有限的圆(如图).
过z0作圆的切线, 切点为z' . 于是,
|z ' z0 |2 | z1 z0 | | z2 z0 | R2 .
从而|z ' z0 | R. 即z ' C. 因此与C直交.
z
'
L
z2
z0
z1
充分性()
过z1与z2作一半径为有限的圆,
与圆C交于一点z ' . 由于圆与圆C直交,
圆在点z '的切线通过圆C的中心z0 .
显然z1与z2在这切线的同一侧. 又过z1与z2作直线L.
由于直线L与圆C直交, 它通过圆心z0 .
于是z1与z2在通过z0的射线上. 从而
| z1 z0 | | z2 z0 | R .
2
z
'
L
z2
即z1与z2关于圆C对称.
z0
z1
定理6.2.3 如果分式线性函数将z平面上的圆C
映为w平面上的圆C ' , 那么它把关于C的对称点z1与z2 ,
映为关于圆C '的对称点w1与w2 .
证 过w1与w2的任何圆是由过z1与z2的圆映射得来的.
由引理6.2.1知过z1与z2的任何圆与圆C直交，
从而由分式线性函数的保形性,
过w1与w2的任何圆与圆C '直交.
又由引理6.2.1知过w1与w2关于圆C '对称.
4. 几个特殊的分式线性函
数
问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
.
.
. z2
. z1
z1 , z2为C内任意两点
C
z1 z2上某点
Q
C上某点
Q . w2
.
与一一对应性
. w1
相矛盾.
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法:
方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
C
. z3
w3 .
z1 .
.w 2
. w1
. z
2
在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
C
. z3
w3 .
z1 .
.w1
. w2
. z
2
试求把上半平面 Im z 0保形映射成圆盘
例1
| w | 1的分式线性函数.
解 所求分式线性函数一方面把上半平面 Im z 0内
某点z 0映射成w 0，另一方面把 Im z 0映射成
圆盘 | w | ＝1.
由于分式线性函数把关于实轴 Im z 0的对称点
映射成关于 | w | ＝1的对称点,
所求函数不仅把z0映射成w 0, 而且把z0映射成.
因此, 所求线性函数的形式为
z z0
w
,
z z0
其中是复常数.
若z是实数, 那么z z,
z z0
| w || | |
|| | 1.
z z0
于是＝ei , 其中 是一实常数.
故所求的线性函数为
z z0
we
.
z z0
i
z z0
下证w e
的确是所求的线性函数.
z z0
i
因为当z是实数,| w | 1.
因此它将直线 Im z 0映射成 | w | 1,
把上半平面 Im z 0映射成 | w | 1或 | w | 1.
而当z z0时,| w | 0 1,
于是它将直线 Im z 0映射成 | w | 1,
把上半平面 Im z 0映射成 | w | 1.
例2
求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1,
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线
性映射.
解
由条件 w( 2i ) 0 知 :
z 2i 映射成 w 0.
z 2i
),
依上题结论得 w e (
z 2i
i
4i
因为 w( z ) e
2,
( z 2i )
i
i
所以 w( 2i ) e ( ).
4
i
i
arg w( 2i ) arg e arg( )
4
π
( ) 0,
2
π
所以 .
2
z 2i
).
从而所求映射为 w i (
z 2i
i
试求把圆盘 | z | 1保形映射成圆盘 | w | 1
例3
的分式线性函数.
y
1
z0
(z)
z0
1 x
v
(w)
1 u
解 所求分式线性函数一方面把 | z | 1内某点z 0
映射成w 0，把圆盘 | z | 1映射成圆盘 | w | ＝1，
1
把z 0 关于圆 | z | 1对称的点 映射成w 0关于
z0
| w | 1对称的点w .
因此, 所求线性函数的形式为
z z0
z z0
w
1
,
1
1 z0 z
z
z0
1
其中及 是复常数.
z0
其次当 | z | 1时,
1 z0 z z z z0 z z ( z z0 ),
于是
z z0
| w || 1 |
| 1 | 1.
1 z0 z
于是1＝ei , 其中是一实常数.
z z0
故所求的线性函数为 w e
.
1 z0 z
i z z0
下证w e
的确是所求的线性函数.
1 z0 z
i
因为当 | z | 1时,| w | 1.
因此它将 | z | 1映射成 | w | 1或 | w | 1.
而当z z0时,| w | 0 1,
于是它将 | z | 1映射成 | w | 1.
例4 求将单位圆映射为单位圆且满足条件w 1 0,
2
1
w 0的分式线性映射.
2
1
解 由条件 w ( ) 0 知 :
2
1
z 映射成 w 0.
2
2z 1
.
依上题结论得 w e
2 z
i
1
i 4
由此得 w e ,
3
2
1
故 arg w .
2
1
1
因为 w 0, 则 w 为正实数, 得 0.
2
2
2z 1
.
所以所求映射为 w
2 z
例5 求将上半平面 Im z 0映射成单位圆 w 1的
分式线性映射.
v
.i
y
(z )
.
.
1 o
.
1
.
1
o
(w )
.
1 u
x
解 在 x轴上任取三点 z1 1, z2 0, z3 1 使之
依次对应于 w 1上的三点 w1 1, w2 i, w3 1.
由于 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同,
所求的线性函数为(w1, w2 , w, w3 )＝( z1, z2 , z, z3 ),
即
化简得
w 1 1 1 z 1 1 1
:
:
,
w i 1 i z 0 1 0
z i
w
.
iz 1
注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得
出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射.
可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射
不唯一, 有无穷多个.