Equations différentielles ordinaires
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Equations différentielles ordinaires
Généralités
* EDO ๏บ ๐น ๐ก, ๐ก , ๐ฆ โฒ ๐ก , โฆ , ๐ฆ ๐ ๐ก = 0 où F est connue, y(t) est la fonction inconnue
de lโunique variable indépendante t (ou x, โฆ).
* Lโordre n de lโéquation est celui de la dérivée de plus haut degré.
Exemple: (y-t) / (y+t) - yโ = 0 est une EDO du premier ordre.
On considérera les problèmes dits de Cauchy, ayant la forme :
๐ฆ โฒ ๐ก = ๐(๐ก, ๐ฆ ๐ก )
๐ฆ ๐ก0 = ๐ฆ0
Avec t ๏ [t0, T] et où y0 est appelée โcondition initialeโ (CI)
Si la fonction f(t, y) est continue par rapport à ses 2 variables et possède la propriété :
โ ๐ฟ โ โ+ ๐ก๐๐ ๐๐ข๐ ๐ ๐ก, ๐ฆ1 โ ๐ ๐ก, ๐ฆ2 โค ๐ฟ. ๐ฆ1 โ ๐ฆ2 , โ๐ฆ1 , ๐ฆ2 โ โ
Alors la solution y = y(t) existe et est unique.
(Théorème de Cauchy-Lipschitz)
* Les EDO dโordre n>1, peuvent se ramener à un système de n EDO dโordre 1.
* Ces solutions sont rarement résolues analytiquement, on utilise donc des méthodes
numériques pour approcher ces solutions. Le domaine sur lequel la solution est à
déterminer doit être limité: t ๏ [t0,T] et divisé en M intervalles de longueur h=(T-t0)/M
appelé pas de discrétisation. Pour chaque nลud ti, i=0, 1, 2, โฆ, M on cherche la valeur
ui qui approche yi = y(ti). Lโensemble {u0 = y0, u1, ..., uM} est la solution numérique.
M=4 intervalles, mais
M+1=5 nลuds
t0
t1
t2
t3
t4=T
1
Equations différentielles ordinaires
Condition initiale (CI), unicité
Toutes ces courbes
ont la même dérivée
yโ = f(t, y)
Les CI assurent lโunicité de la solution
Si la CI est à lโintérieur, résoudre en 2 fois :
CI๏จgauche, puis CI๏จdroite
2
Equations différentielles ordinaires
Méthodes dโEuler
On peut obtenir la méthode dโEuler en intégrant lโEDO du
problème de Cauchy sur une étape (tn ๏ tn+1) :
๐ฆ โฒ ๐ก = ๐ ๐ก, ๐ฆ ๐ก
On a :
๐ก๐+1
๐๐ฆ = ๐ฆ ๐ก๐+1 โ ๐ฆ ๐ก๐ = ๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐
๐ก๐
๐ก๐+1
๐ก๐+1
๐๐ฆ =
๐ก๐
โน ๐๐ฆ = ๐ ๐ก, ๐ฆ ๐ก . ๐๐ก
๐ ๐ก, ๐ฆ ๐ก . ๐๐ก โ ๐ก๐+1 โ ๐ก๐ . ๐ ๐ก๐ , ๐ฆ๐ = โ. ๐ ๐ก๐ , ๐ฆ๐
๐ก๐
En remplaçant « y » par la solution numérique « u » on a la méthode explicite dโEuler :
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = โ. ๐ ๐ก๐ , ๐ข๐ โน ๐ข๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐๐
(E1)
Lโapproximation rectangulaire avec fn+1, donne la méthode implicite dโEuler :
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = โ. ๐ ๐ก๐+1 , ๐ข๐+1 โน ๐ข๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐๐+1
(E2)
Cette dernière méthode ne permet pas dโobtenir un+1 directement, mais seulement après
la résolution de lโéquation ๐ข๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐ ๐ก๐+1 , ๐ข๐+1 où un+1 est lโinconnue. On peut
utiliser les fonctions fzero ou fsolve ou une méthode de point fixe à cette fin(voir chapitre
3
« Equations Non-Linéaires » ).
Equations différentielles ordinaires
Soit le problème de Cauchy ci-contre. On cherche à
le résoudre numériquement sur le domaine [0, 3]:
f=@(t, u) (u-t)./(u+4*t);
(E1)
Méthodes dโEuler: un exemple
๐ฆโฒ
๐ฆโ๐ก
๐ก =
๐ฆ + 4๐ก
๐ฆ ๐ก0 = 1
f=@(t, u) (u-t)./(u+4*t);
% u(n+1)=u(n) + h*f(t(n+1), u(n+1));
% ==>
% 0 = -u(n+1) + u(n) + h*f(t(n+1), u(n+1))
% u(n+1) est l'inconnue X de l'équation
% g(X) = 0 avec la fonction g:
% g=@(X) -X + u(n) + h*f(t(n+1), X);
h=1e-2;
t=0:h:3;
u(1)=1;
for n=1:length(t)-1
u(n+1)=u(n) + h*f(t(n), u(n));
end
plot(t, u)
h=1e-2;
t=0:h:3;
u(1)=1;
1.4
1.35
1.3
for n=1:length(t)-1
g=@(X) -X + u(n) + h*f(t(n+1), X);
u(n+1)= fzero(g, u(n));
end
plot(t, u )
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(E2)
Equations différentielles ordinaires
Méthodes de Crank-Nicolson,
Runge-Kutta, multi-pas
On utilise maintenant une approximation trapézoïdale de lโaire sous la courbe f(t, y). On
obtient alors:
1
๐ข๐+1 โ ๐ข๐ = โ. ๐ ๐ก๐ , ๐ข๐ โ โ. ๐ ๐ก๐+1 , ๐ข๐+1 โ๐ ๐ก๐ , ๐ข๐
2
Ce qui constitue la méthode de Crank-Nicolson (méthode implicite).
1
๐ข๐+1 = ๐ข๐ + 2 โ. ๐๐+1 + ๐๐
(CN1)
En utilisant des approximations plus fines de quadrature (comme par exemple la formule
de quadrature de Simpson qui utilise le point milieu tn+1/2), on peut générer des schémas
plus sophistiqués donnant une plus grande précision dans la solution. Les méthodes de
Runge-Kutta sont basées sur ce principe et nécessitent lโévaluation de plusieurs valeurs de
la fonction f(t, y) sur chaque intervalle [tn, tn+1]. Toutes les méthodes vues ci-dessus sont
des méthodes dites « à un pas ».
Les méthodes multi-pas utilisent la même approche (quadrature) mais en dehors de
lโintervalle [tn,tn+1]. On a par exemple la formule dโAdams-Bashforth (explicite):
1
๐ข๐+1 = ๐ข๐ +
โ. 23๐๐ โ 16๐๐โ1 + 5๐๐โ2
12
ou encore la formule implicite
1
à 3 pas dโAdams-Moulton:
๐ข๐+1 = ๐ข๐ + 24 โ. 9๐๐+1 + 19๐๐ โ 5๐๐โ1 + ๐๐โ2
Equations différentielles ordinaires
Méthodes prédicteur-correcteur
Les méthodes implicites nécessitent pour chacune de leurs étapes la résolution dโune
équation où un+1 est lโinconnue.
On peut aussi rendre la méthode explicite en utilisant la méthode dโEuler (E1). Par
exemple, considérons la méthode de Crank-Nicolson, on a:
1
๐ข๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐ ๐ก๐+1 , ๐ข๐+1 +๐ ๐ก๐ , ๐ข๐
(๐ถ๐1)
2
Utilisons (E1) pour produire une « prédiction » sur un+1,
๐ขโ ๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐๐
(PC1)
que lโon injecte dans (CN1) pour « corriger » :
1
๐ข๐+1 = ๐ข๐ + โ. ๐ ๐ก๐+1 , ๐ขโ ๐+1 +๐ ๐ก๐ , ๐ข๐
2
(๐๐ถ2)
Les 2 phases (PC1) et (PC2) constitue une méthode dite prédicteur-correcteur (ici la
méthode est dite « de Heun »).
