Transcript Arquimedes - ies emilio ferrari

“ todo cuerpo
sumergido
en un fluido
experimenta un
empuje vertical
y hacia arriba
igual al peso
del fluido
desalojado”
Arquímedes ( 287– 212 aC)
Arquímedes: contexto histórico
Periodo Jónico: del 700 al 500 a.C.
• Ciudades-estados independientes (Atenas, Esparta, Mileto,
Samos,..): siglo IV
a.C. los macedonios terminan con hegemonía Atenas
• Los conocimientos son herencia de Egipto y Mesopotamia y se formulan siguiendo
el esquema: Hipótesis  Teorema  Demostración.
• Matemática como ciencia independiente pero muy vinculada con Filosofía.
•Tales de Mileto, Pitágoras, Hippias, Demócrito, Hipócrates,..
Periodo Ateniense: del 500 al 350 a.C.
• Pericles(495-429 aC) convierte Atenas en centro creativo del mundo antiguo.
• Se crea el álgebra geométrica.
• Platón, Eudoxo y Aristóteles.
Periodo Helenístico: del 350 al 150 a.C.
• Atenas se consagra a la Filosofía con el epicureismo y el estoicismo.
•Ptolomeo I y su hijo Ptolomeo II hacen Alejandria el nuevo centro del saber:
•El Museo de Alejandría (primera Universidad, cuatro departamentos: Literatura,
Matemáticas, Astronomía y Medicina. No de Filosofia), La Biblioteca de Alejandría
(más de 400.000 papiros) y el Observatorio Astronómico
• El Museo muy influido por Aristóteles, libres de la teoría de ideales de Platón, la
Astronomía y las Matemáticas se desarrollan.
• Euclides, Eratóstenes:, Nicomedes, Apolonio de Perga, Diocles, Menelao, Henón,
Tolomeo, Diofanto, Pappus, Theón,, Sóstrato de Cnido, e Hypatia.
Arquímedes: todo empieza en Siracusa
• Fecha nacimiento aprox.año 287 a. C. en Siracusa, Sicilia.
• Hijo del astrónomo Fidias y se cree pariente del rey Hierón II.
• Podría haber sido alto cargo, pero prefirió consagrarse a las matemáticas.
• Discípulo de Euclides en el Museo de Alejandría.
•Muy joven destaca la desecación de los pantanos de Egipto mediante diques
móviles y donde hizo su primer gran invento, la coclea, máquina que servía
para elevar las aguas y regar ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba el
agua durante las inundaciones.
• Regresó a Siracusa, donde siguió sus estudios de geometría y mecánica.
• Arquímedes fue un águila solitaria. Con pocos compartió sus pensamientos:
Conon de Samos y Eratóstenes de Cirene.
•No tuvo sucesores inmediatos ni creó una escuela, por lo que sus obras
sirvieron como punto de partida para los matemáticos durante muchos siglos
• Era una sociedad basada en la explotación de los esclavos. Se consideraba
indigno y prohibitivo hacer un uso práctico de la ciencia, pero eran los
problemas cotidianos los que le fascinaban a Arquímedes, los que no podía
apartar de su mente. En los tiempos de Arquímedes
Avergonzado de esta afición, se negó a llevar un registro de sus artilugios
mecánicos; pero siguió construyéndolos y a ellos debe su fama.
Arquímedes: porqué es conocido
Físico, ingeniero, inventor y astrónomo
• Uno de los científicos más importantes de la antigüedad
clásica.
• En física: fundamentos de la hidrostática, estática y
el principio de la palanca.
• Diseñó innovadoras máquinas: armas de asedio y
el tornillo de Arquímedes.
Uno de los matemáticos más grandes
• Método de exhaución para calcular el área bajo el arco de
una parábola con el sumatorio de una serie infinita
• Dio la mejor aproximación del número pi
• Definió la espiral que lleva su nombre
• Fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución
• Un sistema para expresar números muy largos.
Arquímedes: el método de exahución
El método de exhaución
La mayor parte del trabajo de Arquímedes se refiere al cálculo de áreas de
superficies curvas y volúmenes de sólidos, que se obtienen a través de la
comparación con áreas y volúmenes de triángulos, rectángulos y cubos.
