Transcript semelhanca_de_triangulos_e_relacoes_metricas_

Semelhança de triângulos e relações
métricas no triângulo retângulo
Prof. Osmar Mantovani,
Prof. Fernando Lorenzo Paschoal e
Prof. Marcos Valério Paes
Colégio Visconde de Porto Seguro Valinhos
2011
Importante
• Este material apresenta semelhança de triângulos logo no início mas seu
objetivo é favorecer a aplicação dos conhecimentos de semelhança na
apresentação das relações métricas no triângulo retângulo. Assim, não são
apresentados os conhecidos “casos de semelhança”, por exemplo. A
abordagem utilizada para este tema é “ângulos iguais e lados
proporcionais”.
• Alguns slides possuem anotações com observações e justificativas para a
utilização do mesmo.
• Os slides de 13 a 16 estão elaborados de forma que o professor possa
entregá-los a seus alunos para que eles deduzam as relações métricas a
partir de semelhança de triângulos. Esses slides podem ser impressos no
próprio Powerpoint em uma única folha.
• Os ângulos retos apresentados nas figuras não apresentam o “ponto”
dentro do quadrado. Os desenhos, em sua maioria, foram feitos em
Geogebra e esta opção não está disponível no software.
O conceito de semelhança
• Ampliando e reduzindo figuras simples:
Definição de polígonos semelhantes
• Dois polígonos são semelhantes quando
satisfazem, simultaneamente, duas condições:
– As medidas dos lados que se correspondem são
proporcionais.
– As medidas dos ângulos que se correspondem são
iguais.
Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes:
ângulos “iguais” e lados proporcionais.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Semelhança de triângulos
Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais
mas lados não necessariamente proporcionais
Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais
e lados proporcionais.
Semelhança de triângulos
• A forma de um triângulo fica completamente
definida quando são conhecidos os seus
ângulos.
• Na verdade, a forma de um triângulo fica
completamente definida quando são
conhecidos 2 de seus 3 ângulos.
Semelhança de triângulos
• Ou seja, se dois triângulos possuem dois
ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos
também é igual.
• Neste caso, os ângulos
^
^
C  C´ 36 º
Pois a soma dos
ângulos internos de
um triângulo é 180º
Semelhança de triângulos
• Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos
iguais então, consequentemente, possuem
lados proporcionais.
Construindo figuras semelhantes
utilizando Homotetia
• Homotetia: obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas.
• A palavra homotetia vem do grego homós-igual + thétós-colocado + ia
Semelhança e homotetia
Polígonos semelhantes e homotéticos
(semelhantemente dispostos)
Polígonos semelhantes
Semelhança
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO (EXERCÍCIOS)
Relações métricas no triângulo
retângulo
Medidas:
a: hipotenusa
b: maior cateto
c: menor cateto
h: altura relativa à
hipotenusa
m: projeção do cateto b
n: projeção do cateto c
Relações métricas no triângulo
retângulo
Relações métricas no triângulo
retângulo
ABH e ΔCAH
BH HA

AH HC
n h

h m
2
h  m.n
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 1 :
ABC e HAC
AB

AC
c

b
c.___ b.___
Caso 2 :
ABC e HAC
AC

BC
b

a
b 2  ___. ___
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 3 :
Caso 4 :
ABC e HBA
AB

AB
n

a
___  ___. ___
ABC e HAC
HA

BC
c

a
___.___ ___.___
Semelhança
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO (GABARITOS)
Relações métricas no triângulo
retângulo
H
Relações métricas no triângulo
retângulo
ABH e ΔCAH
BH AH

HA HC
n h

h m
2
h  m.n
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso1 :
ABC e HAC
AB HA

AC HC
c h

b m
c.m  b.h
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 2 :
ABC e HAC
AC HC

BC AC
b m

a b
b 2  m.a
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 3 :
ABC e HBA
AB
HB

BC AB
c n

a c
2
c  n.a
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 4 :
ABC e HAC
AB HA

BC AC
c h

a b
a.h  b.c