Transcript Grafos: uma introdução no ensino fundamental

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE
FÍSICA E DE MATEMÁTICA
REFLEXÕES DA DOCÊNCIA
GRAFOS: uma introdução no Ensino
Fundamental
Mestranda: Rita Maria Cargnin
PROPOSTA
CONSIDERAÇÕES
FINAIS
METODOLOGIA
CONTEÚDO
RESULTADOS
ATIVIDADES
Como surgiu a proposta...
A partir da participação em uma Oficina sobre Grafos, ministrada por
colegas na disciplina de Fundamentos de Álgebra do curso do Mestrado
Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática;
A experiência foi muito interessante e de grande valia, já que não possuía
conhecimento sobre “ Grafos”;
Surgiu então o interesse em trabalhar com o assunto e, por meio, da
parceria com a colega Sheila Réquia, a oportunidade de aplicar as
atividades com alunos da escola onde esta leciona.
Objetivo
Introduzir o assunto “Grafos” a alunos
do 5º ano de uma escola municipal de
Santa Maria, por meio de atividades
variadas.
Objetivos Específicos
 Valorizar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de
problemas;
 Contribuir para o desenvolvimento do raciocínio;
 Estimular a criatividade;
 Motivar os alunos.
Justificativa
Considerando a importância crescente de problemas matemáticos
relacionados ao nosso cotidiano, que implicam tomada de decisões,
podemos considerar que os “grafos”
se constituem em uma
importante ferramenta para representar situações, entender esquemas
e fazer a transposição desses esquemas para novas situações.
Desta forma, essa proposta
pode auxiliar no entendimento e
aplicação do conhecimento matemático. Uma vez, que esse, muitas
vezes, é visto apenas como um “amontoado” de cálculos e fórmulas.
Sem a percepção de que a matemática está envolvida e nos auxilia
em diversas ações do dia a dia, inclusive nas mais simples.
Aspectos Metodológicos
Público Alvo
As atividades foram aplicadas a
24 alunos do 5º ano da Escola
Municipal
de
Ensino
Fundamental Padre Nóbrega.
Fundada em 11 de maio de
1978 e localizada na Rua João
Olinto Réquia, s/nº, Vila
Rossato.
Escola Padre Nóbrega
Possui em torno de 300
alunos e 27 professores.
Atividades no turno da
manhã, com os anos finais e
no turno da tarde, anos
iniciais.
Foi elaborada uma pequena apresentação em Power Point,
com o objetivo de introduzir o assunto “Grafos” para os alunos;
Em seguida, os alunos formaram duplas;
Foram apresentadas e entregues as atividades para serem
realizadas em dupla mas, devolvidas às professoras
individualmente;
A proposta foi aplicada em 01/10/2013 , com duração
aproximada de 1 hora e 30 minutos;
As professoras auxiliaram as duplas no encaminhamento das
atividades e na socialização dos resultados.
Você já ouviu falar em grafo?
Que
relação você
acha que tem essa
Rota com um grafo
?
Interação e observações dos alunos
 Quando questionados, a maioria dos alunos
respondeu que nunca tinha ouvido falar no
?
assunto.
 Alguns responderam que era um gráfico ou
podia ser até um garfo;
 Após mostrarmos a figura da rota da Quarta
Colônia, os alunos passaram a afirmar que
se tratava de um mapa;
 Pedimos então, que observassem como
eram
representadas
estradas nesta rota.
as
cidades
e
as
Grafo
É um ramo da matemática, que estuda a relação entre objetos de um
mesmo conjunto e possui muitas aplicações em diversas áreas do
conhecimento.
O matemático suíço Leonhard Euler, no século XVIII, foi o primeiro a
estudar sobre grafos. Hoje a Teoria de Grafos é utilizada em diversas
áreas do conhecimento. Como para representar alguma espécie de
relação entre elementos de: mapas rodoviários, redes sociais, grau de
parentesco, circuitos de computadores e outros.
Fazemos uso de grafos sem percebermos. Por exemplo, ao sair da
escola e ir até a Padaria Delícia*:
* Estabelecimento comercial próximo ao colégio, frequentado pela maioria dos alunos.
Exemplo de Grafo
Igreja
Casa A
Padaria
Delícia
Conceito básico: Um grafo “G” é um conjunto de
pontos, chamados vértices “V”, ligados por
segmentos, denominadas arestas “A”.
Escola
Nas extremidades das arestas encontramos vértices.
Você já havia ouvido falar em vértices e arestas?
Onde mais podemos encontrar esses elementos?
Interação e observações dos alunos
 A maioria dos alunos demonstrou ter
Você entendeu o
conceito de grafo?
O exemplo do
caminho da escola
até a padaria o
ajudou no
entendimento?
entendido o conceito de “grafo”;
 Citaram outros exemplos de grafos, como
o caminho da casa até a escola, a
disposição deles na sala de aula.