El Método de Exhauxión se basa en la reducción al absurdo.
Arquímedes aplicaba este método de tres formas distintas.
• Por «aproximación», una sucesión de polígonos regulares se inscribe en la
figura curva y se establece que la diferencia de áreas entre la figura curva y
los polígonos es menor que una cantidad dada para un número
suficientemente grande de lados del polígono regular. Normalmente cada
polígono se obtiene del anterior doblando el número de sus lados. Se atribuye
a Eudoxo y era usada por Euclides . Las otras dos formas de exhaución, en
cambio, son originales de Arquímedes.
• Por «compresión-diferencia», se encierra la figura mediante sucesiones de
polígonos regulares inscritos y circunscritos, tales que la diferencia entre ellos
puede hacerse menor que cualquier cantidad dada.
• Por «compresión-división», semejante el anterior, salvo en que la razón
(división) de las áreas de los polígonos se acerca a la unidad.
Arquímedes: el método mecánico
El método mecánico
Arquímedes poseía un método heurístico con el que descubría nuevos
teoremas, resultados que luego probaba con el método de exhaución.
• En 1906 Heiberg descubrió el El Palimpsesto de Arquímedes.
• Un palimpsesto es un papel de vitela con texto que ha sido sobreescrito
mediante el rascado de la tinta de obras existentes, habitual en la Edad Media.
• El Palimpsesto de Arquímedes tiene: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre
las espirales, Medida de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los
cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y Stomachion.
Los tres últimos se conocieron entonces por primera vez.
• El método mecánico consistía en "pesar" el área o volumen de una figura
en un plato de balanza, mientras en el otro ponía una figura de área o volumen
conocidos. Y con las distancias de los centros de gravedad al "fulcro" de la
balanza y aplicando las leyes de la palanca calculaba el área o volumen.
•Consideraba el área como una suma infinita de segmentos o un volumen
como una suma infinita de secciones planas.
Arquímedes: textos conservados
TRATADOS MATEMÁTICOS
-Sobre la esfera y el cilindro
- Sobre los conoides y de los esferoides
- Sobre la cuadratura de la parábola
- Sobre la medida del círculo
- Sobre las espirales
- El Arenario
TRATADOS SOBRE ESTÁTICA E HIDROSTÁTICA
-Sobre el equilibrio de los planos, donde enuncia la ley de la palanca.
-Sobre los cuerpos flotantes, donde enuncia el Principio de Arquímedes.
-El método, sobre teoremas mecánicos.
OBRAS DE MISCELÁNEA MATEMÁTICA
-El problema de los bueyes
-Stomachion o Loculus Archimedius
Arquímedes: sobre la esfera y el cilindro
Sobre la esfera y el cilindro
Este texto consta de dos libros dedicados a la geometría y que completan la obra de
Euclides. Elabora una geometría del espacio con rigor. Relaciona áreas de distintas figuras.
Busca una relación entre las áreas del cilindro y de la esfera.
Teorema 1: “la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo”.
Teorema 2: “el volumen de una esfera es igual a cuatro veces el volumen del cono que
tiene como base el círculo máximo de la esfera y como altura el radio de la esfera”
Teorema 3: “el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito”.
Arquímedes: sobre los conoides y esferoides y sobre espirales
Sobre los conoides y esferoides
Es un trabajo en 32 proposiciones en el que determina el volumen de paraboloides e
hiperboloides de revolución (Conoides), así como de Elipsoides de revolución (esferoides)
estratificando en cada paso con cilindros de igual altura.
Sobre espirales
Uno de sus libros más difíciles pues hay problemas no resolubles
con regla y compás ( requiere sumas de progresiones aritméticas)
La Espiral de Arquímedes o Uniforme es generada por la combinación de dos movimientos
uniformes: uno rectilíneo y otro rotacional, simultáneamente.
Es la curva que describe un punto que se mueve, con velocidad constante, sobre una recta
que a su vez gira con velocidad constante.
Su ecuación en coordenadas polares es r=a.Þ donde r es la distancia al origen, a una
constante y theta (Þ) es el ángulo girado.
Arquimedes logró trisecar el ángulo utilizando la espiral uniforme.
Desgraciadamente, los griegos exigían la resolución usando sólo
regla y compás, y su curva no se puede construir sólo con esos
instrumentos
Arquímedes: sobre la medida del círculo
Sobre la medida del círculo
El más importante porque calcula el área del círculo y estima el valor de la constante π.
Teorema I:
«El área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y
la longitud de la circunferencia del propio círculo»
"Puesto que el área del círculo no es ni mayor ni
menor que el área del triángulo, es igual a ella"
Teorema III
«La razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro
es menor que 3+1/7, pero mayor que 3+10/71».
Arquímedes demostró que el lado del hexágono regular inscrito en
un círculo es igual al radio del círculo; así como que el lado del
cuadrado circunscrito es igual al diámetro del círculo.
Las aproximaciones conseguidas servirían durante muchos siglos.
La irracionalidad de π fue demostrada en 1768 por Lambert.
La trascendencia de π (la no existencia de un polinomio algebraico con coeficientes
enteros del cual π fuese raíz) fue demostrada por von Lindeman en 1862.
Arquímedes: sobre la cuadratura de la parábola
Sobre la cuadratura de la parábola
"Muchos han intentado cuadrar el círculo, la elipse o el segmento de una hipérbola.Ninguno
parece haber pensado en cuadrar un segmento de una parábola, que es precisamente lo
que sí se puede calcular y que yo sí he encontrado".
En este texto de 24 proposiciones, demuestra con dos métodos: “ el área cercada por
una parábola y una línea recta es 4/3 del área de un triángulo de igual base y altura”.
Primer método o método de exhaución (proposiciones 1 a 17):
Conclusiones geométricas a partir de métodos de Estática: un área es una
suma de segmentos rectilíneos y un volumen una suma de secciones
planas. Apunta hacia las técnicas aritméticas de los límites del siglo XIX
Segundo método o método mecánico (proposiciones 18 a 24)
Procedimiento semejante al actual de integración para calcular el área.
Divide la región en triángulos y calcula sus áreas hasta aproximarse al
área buscada. Apunta hacia los infinitesimales de cuadratura del siglo
XVII que condujeron al Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz,
En la matemática griega, la suma no se podía obtener directamente ya que se trataba de
una suma infinita y esto no era aceptable. Se usaban métodos de 'reducción al absurdo'.
En su cuadratura fue necesario un doble absurdo: que el segmento parabólico no puede
ser ni mayor ni menor que 4/3t0; demostró que tenía que ser precisamente 4/3t0.
Arquímedes: El Arenario
El Arenario
El “contador de arena” es un sistema numérico para contar los granos de arena necesarios
para llenar el Universo, quería probar que el número de granos de arena del mar es infinito.
El número más grande era 10.000, la miríada, y usó las sucesivas potencias de 10.000
para expresar números muy grandes: la miríada de miríadas, la miríada de miríadas,…
Introdujo órdenes de magnitud mayores, hasta que vio podía continuar indefinidamente la
serie de números, uno de los descubrimientos más trascendentales de su época.
Como unidad de medida toma el grano de arena, que es la diezmilésima parte de un
grano de amapola y 40 de ellos medirían como un centímetro.
Después de demostrar que en una semilla de amapola cabrían 10.00 granos de arena,
calculó los granos que llenarían el Universo, es decir, los granos necesarios para llenar la
distancia de la Tierra al Sol, que resultó ser 8·1063.
El Arenario es tan importante, además, porque
contiene referencias a los trabajos de Aristarco,
donde por primera vez se expone la teoría
heliocéntrica (dos mil años antes que Copérnico).
Arquímedes: sobre el equilibrio de los planos
Sobre el equlibrio de los planos
Dos libros y consta de definiciones, postulados y teoremas (muy euclidiano).
Primer libro: condiciones de equilibrio de la palanca y determinación de los centros de
gravedad de algunas figuras planas cerradas (paralelogramos y triángulos).
Segundo libro trata de los centros de gravedad de los segmentos de parábola. El
razonamiento que usa es uno de los primeros ejemplos de inducción que se conoce.
Postulados de la Teoría general de la palanca:
1.- El centro de gravedad es único.
2.- El equilibrio se mantiene sustituyendo cuerpos equivalentes.