Equations différentielles ordinaires
Propagation de lโerreur,
consistance dโune méthode
Soit en+1 = yn+1 โ un+1, lโerreur à lโétape n+1. On a dโune part en utilisant Taylor:
yn+1 = yn + h.yโn + ๏(h2) = yn + h.f(tn, yn) + ๏(h2)
et dโautre part (dans le cas de E1):
un+1 = un + h.f(tn, un)
soit donc:
en+1 = (yn - un )+ h.f(tn, yn) - h.f(tn, un) + ๏(h2)
en+1 = en + h.{f(tn, yn) - f(tn, un)} + ๏(h2)
en+1 = en + h.{f(tn, yn) - f(tn, yn- en)} + ๏(h2)
en+1 = en + h.en.{f(tn, yn) - f(tn, yn- en)} / en + ๏(h2)
en+1 = en + h. en.[๏ถf/๏ถy ]n + ๏(h2)
en+1 = en { 1 + h.[๏ถf/๏ถy ]n } + ๏(h2)
๏ง = facteur dโamplification
Erreur de troncature ou erreur de consistance
* Lโerreur se propage dโun pas au suivant, le facteur dโamplification doit être < 1 pour que
la solution numérique converge ce qui donne une condition sur h.
* On dit quโune méthode est consistante si lโerreur de consistance est un infiniment petit
en h.
Equations différentielles ordinaires
Propagation de lโerreur,
consistance dโune méthode
๏ง.e1
u1
๏(h2)
e1
y1
u0 = y 0
e2
Equations différentielles ordinaires
ode45
La fonction ode45 de Matlab est un « solveur » dโEDO (ODE en anglais). Son algorithme
est basée sur une méthode du type Runge-Kutta explicite. Elle possède typiquement 2
sorties et 3 entrées:
[t, u] = ode45(f, tspan, y0)
avec:
u la solution numérique calculée aux temps contenus dans le vecteur t.
f est la poignée de la fonction f(t, y) du problème de Cauchy concerné.
tspan est un vecteur du type [tinitial, tfinal] indiquant à ode45 le domaine sur lequel
chercher la solution. Enfin y0 est la condition initiale. Une 4 ième entrée possible est
โoptionsโ que lโon utilise en conjonction avec la fonction โodesetโ afin par exemple de
régler la précision de la solution numérique.
Exemple:
1.4
1.35
1.3
f=@(t, u) (u-t)./(u+4*t);
tspan = [0, 3];
y0=1;
[t, u] = ode45(f, tspan, y0);
plot(t, u)
๐ฆโ๐ก
โฒ
๐ฆ ๐ก =
๐ฆ + 4๐ก
๐ฆ ๐ก0 = 1
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0
0.5
1
1.5
génère 40 valeurs de la solution u, réparties entre t=0 et t=3 secondes.
Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y)
2
2.5
3
Equations différentielles ordinaires
Système dโEDO
Exemple dโun système dโEDO où x et y sont des fonctions
dโune variable indépendante, par exemple du temps. Les
conditions initiales sont précisées.
On peut appliquer une méthode
du type (E1)...
... ou plus pratique du point de vue programmation,
écrire le système sous forme vectorielle...
5
โฆ pour par exemple, utiliser ode45:
F=@(t,U) [U(1)-4*U(2); U(1)+U(2)];
[tsol, usol] = ode45(F, [0,1], [1;2]);
plot(tsol, usol(:,1), tsol, usol(:,2))
Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y)
0
-5
-10
-15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Equations différentielles ordinaires
EDO dโordre > 1
Une EDO dโordre m est une relation donnant la dérivée m-ienne en fonction du temps t,
de la variable inconnue y et de ses dérivées dโordre inférieur. Une solution unique est
possible en connaissant m conditions initiales:
On peut la transformer en un système de m EDO du premier degré en posant:
et en dérivant ces nouvelles variables pour
obtenir une forme de Cauchy Wโ= F(t, W):
Les conditions initiales étant:
Equations différentielles ordinaires
EDO dโordre > 1 : exemple
Soit un pendule simple de longueur L=1m lâché sans vitesse initiale
dโun angle y0=pi/4 compté par rapport à la verticale. Son mouvement
est régi par lโéquation différentielle (g=9.81 m.s-2) du 2ième ordre:
On pose w1=y; w2=yโ; on dérive ๏ wโ1= w2;
wโ2= -g/L*sin(w1);
On programme:
>> g=9.81; L=1;
>> f=@(t, w) [w(2); -g/L*sin(w(1))];
>> [tsol, wsol]=ode45(f, [0,10], [pi/4, 0]);
>> plot(tsol, wsol(:,1), '-or', tsol, wsol(:,2), '-sโ)
2.5
2
1.5
1
0.5
Alternativement, on écrit la fonction dans un fichier:
function dw=fpendule(t, w)
g=9.81; L=1;
dw=[w(2); -g/L*sin(w(1))];
end
et on lโappelle avec ode45:
>> ode45(@fpendule, [0,10], [pi/4, 0])
Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y)
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Equations différentielles ordinaires
Exercice: convergence conditionnelle
Expérimenter sur la valeur du pas h de la méthode E1 ci-dessous et constater
quโau dessus dโun pas critique, la solution numérique « diverge ».