 Confirmaram que já haviam ouvido falar
em vértices e arestas;
 Deram exemplos de figuras que possuem
esse
elementos,
como:
quadrado
e
triângulo;
 Usamos esses exemplos para explorarmos
o
número
de
vértices
e
encontradas nas figuras citadas.
arestas
Outra Situação
Caminho
percorrido pelo
caminhão de
coleta do lixo:
Exemplo de Grafo
Representação dessa situação usando pontos e retas:
C
B
1- Quantos vértices e arestas tem essa
figura? E o que representam?
D
2- Quantas arestas incidem em cada
vértice?
3- Cada vértice está diretamente
relacionado a quais outros?
A
E
GRAFO
4- O que se pode concluir em relação ao
número de arestas de cada vértice e
número de vértices relacionados a ele?
Interação e observações dos alunos
Você poderia
citar outros
exemplos onde
são utilizados
grafos para
representação e
orientação?
 Em diálogo com os alunos surgiram outros
exemplos
como:
orientação
do
caminho
seguido pelo carteiro, a relação de jogos entre
times em um campeonato de futebol;
 Com relação ao exemplo do caminhão de
coleta de lixo, perguntamos ao alunos: “ É
possível
traçar um caminho pelo qual o
caminhão percorreria uma única vez cada rua,
de modo a economizar tempo e combustível?”
 Foi dado tempo para que pensassem e
sugerissem
correta.
trajetos.
Apenas
uma
sugestão
Interação e observações dos alunos
Com relação às perguntas, os alunos apresentaram
dificuldade em responder as questões “2”, “3” e “4” por
isso, explicamos cada questão individualmente no
quadro. Por exemplo:

O vértice “A” possui 3 arestas e esse está
diretamente relacionado a outros 3 vértices: B, D e E;

O vértice “B” possui 4 arestas e esse está diretamente
relacionado a outros 4 vértices: A, C, D e E.
Essas considerações foram feitas para todos os outros
vértices;

A partir delas, pôde-se concluir que o número de
arestas do vértice determina com quantos outros
vértices este está diretamente relacionado.
Grafos e o Teorema das 4 Cores
Dado um mapa, dividido em regiões, quatro cores
são suficientes para colori-lo de forma que, regiões
vizinhas não tenham a mesma cor.
Exemplo de Grafo
Bolívia
Brasil
Paraguai
Argentin
a
Urugua
i
Interação e observações dos alunos
 Todos responderam que as “bolinhas”
eram
O que os vértices e
as arestas
representam no
“grafo” anterior?
os
países
e
os
“tracinhos”
demostravam quais países eram vizinhos;
 Mais uma vez, salientamos ao alunos que
as
“bolinhas”,
são
os
vértices
e
os
“tracinhos”, as arestas do grafo;
 Além
disso,
pedimos
para
que
observassem que pelo Teoremas das 4
Cores, os vértices que estão relacionados
entre si não podem ter a mesma cor.
Atividade 1
Com quantas cores podemos pintar esse mapa?
E se os estados vizinhos não pudessem ter a mesma cor? Qual o
número mínimo de cores?
Atividade 2
Construa um grafo do mapa da região sul, considerando que
os estados serão os vértices e as fronteiras as arestas.
Pinte-o de acordo com as cores que você pintou no mapa.
Podemos observar formas geométricas conhecidas?
Atividade 3
Pinte o mapa do Brasil utilizando o mínimo de cores possíveis.
Lembrando que os estados vizinhos não devem ter a mesma cor.
Atividade 4
E se você utilizar apenas quatro cores e a seguinte condição: “Estados
que fazem divisa não podem ser pintados da mesma cor”.
É possível pintar
o mapa usando
essas condições?
Atividade 5
É possível construir um grafo do mapa do Brasil, onde os
estados são representados por vértices e as fronteiras
por arestas? Pinte os vértices da mesma cor que você
pintou os estados correspondentes.
Exemplo de Árvore Genealógica
Atividades 6 e 7
6- Construa sua
árvore
genealógica. Pintea de forma que
elementos ligados
diretamente, não
tenham a mesma
cor.
7- Construa um
grafo da sua
árvore
genealógica
Quem seriam os
vértices desse
grafo?
Resultados
Atividades 1 e 2
Os alunos foram orientados a utilizarem o mínimo de cores possíveis e a evitarem
pintar os estados com algumas cores: azul, verde...
A maioria teve facilidade no desenvolvimento da atividade, alguns necessitaram da
ajuda das professoras para o desenho dos grafos;
Todos os alunos completaram as duas atividades e pintaram conforme solicitado.
Atividade 3
Nessa atividade os alunos tiveram maior dificuldade;
Como havíamos falado sobre o “Teorema das Quatro Cores”, os
alunos tentaram pintar o mapa utilizando apenas quatro cores;
Mas, a maioria utilizou 5 cores ou mais;
Como iniciaram pintando de baixo
para cima utilizando 4 cores, a maioria
teve dificuldade ao chegar nos
estados de Tocantins e Bahia e
necessitaram de mais uma cor para
finalizar a pintura;
Então, em conjunto com os alunos,
chegou-se a conclusão sobre uma
estratégia a ser adotada “começar
pintando primeiro os estados com mais
fronteiras e pintar com a mesma cor os
estados que não são vizinhos dele.
