Cortes (

cut-sets

)

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Corte por arestas

• Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G

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Corte por arestas

• • rank de um grafo: r = n  (G) • Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo corte de arestas : subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.

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Corte por arestas

• corte de arestas : subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.

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Corte por Aresta (Bondy & Murty)

• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S ´ ] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S ´

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Corte por Aresta (Bondy & Murty)

• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S ´ ] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S ´ • Seja C um subconjunto de E da forma [S, S ´ ], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S ´ =V-S

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Corte de arestas

• Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G. • Se G é conexo, então C é um subconjunto minimal de E tal que G C é desconexo.

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Propriedades

• Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; • Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; • Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas

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G

Exemplo:

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a b G

Exemplo:

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Exemplo:

a b G Conjunto de arestas que desconecta o grafo!

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Exemplo:

a b G Mas não é minimal!!!

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Exemplo:

a b G É um corte de arestas (bond)!!

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Cotree

• Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H).

• Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita

cotree

de G

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Teorema:

Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja de T.

Então:

a

uma aresta a) a cotree T aresta de G; não contém corte de b) T +

a

contem um arestas de G.

único corte de

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• Exercício!!!!!!!!!!

Prova

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Corte de vértices

• Subconjunto minimal de vértices V ´  cuja remoção de G o desconecta ou o V, transforma em um grafo nulo.

• G – V ´ : desconexo ou nulo e  subconjunto próprio V ´´  V ´ , G – V ´´ conexo e não nulo.

é

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Conectividade e Separabilidade

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Conectividade de arestas

• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K ´ (G)) • K ´ (G) : número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.

• K ´ (T) = ????, onde T é uma árvore.

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Conectividade de vértices

• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G)) • K(T) = ????, onde T é uma árvore.

• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.

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Conectividade de vértices

• K ´ (G) = K(G) = 0, G desconexo • K(G)  n – 2,  G  Kn

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Grafo separável

• Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1.

• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.

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Articulação

• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.

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Teorema

Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então: a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y  v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.

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Exemplo

Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por

e

linhas,

e

≥

n-1

. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?

Maior conectividade de vértices e arestas

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K(G) = ?

K'(G) = ?

Exemplo

n = 8 e m = 16 UFES

Teorema

A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G

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Prova

• Seja w o vértice de grau mínimo de G (  ) • • É possível desconectar G, removendo-se as  arestas incidentes a w.

 ≥ K ´ (G)

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Teorema

A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G

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Questão

Sejam G = (V,E) um grafo e E ´ um corte de arestas de G. É sempre possível encontrar um corte de vértices V ´ tal que |V ´ |  |E ´ |?

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

G, K(G)



K

´

(G)

 

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Corolário

Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas

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Teorema

O valor máximo de K(G) de um grafo G = (V,E), com n vértices e m arestas (m ≥ n-1) é  2m/n 

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Grafo k-conexo

• Seja k um inteiro positivo. Diz-se que um grafo G é k-conexo em vértices quando não existe corte de vértices de tamanho menor que

k.

• Analogamente, diz-se que G é

k

-conexo em arestas

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Grafo biconexo

• Um grafo é biconexo ou 2-conexo em vértices (arestas) sss não possuir articulações (pontes).

• Componentes biconexos ou blocos: subgrafos maximais de G que sejam biconexos em vértices ou isomorfos a K 2 .

• G é biconexo em vértices: possui um único bloco que é o próprio G.

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Teorema

Seja G = (V, E) um grafo. Então: a) Cada aresta de E pertence exatamente a um bloco do grafo; b) Um vértice v de V é articulação sss v pertencer a mais de um bloco do grafo.

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Teorema

Um grafo G = (V,E), |V| > 2 é biconexo sss cada par de vértices de G está contido em algum ciclo

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Teorema

Seja G um grafo k conexo. Então existe algum ciclo de G passando por cada subconjunto de k vértices

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Corte de arcos

• Um corte de arcos em um grafo direcionado G induz ao particionamento de V em dois subconjuntos disjuntos disjuntos V1 e V2 de maneira que os arcos do corte possuem um dos extremos em V1 e o outro em V2. Todos os arcos no corte podem estar direcionadas de V1 para V2, de V2 para V1 ou em ambas as direções.

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CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos