Utok gasa u bušotinu sličan je utoku nafte, ali se u obzir moraju uzeti dve osnovne specifičnosti: karakteristike gasa menjaju se sa promenom pritiska i protok gasa u pribušotinskoj zoni je turbulentan, što rezultira dodatnim skin efektom.

Radijalna jednačina difuziteta za protok nafte kroz porni prostor linearizovana je uz pretpostavku: -da viskoznost ne zavisi od pritiska, da je gradijent pritiska zanemarljiv i da je kompresibilitet konstantan i ne zavisi od pritiska.

Linearizovani oblik jednačine difuziteta tada ima oblik:

r 1 d d r   r d P d r     c d P K d t (3.240)

Kada se razmatra protok gasa, u obzir treba uzeti promenu izotermnog kompresibiliteta u funkciji pritiska:

c  1 P  1 Z d Z d P  1 P

(3.241) Uzimajući u obzir promenu izotermnog kompresibiliteta, rešenje jednačine postaje složenije. Sve do 1966. godine nisu se pojavila odgovarajuća rešenja jednačine. Tada, gotovo istovremeno, publikovana su dva rešenja: – Russell Goodrich (rešenje sa realnim pritiskom) – Al-Hussainny, Ramey i Crawford (rešenje sa pseudopritskom realnog gasa) Ako se zakon Darcy-a napiše u diferencijalnom obliku:

v g  K  g d P d r

(3.242)

Brzina gasa se može predstaviti preko zapreminskog protoka gasa u standardnim uslovima, uzimajući u obzir da je zapreminski faktor za gas jednak:

B g  T Z P sc P T sc

Kako je: (3.243)

v g  q g B g 2  rh

Tada je brzina gasa jednaka: (3.244)

v g  q g 2  rh T Z P sc P T sc

(3.245) Zamenom jednačine 3.245 u jednačinu 3.242 i razdvajanjem promenljivih (P i r) dobija se:

v g



T

2 

P sc Kh

ln  

t T sc r r e w

  

P r P wf P



g Z dP

(3.246) Ako se primene do sada korišćene jedinice, dobija se:

v g  T 7 .

63    P sc ln   Kh r e r w   t  3 4    P r  P wf  P g Z dP

(3.247) gde su: pritisak, P u (bar); temperatura, T u (K); viskoznost,



g

u (mPas); radijus, r i debljina, h

t

u (m) i propusnost, K u (10 -3 Integral u jednačini 3.247 predstavlja površinu ispod krive P/



g

Z u funkciji pritiska.



m 2 ).

Linearizacija jednačine difuziteta preko funkcije pseudopritiska gasa AI-Hussainy, Ramey, Crawford

)

su definisali funkciju pseudopritiska realnog gasa u obliku:

m    2  P P base PdP  Z

(3.248) P base – bazni pritisak (najčešće P base =0) Vrednost baznog pritiska je proizvoljna pošto se pri korišćenju transformacije razmatra samo razlika pritisaka.

 m  2  P r P wf P Z  g  dP  2 P r 0  P Z  g  dP  2 P wf 0  P Z  g  dP  m    m  

(3.249) Razlika



m(P) je pokretačka sila strujanja gasa kroz ležište ili njegov potencijal.

Kako je pseudopritisak gasa složena funkcija i uzimajući u obzir njegovu definiciju, diferenciranjem i zamenom u jedn. 3.240 dobija se linearizovani oblik jednačine difuziteta u kojoj je pritisak (zavisno promenljiva) zamenjen funkcijom pseudopritiska m(P).

1 d r dr r dm   dr   c dm   K dt

(3.254)

Nelinearni efekti - jednačina Forhajmer-a Protok gasa kroz ležište i utok u kanal bušotine vrši se pri većim brzinama strujanja

(modifikovani Reynolds-ov broj je u opsegu 1 i 8), kao što je prikazano na slici.

