Transcript 第7章互感电路分析
第7章 互感电路分析 第7章 互感电路分析 7.1 互感元件 7.2 耦合电感的去耦等效 7.3 含互感电路的分析 7.4 理想变压器 7.5 实际变压器 习题七 第7章 互感电路分析 7.1 互感元件 7.1.1 设有相邻放置的两个电感线圈L1和L2， 如图7-1-1所示， L1的匝数为N1，L2的匝数为N2，当给L1通交变电流i1时，其产 生的磁通为φ11 (称自磁通)， 设φ11的全部与N1相交链， 则磁 通链为φ11 = N1φ11；同时，设φ11中的一部分φ21（称互磁通） 与L2相交链， 其与L2构成的磁通链为ψ21 = N2φ21 。 同样， 当给L2 通交变电流i2 时，其产生的磁通为φ22 （称自磁通）， 设φ22的全部与N2相交链，则磁通链为ψ22= N2φ22 ；同时，设 φ22中的一部分φ12（称互磁通）与N1相交链， 其与N1构成的 磁通链为ψ12= N1 φ12 。ψ11 和ψ22称做自磁通链，ψ12和ψ21称 做互磁通链。 第7章 互感电路分析 L1 L2 11 12 21 22 i1(t) N1 £ « u 1(t) i2(t) £- 图 7-1-1 N2 £ « u 2(t) £- 第7章 互感电路分析 仿照自感系数的定义，我们定义ψ21与i1的比值为L1对 L2的互感系数( coefficient of mutual inductance )， 定义ψ12 与i2的比值为L2对L1的互感系数。 M 21 M 12 21 （7-1-1） i1 (t ) 121 i2 (t ) （7-1-2） 第7章 互感电路分析 与自感系数一样，互感系数简称为互感， 其单位与自感 单位相同。可以证明（可参阅有关书籍） M21= M12 (7-1-3) 因此， 我们用M表示M21和M12，若M为常数（即M的大小 不随时间和电流、 电压等电量变化）时，称为线性时不变互 感， 以后若不加特殊说明， 所提到的互感均指这类互感。线 圈L1 和L2 在电的方面是相互独立的，它们的相互影响是靠磁 场相互联系起来的， 称为磁耦合（ magnetic coupling ）。 由 于L1中电流i1产生的磁通与L2相交链的部分φ21总是小于或等于 φ11； L2中电流i2产生的磁通与L1相交链的部分φ12 总是小于或 等于φ22。若设φ11中有一部分不与L2交链，φ22中有一部分不与 L1 交 链 ， 我 们 把 不 与 另 一 线 圈 相 链 的 磁 通 称 为 漏 磁 通 （leakage flux）。 第7章 互感电路分析 通常为了表示两线圈耦合的紧密程度， 定义一个参 数称做耦合系数 (coefficient of coupling) k， 2112 k 11 22 (7-1-4) 根据自感系数和互感系数的定义， 有 11 N1 11 L1 i1 (t ) i1 (t ) 22 N 2 22 L2 i2 (t ) i2 (t ) N1 12 N 2 21 M i2 (t ) i1 (t ) 第7章 互感电路分析 代入式(7-1-4)， k Mi1 (t ) / N 2 Mi2 (t ) / N1 L1i1 (t ) / N1 L2i2 (t ) / N 2 M L1L2 (7-1-5) 即耦合系数等于互感系数与两线圈自感系数几何平均 值的比值。耦合系数是一个无量纲的参数，若有漏磁通的 存在，耦合系数总是小于1的，若无漏磁通，则φ21=φ11， φ12=φ22， k=1。 第7章 互感电路分析 k M 1 L1L2 （7-1-6） k总是在0～1之间，其大小反映了两线圈耦合的强 弱（紧松程度）。 若k=0，说明两线圈之间没有耦合； 若k =1，说明两线圈耦合最紧，称为全耦合（perfect coupling）。在工程实际中，为了消除两线圈之间的耦 合， 将它们相互垂直放置（有必要时，再加上磁屏蔽 罩），如图7-1-2所示；若为了增大两线圈的耦合， 往 往将两线圈进行双线并绕（有必要时，在线圈内部再 放入增强磁通的铁心），如图7-1-3所示。 第7章 互感电路分析 i2(t) 11 i1(t) 22 图 7-1-2 第7章 互感电路分析 i1(t) i2(t) 图7-1-3 第7章 互感电路分析 7.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系当两个耦合电 感线圈上都有电流流过时，与L1交链的磁通为φ11与φ12 之和，与L2交链的磁通为φ22与φ21之和。 在L1中， 若 φ11 与φ12方向相同，则磁通相助； 同理， 在L2中，若 φ22与φ21方向相同，磁通也相助，如图7-1-4所示。 第7章 互感电路分析 M L1 L2 21 22 11 12 i 1(t) £ « u 1(t) i2(t) £- 图 7-1-4 £ « u 2(t) £- 第7章 互感电路分析 这种情况下， 耦合线圈的磁通链分别为对L1 对L1 对L2 ψ1=ψ11+ψ12=L1i1(t)+Mi2(t) ψ2=ψ22+ψ21=L2i2(t)+Mi1(t) (7-1-7) 如图7-1-4所示，设u1(t)与i1(t)、u2(t)与i2(t)参考方向 关联，根据电磁感应定律，两线圈上电压与电流的关 系为 对L1 对L2 d 1 di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M u1 u1 dt dt dt d 2 di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M u2 u2 dt dt dt (7-1-8) 第7章 互感电路分析 式（7-1-8）中第一项是由自感而产生的自感电压，用 u′ 表 示 ； 第 二 项 是 由 于 耦 合而 产 生 的互 感 电 压 （ mutual induced voltage ），用u″表示。