f=@(t, u) (u-t)./(u+4*t);
h=1e-2;
t=0:h:3;
u(1)=1;
for n=1:length(t)-1
u(n+1)=u(n) + h*f(t(n), u(n));
end
plot(t, u)
Equations différentielles ordinaires
Exercice: stabilité absolue, conditionnelle
On appelle « problème modèle » lโEDO ci-contre dont la
solution exacte est:
Ce problème est utilisé pour définir la notion de stabilité
dโune méthode:
Une méthode est absolument stable si sa solution
numérique pour le problème modèle est telle que:
Il peut exister une condition sur le pas de discrétisation h pour que la méthode soit
stable. On parle alors de stabilité conditionnelle. Une méthode peut être instable.
1/ Montrer que E1 est stable à la condition :
2/ Montrer que E2 et CN1 possèdent une stabilité inconditionnelle.
Equations différentielles ordinaires
Exercice: méthode « mixte »
Que peut-on dire de la méthode:
lorsque ๏ฎ=0 ? ๏ฎ=1 ? ๏ฎ=0.5 ?
Exercice: mouvement dโun mobile
Soit un mobile de coordonnées x(t), y(t) telles que xโ=x-4y et yโ=x+y. A lโinstant
initial t=0, le mobile se trouve à la position (2, 3). Représenter sa trajectoire sur
lโintervalle t=[0, 3].
Exercice: pendule dans une gravitation évanescente
Résoudre le problème du pendule en supposant que lโaccélération de la pesanteur
diminue après lโinstant initial selon la loi g(t) = g0.2-t avec g0 = 9.81 m.s-2.
Même expérience si g(t) = g0.2t.
Indice: utiliser ode45, produire les graphiques y=y(t) où y est lโangle du pendule.
Equations différentielles ordinaires
Exercice: EDO 1ier ordre, 2ième ordre
1/ Pour t=[0, 10] résoudre numériquement l'équation
différentielle du 1er ordre suivante:
La solution exacte de ce système est :
Représenter graphiquement yExact et ynumérique
2/ Résoudre lโéquation de van der Pol (prendre t=[0, 10], µ=1, y(0)=2, yโ(0)=0) par
une méthode E1, puis comparer avec le résultat retourné par ode45:
Equations différentielles ordinaires
Exercice: trajectoire dโun satellite
On désire tracer la trajectoire dโun satellite artificiel de masse m autour de la Lune de
masse M. La lune est placée à lโorigine dโun référentiel absolu où le satellite possède les
coordonnées x, y et on notera:
On applique le principe fondamental de la dynamique au satellite pour obtenir la force
F exercée par la Lune sur le satellite:
Dโautre part, on a
Résoudre ce problème en expérimentant différentes conditions initiales. Produire les
graphiques de la trajectoires.
m=103 kg, M=7 1022 kg, K=6.67 10-11 N.m2.kg-2
17
Equations différentielles ordinaires
1/ Donner la forme du problème de Cauchy.
2/ Donner la méthode dโEuler explicite.
3/ Donner la méthode dโEuler implicite.
4/ Donner la méthode de Crank-Nicholson.
Questions de cours