3.- El equilibrio sólo depende de los pesos y las distancias a las que los cuerpos están
colocados respecto al centro de rotación.
4.- Existe equilibrio en el caso particular de simetría completa de pesos y distancias y
existe desequilibrio cuando no existe tal simetría.
“ Dadme un punto de apoyo y
moveré el mundo “
Arquímedes: sobre los cuerpos flotantes
Sobre los cuerpos flotantes
En la primera parte, explica la ley del equilibrio de los fluidos.En la segunda parte, calcula
las posiciones de equilibrio de las secciones de los paraboloides.
Arquímedes descubrió el principio hidrostático que lleva su nombre, que se enuncia así:
Todo cuerpo sumergido en un líquido pierde una parte de su peso, o sufre un empuje
de abajo arriba, igual al del volumen de agua que desaloja.
Si el peso del objeto es menor que el del agua que ocupa el mismo volumen, el
cuerpo flota. Si es igual, permanece en equilibrio hundido en el líquido, y si es mayor
se hunde”.
Dicen que dio con este principio cuando el rey de Siracusa,
Hierón II, le ordenó descubrir si una corona que había encargado
era de oro macizo, sin romperla ni destruirla.
Preocupado por el problema, Arquímedes se sumergió con ella en
el baño, y cuando notó que el agua de la bañera rebosaba, se le
ocurrió la idea y corrió desnudo por las calles de Siracusa,
mientras gritaba: Eureka (lo encontré).
En 1586, Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y
agua inspirada en la obra de Arquímedes.
Arquímedes: algunos inventos famosos
El tornillo de Arquímedes
El rey Hierón II le encargó diseñar de un enorme barco, el Siracusia, el más
grande de la antigüedad clásica, capaz de cargar 600 personas e incluía
jardines, gimnasio y un templo a Afrodita. El tornillo de Arquímedes fue
inventado para extraer el agua de la sentina.
Era un mecanismo con una hoja con forma de tornillo dentro de un cilindro.
Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde
masas de aguas bajas a canales de irrigación. De hecho, sigue usándose
para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón y cereales.
La garra (o manus ferrea)
Los romanos acercaban todo lo que podían los barcos al muro para
enganchar sus escaleras a las fortificaciones.
Entonces la garra, que consistía en un brazo semejante a una grúa del cual
pendía un enorme gancho de metal, se dejaba caer sobre el barco. El
brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando la proa del barco
fuera del agua y provocando un ingreso del agua por la popa.
Esto causaba confusión, pero con un sistema de polea y cadenas, dejaba
caer súbitamente el barco provocando una escoración que podía volcarlo..
Arquímedes: el problema de los bueyes
El problema de los bueyes
Incluido en El Arenario, basado en un poema de Homero en la Odisea. Tiene dos partes:
“..cuenta extranjero, la cantidad de bueyes del Sol que pacían en las llanuras de la isla
2 – q·y2 = 1
Trasrepartidos
varias operaciones
se obtiene
una
ecuación:
Trinacia
en cuatro hatos: uno
blanco, otro
negro,
otro rubio yxotro,
a manchas.
(ecuación
Pell),
y cuyo
el menor
total
de reses
para el que
En cada hatode
había
toros
númeronúmero
guardaba la
siguiente
conmensurabilidad
: losse
blancos eran iguales
a la mitad
la tercera parte
de los toros
negros mas todos los
cumple
es mas
un número
de 206545
cifras.
rubios; y que los negros iguales a la cuarta parte mas la quinta parte de los de color
mezclado, mas todos los rubios. Mira con atención que los de color variado restantes eran
iguales a la sexta parte mas la séptima de los blancuzcos mas los rubios todos.
Para las bovinas hembras: las de blanco eran iguales a la tercera mas la cuarta parte del
rebaño negro entero ; y las negras, a su vez, se igualaban a la cuarta parte mas la quinta
parte de las de color mezclado cuando venían todas al pasto juntamente con los toros . Las
de manchas eran de igual número a la quinta parte mas la sexta del rebaño de rubios. Las
rubias iguales a la mitad de la tercera parte mas la séptima parte del rebaño blanco.