Podaci prikazani na slici su dobijeni na osnovu eksperimentalnih radova Fancher, Lewis i Barnes sa različitim fluidima (gas, voda i nafta). Podaci se odnose na protok kroz kolektor

stene različite poroznosti i stepena konsolidovanosti. Oblik zavisnosti krivih faktora trenja

od Reynolds-ovog broja za različite uzorke stena i fluida je sličan dijagramu Moody-ja za protok kroz cevi. Bezdimenzioni faktor trenja je definisan jednačinom: f  D av g  P 2 L  v 2

(3.255) a modifikovani Reynolds-ov broj (bezdimenzioni protok) je:

N Re   vD av g 

(3.256) gde je: D avg – srednji prečnik zrna kolektor stene

Prelazno podru čje od laminarnog ka turbulentnom

Bezdimenzioni pad pritiska (faktor trenja) u poroznom prostoru

Usled efekata turbulencije, javlja se dodatni pad pritiska, a gradijent pritiska se povećava. Klasična

jednačina Darcy-ja u takvim uslovima protoka ima ograničenu upotrebu i u većini slučajeva se ne može koristiti. Nelinearni efekti obuhvaćeni su jednačinom Forchaimer-a: dP  av  bv 2 dr

(3.257) Vrednost konstanti (a i b) zavisi od karakteristika gasa i pornog prostora:

dP dr

koja je po svom obliku identična jednačini za nelinearan protok nafte: gde su:

 

g



g

    K g   v   g v 2

(3.258) – koeficijent turbulentnog protoka, (m – viskoznost gasa, (mPas) – gustina gasa, (kg/m 3 ) -1 ) Granična vrednost protoka gasa, kada je potrebno uzeti u obzir efekte turbulencije može se dobiti korišćenjem jednačine:

4 .

2267  10 5  g r w h 2 p   ln r e r w  S   q g   g h t   K K a  

(3.259) gde je: – relativna specifična težina gasa Jednačina 3.259 je izvedena na osnovu pretpostavke da će se turbulentni protok pojaviti kada udeo pada pritiska usled efekata turbulencije bude veći ili jednak 5% od ukupnog pada pritiska. Za prelazne uslove protoka umesto ln(r

e /r w

) treba koristiti odgovarajuću vrednost za bezdimenzioni pritisak P

D

.

Klasifikacija modela utoka gasa u vertikalnu bušotinu GASNE BU ŠOTINE I P R MODEL ZASNOVAN NA MERENJIMA PRI TISKA I PROTOKA BEZDIMENZIONI MODEL BUDU ĆA

IPR

ST ACIONARNI / PSEUDOSTACIONA RNI MODEL LINEARNI MODEL (bez turbulencije) NELINEARNI MODEL (sa turbulencijom) PRELAZNI MODEL MODEL PSEUDOPRITISKA METODA KVADRATNE JEDNA ČINE JEDNA ČINA PROTIVPRITISKA TIPSKE KRIVE MODEL MISHRE COUDLE

P wf IPR Q g

Stacionarni i polustacionarni uslovi protoka

Linearni model (rešenje Russel-Goodrich)

Na grafiku funkcije pritiska (P/



g Z), izdvajaju se dva područaja. Prvo područje je do pritiska 140–170 bar i zavisnost je gotovo linearna.

LINEARNI DEO NELINEARNI DEO KONSTANTNA f(P) Pritisak Funkcija pritiska realnog gasa

Ukoliko se umesto P/ rešenju za utok nafte.



g

Z koristi 1/



g

Z dobiće se linija konstante vrednosti. U tim uslovima rešavanjem integrala u jednačini 3.247 dobija se jednačina utoka gasa, po obliku slična

P wf q gsc  T  7 .

63 g Z    ln Kh   r e r w t    P r 2   S t P 2 wf   F rc   

(3.260) gde je: F rc – konstanta koja zavisi od uslova protoka u ležištu.

F rc =0.5 za stacionarne i 0.75 za pseudostacionarne uslove protoka.

Eksplicitno rešenje po dinamičkom pritisku:

 P r 2  q gsc T  g Z    ln   r e r w 7 .

63   Kh t  S t  F rc    (3.261)

140-170 bar Pritisak Modifikovana funkcija pritiska realnog gasa

Kao što se vidi sa slike, pri nižim pritiscima (P r <140bar) funkcija

1/



g Z

je gotovo konstantna, tako da se 

g

i

Z

mogu odrediti za bilo koji pritisak (najčešće u funkciji ležišnog pritiska).