Repetir o processo com os estados que
faltam pintar, até terminar”;
Todos os
atividade.
alunos
concluíram
essa
Atividades 4 e 5
A maioria dos alunos não finalizou a atividade 5, apenas os que já haviam
pintado o mapa da “atividade 3”, com quatro cores;
As atividades 6 e 7, referentes à arvore genealógica, ficaram de tema
para casa.
Avaliação das Atividades
 Os estudantes fizeram uma avaliação das atividades de “grafos”, na
aula de informática:
Qual sua opinião sobre as atividades realizadas na aula de
matemática ?
O que você entendeu por grafo? Dê um exemplo?
 Nesta oportunidade, eles puderam expressar com suas palavras o
que acharam da aula sobre grafos e o que entenderam sobre o
conteúdo, sem consulta ao material fornecido em aula.
 A professora de informática auxiliou-os na elaboração dos textos, na
organização dos arquivos , na busca das imagens na internet....
“Hoje nós aprendemos a fazer os grafos: Me disseram que um grafo é
um conjunto de pontos chamados vértices conectados por linhas
chamadas de arestas. Eu achei muito legal isso por que eu nunca
tinha ouvido falar nisso. Eu achei muito interessante, explicaram
também uma rota do caminhão do lixo, onde ele poderia passar sem
repetir o mesmo lugar, eu achei legal, pintamos os vértices e
colorimos alguns mapas com apenas quatro cores, e também
aprendemos sobre a árvore genealógica em forma de grafo”.
Estudante “A”
“A aula falava sobre grafos que são esses exemplos de imagens, e muitos mais.
Depois elas deram exercícios de grafos para pintar com o mínimo de cores possíveis as
regiões e estados mas cada estado de uma cor e estados vizinhos não podem ter a
mesma cor. Depois no fim da aula mostraram o exemplo de uma árvore genealógica
que um grafo pode representar... ” E todos aprenderam novas coisas.”
Estudantes “B” e “C”
“Hoje na aula de matemática aprendemos sobre o grafo. O grafo é
um tipo de rota. Veja na imagem, isso é um grafo, grafo é um tipo de
explicação.
Isso é o mapa do Brasil.
MAS ISSO E O GRAFO DO MAPA DO BRASIL
Então o grafo é um tipo de explicação de caminho para se localizar, a
professora explicou que matemática não é só conta, ela disse que na
aula de hoje nos íamos aprender sobre o grafo...”
Estudante “D”
“Hoje eu fiz muita coisa legal, eu tive aula de matemática com a professora e aprendi
a fazer grafos. Grafos são como uma rota para você ir para um lugar, por exemplo um
carteiro faz uma rota para entregar as cartas, tipo para ele ir para uma casa ele
precisa passar por uma rua e dai ele pensa se ele passar por outra rua ele consegue
entregar as cartas naquela casa e também nas outras.
...depois ela me ensinou que grafos são como uma árvore genealógica por que ela
sempre tem uma rota de cada pessoa da família”.
Estudante “E”
Considerações Finais
 A proposta proporcionou o conhecimento de um assunto novo e, na
maiorias das vezes, distante da educação básica – “Grafos”;
 Houve grande interação dos alunos durante a apresentação do
assunto por meio de questionamentos e de exemplos de grafos
sugeridos por eles;
 Pode-se perceber o entendimento dos alunos em relação ao assunto,
nas avaliações da atividade, elaboradas na aula de informática;
 Dentro do assunto “Grafos” foram abordados diversos elementos
matemáticos como: vértices, arestas, figuras planas ...
 Como sugestão, poder-se-ia trabalhar essa proposta de maneira
interdisciplinar, envolvendo conhecimentos de geografia, informática,
ciências e outras.
Bibliografia Consultada
CONRADO, C.; VASCONCELOS, E.; BRESOLIN, N. R.Q. Trabalhando com grafos. Apresentação
na Disciplina Fundamentos da Álgebra, Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de
Matemática: Centro Universitário Franciscano, 2013. Anotações de aula.
DALL’ASTA, M. N.; GAUÉRIO, E. G.; PEREIRA, E. C. Teoria de Grafos e Aplicações Cotidianas no
Ensino Fundamental. Revista UDESC em Ação, v.5, n.1, 2011. Disponível em:
<http://www.revistas.udesc.br/index.php/udescemacao/article/view/2236/pdf_71>. Acesso
em: 01 set. 2013.
LIMA, E.L. Alguns problemas Clássicos sobre Grafos. Revista do Professor de Matemática, n.12.
Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro. p. 36-42, 1998.
LIMA, L.; et al. Grafos. In: Seminário de Matemática, 2000.
<http://www.lurdeslima.no.sapo.pt/grafos.pdf>. Acesso em: 10 set.2013.
Disponível
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