Y tú, extranjero, si llegaras a decir cuantas eran las reses del Sol, no serías llamado
ignorante, pero tampoco te contarían en el número de los sabios. Así que venga …
“..cuando el número de los toros blancos se mezcla con el de los toros negros, con igual
Se trata
de un sistema
deen
7 ecuaciones
8 incógnitas
y con
la en
firmeza
en profundidad
y en grosor
la llanura de las con
tres esquinas,
extendida
a lo lejos
todas condición
direcciones, se
con sulas
número.
Otra vez, deben
cuando ser
los toros
amarillos y los
dellenaba
que todas
soluciones
números
moteados enteros
estaban juntos
tal manera que Hay
su número
empezando
en uno se extendía
(ecs.deDiofánticas).
infinitas
soluciones.
hasta completar una figura triangular, donde no había toros de otros colores mezclados pero
ninguno de ellos faltaba. Si eres capaz ¡oh, extranjero! de sacar conclusiones entonces
partirás coronado de gloria..”
Arquímedes: el stomachión
El Stomachión
Es un juego geométrico, un puzzle, formado por una serie de piezas
poligonales que completan un rectágulo.
Se creía que era un rompecabezas para niños.
Arquímedes no pretendía juntar las piezas, sino: ¿de cuántas maneras se pueden juntar las
14 piezas para formar un cuadrado? Lo utiliza para escribir un tratado de Combinatoria
(que determinar las distintas maneras en que puede ser solucionado un problema dado).
El rompecabezas Stomachion
Consiste en la disección de un cuadrado en 14 piezas
poligonales: 11 triángulos, 2 cuadriláteros y un pentágono
1.- Los vértices de todas las piezas son puntos de la cuadrícula.
2.- La superficie de cada pieza corresponde a un número
entero de cuadrados unidad de la cuadrícula.
Para saber más: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Stomachion.asp
Arquímedes: muerte de un sabio
En el año 212 a.C. estalla la segunda Guerra Púnica entre Roma y
Cartago, y Siracusa, la ciudad de Arquímedes, esta situada en medio.
El general romano, Marcelo, estaba seguro de una rápida conquista pero
Siracusa, gracias a Arquímedes estaba bien preparado para la guerra.
Maquinaria de guerra de su invención: la garra, la catapulta y un sistema de
espejos y lentes que incendiaban los barcos al concentrar los rayos del sol.
La verosimilitud del incendio de las galeras romanas mediante los espejos
ardientes ha sido objeto de debate desde la Edad Media. En 1977,
D.L.Simms, especialista en combustión, realiza un informe en el que afirma
que es imposible, sin embargo, éste no ha sido totalmente aceptado.
Aprovechando la celebración de una fiesta religiosa en honor de
Artemisa, los romanos entran en la ciudad y la saquean, con la orden de
Marcelo de respetar la vida de Arquímedes.
La primera noticia que tuvo Arquímedes de que la ciudad había sido
tomada fue la sombra de un soldado romano sobre sus dibujos en la
arena. Al pisar el soldado sus dibujos, Arquímedes exclamó airadamente:
“No borres mis círculos”.
Otros afirman que Arquímedes se negó a obedecer la orden de que le
acompañara ante Marcelo, hasta que hubiera resuelto su problema.
El irritado soldado desenvainó su espada y le mató con 70 años.
Arquímedes en la actualidad
En 1935 se llama «Arquímedes » a un cráter
lunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona
oriental del Mare Imbrium.
También llevan su nombre la cordillera lunar
«Montes de Arquímedes » (25.3° N, 4.6° W) y
el asteroide 3600 Arquímedes.
La Medalla Fields lleva un retrato de Arquímedes,
junto con su prueba acerca de la relación
matemática entre las áreas y volúmenes de la
esfera y el cilindro.
La inscripción alrededor de la cabeza de
Arquímedes es una cita atribuida a él en latín:
"Transire suum pectus mundo que potiri"
(Superarse uno mismo y dominar el mundo).
La exclamación ¡ Eureka! es el lema del estado de California. Sin embargo,
hace referencia al momento del descubrimiento de oro que desató la Fiebre
del oro en California en 1848.
“ todo cuerpo
sumergido
en un fluido
experimenta un
empuje vertical
y hacia arriba
igual al peso
del fluido
desalojado”
Arquímedes ( 287– 212 aC)