Pojednostavljeni model

-

Mishre i Caudle

Pri nižim pritiscima (P r <140bar) odnos pseudopritisaka se može direktno prikazati kao odnos kvadrata dinamičkog i ležišnog pritiska.

m m   wf   r  P 2 wf P r 2

(3.262) U tom slučaju Mishre i Caudle su razvili pojednostavljeni model za određivanje IPR krivih, koji je definisan jednačinom:

q g q g max  5 4    1  5   m m        1   

(3.263) Dinamički pritisak se izračunava na osnovu relacije:

P wf i  P r 1  ln  1  ln 4 5 q gi 5 q g max

(3.264)

Nelinearni model - efekti turbulentnog protoka Kada se uključe efekti turbulentnog protoka gasa rešenje jednačine 3.247 ima oblik:

q gsc  7 .

63 T  g Z   ln   r e r w   Kh t   P r 2 S t   F rc P 2 wf   D rg q g  

(3.265) Član D

rg q g

predstavlja skin faktor koji zavisi od protoka.

Konstanta D

r

je proporcionalna sa konstantom b u jednačini Forhajmer-a sa dimenzijom (m 3 /d) -1 . U slučaju protoka gasa kroz homogeno ležište sa propusnošću K, parametri turbulentnog protoka, D

rg

i



r

su povezani jednačinom:

D rg  2 .

222  10  18  g h t  g r w h 2 p  R

(3.266) gde je:

 R  8 .

884 K  10 10 1 .

1045 ili  R  7 .

64  10 10 K 1 .

201

(3.267) Pošto je u većini slučajeva najveći pad pritiska u pribušotinskoj zoni sa redukovanom vrednošću propusnosti (zona izmenjene propusnosti), ukupni faktor turbulentnog protoka gasa treba da obuhvati i uticaj te zone. Ako je r predstaviti u obliku:

a

radijus oštećene zone, onda se skin faktor koji zavisi od brzine protoka, a uključuje i uticaj zone redukovane propusnosti, može

D ag  2 .

222  10  18   g r g h t w h p 2   r 1 w  r 1 a    a ili D ag  1 .

9685  10  7   g g h r t w K h  1 a p

(3.268) gde je: K d

 a  8 .

884 K 1 .

1045 d  10 10

(3.269) – propusnost oštećene pribušotinske zone (10 -3



m 2 )

Tada je ukupni faktor turbulentnog protoka gasa:

D tg  D rg  D ag

(3.270) Za visoke vrednosti ležišnog pritiska (P



210bar), zavisnost P//



g

Z je konstanta, tako da je analitičko rešenje integrala u jednačini 3.247:

2  P r P wf P  g Z dP  2 P  g Z  P r  P wf 

(3.271) Funkcija pritiska se određuje za bilo koju vrednost pritiska (između P

r

i P

wf

) Konačna jednačina, uzimajući u obzir obzirom jednačinu 3.271 ima oblik:

q gsc  7 .

63 T  g Z    ln   r e r w   Kh t  P r  S t   P wf F rc   D tg q g   

(3.272)

Model pseudopritiska za pseudastacionarni/stacionarni utok gasa Zamenom jednačine:

m   r  m   wf  2 P wf  P r PdP  g Z

(3.273) u jednačinu 3.247 i uzimanjem u obzir skin faktor i turbulenti protok, dobija se.

q gsc  7 .

63 T    ln   r e r w Kh t     m   r S t   F rc m   wf   D tg q g   

(3.274) Osnovni problem u prethodnoj jednačini je određivanje funkcije pseudopritiska m(P).

Postupak proračuna obuhvata: (1) proračun zavisnosti P/



g

Z u funkciji pritiska. To se može izvesti ukoliko su poznate vrednosti za viskoznost i faktor kompresibiliteta na različitim pritiscima.

(2) Numerička integracija funkcije pritska.

U tabeli je prikazan je postupak izračunavanja pseudopritiska gasa postupkom numeričke integracije.

Prelazni uslovi protoka Za pritiske manje od 200bar, kada se 1/



g

Z može smatrati konstantom, jednačine IPR za prelazne uslove protoka imaju oblik:

P wf  P r 2  q gsc T  g Z    ln   r e r w   7 .

63 Kh t  3 4  S t   

(3.275) Trajanje prelaznog perioda i kasnog prelaznog perioda se određuje kao u modelu za naftne bušotine (jednačine 3.125 i 3.126) IPR za prelazne uslove protok (model pseudopritiska) Rešenje za prelazne uslove protoka korišćenjem funkcije pseudopritiska ima oblik:

m   wf  m   r  0 .

1508 q gsc Kh t log    Kt  g C t r 2 w     3 .

23  0 .

87  S  D tg q gsc   

(3.276) Trajanje prelaznog perioda određuje se isto kao za rešenje sa realnim pritiskom.

IPR za gasne bušotine na osnovu merenja pritiska i protoka Merenje dinamičkog pritiska i proizvodnje u gasnim bušotinama obezbeđuje podatke na osnovu kojih se može pouzdano odrediti karakteristika utoka. Uglavnam se vrše tri vrste testa: (1) protok za protokom (2) test izohronalnog protoka (3) modifikovani test izohronalnog protoka

IPR za gasne bušotine na osnovu merenja pritiska i protoka Merenje dinamičkog pritiska i proizvodnje u gasnim bušotinama obezbeđuje podatke na osnovu kojih se može pouzdano odrediti karakteristika utoka. Uglavnam se vrše tri vrste testa: (1) protok za protokom (2) test izohronalnog protoka (3) modifikovani test izohronalnog protoka

Kvadratni oblik jednačine utoka

Opšti oblik jednačine utoka: (3.277)

P r 2  P 2 wf  Aq g  Bq 2 g

odnosno

 P r 2  P 2 wf  A  Bq g

(3.278)

q g

U koordinatnom sistem (P

r 2 -P wf 2 )/q g

i q

g

, jednačina 3.278 je prava linije sa koeficijentom pravca B i nagibom A. Za gasne bušotine visokog pritiska koristi se oblik kao za naftne bušotine.

Ako se koristi funkcija pseudopritiska jednačina ima oblik:

m   r  m   wf q g  A  Bq g

(3.279)

Povezujući kvadratni oblik sa nelinearnim modelom, koji uzima u obzir efekte turbulencije zbog velikih brzina protoka, može se zaključiti da je:

A  T  g Z 7 .

63 Kh t    ln   r e r w    S t  F rc    B  T  g Z 7 .

63 Kh t D tg

Jednačina protivpritiska

(3.280) (3.281)

q g  C  P r 2  P 2 wf n  (3.282)

U koordinatnom sistemu log(P

r 2 –P wf 2

) i log(q

g

) prethodna jednačina predstavlja pravu liniju gde su: n C – eksponent koji uzima u obzir efekte turbulentnog protoka – obuhvata promenu karakterisika gasa i stena u funkciji razlike kvadrata pritiska Da bi se dobile dobre i pouzdane vrednosti za n i C potrebno je da se testiranje izvodi pri stabilizovanim uslovima. Preporučuje se izohronalni test, a ako to zbog vremena nije moguće izvesti, može se koristiti i modifikovani izohronalni test. Takođe, ukoliko merenje nije izvedeno pri stabilizovanim uslovima protoka, moguće je izvršiti transformaciju i prevesti podatke merenja kao da je vršen izohronalni test.

Buduće IPR za gas Buduće IPR krive se određuju korišćenjem pojednostavljenog modela (autori su Mishre i Caudle:

q g max  5 q g max   3  1  0 .

4 P 

(3.286) gde su: q gmax(f) q gmax(p) P – maksimalna proizvodnja za buduću IPR – maksimalna proizvodnja prethodne IPR – odnos budućeg i sadašnjeg ležišnog pritiska Ako je pritisak u ležištu manji od 140bar, odnos budućeg i sadašnjeg ležišnog pritiska je definisan izrazom:

P  P rf 2 P r 2

(3.287) Ako je vrednost sadašnjeg ležišnog pritiska veća od 140bar, koristi se odnos budućeg i sadašnjeg pseudopritska:

P  m m     r rf 1

(3.288) Kada se izračuna buduća maksimalna proizvodnja (q qmax(f) ), ostale tačke IPR krive se izračunavaju primenom pojednostavljene metode.