即两耦合线圈的自磁通与互 磁通相助时，线圈端电压等于自感电压u′与互感电压u″之和。 同理，两耦合线圈的自磁通与互磁通相反时，磁通相消， 如图7-1-5所示。在这种情况下， 耦合线圈的磁通链分别为 对L1 ψ1=ψ11-ψ12=L1i1(t)-Mi2(t) 对L2 ψ2=ψ22-ψ21=L2i2(t)-Mi1 (t) （7-1-9） 第7章 互感电路分析 如图7-1-5所示，设u1(t)与i1(t)、 u2(t)与i2(t)参考方 向关联，则两线圈上电压与电流的关系为 对L1 对L1 d 1 di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M u1 u1 dt dt dt d 2 di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M u2 u2 dt dt dt （7-1-9） 式（7-1-10）说明：两耦合线圈的自磁通与互磁通 相消时，线圈端电压等于自感电压u′与互感电压u″之差。 第7章 互感电路分析 M 11 12 21 22 i 1(t) L1 £ « u 1(t) i2(t) £- 图 7-1-5 L2 £ « u 2(t) £- 第7章 互感电路分析 7.1.3 如前所述，耦合电感线圈上的电压等于自感电压与互 感电压的代数和。 在分析图7-1-4 和图7-1-5的电压、 电流 关系时， 给定了两个条件：① 规定了电压与电流的参考方 向关联；② 已知线圈的绕向， 可以用右手螺旋定则判定磁 通的方向。但是，在工程实际中，线圈的绕制方向往往从 外观上无法看出； 另外，在理论分析中，按图7-1-4和图71-5去画耦合电感线圈，显然是很不方便的。 所以，我们 给其规定一个同名端（ isotope tip），并用电路模型符号 表示耦合电感线圈。 第7章 互感电路分析 1. 在图7-1-6（a）中，磁通相助，若i1(t)≠0，i2(t) = 0，则 di1 (t ) u1 (t ) L1 u1 dt di1 (t ) u2 (t ) M u2 dt （7-1-11 若i1(t) = 0， i2(t) ≠0， di2 (t ) u1 (t ) M u1 dt di2 (t ) u2 (t ) L2 u2 dt （7-1-12 第7章 互感电路分析 L1 M L2 i1(t) i2(t) £ « u1(t) £ - £ « u 2(t) £ (a) 图7-1-6 第7章 互感电路分析 L1 M L2 i1(t) i2(t) £ « u 1(t) £ - £ « u 2(t) £ (b) 图7-1-6 第7章 互感电路分析 同理，在图7-1-6( b )中，L2的绕制方向发生了变化， 要使两线圈的磁通相助，则电流方向应如图所示。 当两线圈的电流所产生的磁通相助时，规定两电流 的两流入端（或两流出端）为同名端。用符号“·”或 “*”作以标志（注：只标每一线圈的一个端子，另一个 端子不需再作标记）。 根据对图7-1-6的分析和同名端的规定，同名端的含 义为自感电压u′与互感电压u″极性相同的端。有了这样 的规定，我们可以将图7-1-6所示的耦合电感线圈用图71-7或图7-1-8所示的电路模型来表示。 第7章 互感电路分析 M M L1 L2 i1(t) £ « u 1(t) L1 i2(t) £- L2 i1(t) £ « u 2(t) £- (a) £ « u 1(t) i2(t) £ - u 2(t) £ « £(b) 图 7-1-7 第7章 互感电路分析 在图7-1-7( a )中，若已知u1(t)方向为左正右负， 则 可以很方便地确定u″2的方向亦为左正右负； 反之，若u1(t)的方向为左负右正，则u″2 的方向亦 为左负右正。这样，我们就无须再去观察线圈的绕制 方向了。对图7-1-7( b )的判别方法与图7-1-7(a )类同。 第7章 互感电路分析 M i1(t) i2(t) £« u 1(t) L1 L2 £- M i1(t) £« £« u 2(t) u 1(t) £- £- (a) £L1 L2 u 2(t) £« (b) 图 7-1-8 i2(t) 第7章 互感电路分析 例7-1-1 图7-1-9( a )所示的是两个有磁耦合的电感 线圈，已知L1=L2=25 mH ，k = 0.5。 （1） 求M （2） 标出同名端； （3） 若已知i1(t) =0，i2(t) = 10 sin (800t-30°) A , 方 向如图中所标， 求互感电压u1(t) 和 u2(t)， u1(t) 、u2(t)和i2(t)的相量图。 第7章 互感电路分析 M A i1(t) i2(t) L1 C L2 B U1 D 2 22 (a) 图 7-1-9 U 2 6 0¡ã £ -3 0 ¡ã I2 (b) 第7章 互感电路分析 解 （1） M k L1L2 0.5 25 25 12.5mH （2）根据右手螺旋定则，i2(t)产生的磁通φ22 的方向为 顺时针方向，要使i1(t)产生的磁通φ11的方向与φ22相同，按同 名端的规定，i1(t)的方向应如图7-1-9 (a) 中所标， 故 A与D 为同名端。 （3） u1(t)=u″1=12.5×10-3×10×800 cos (800t-30°) =100 cos (800t-30°) =100 sin (800t＋60°) V 第7章 互感电路分析 u2(t)=u′2 = L2 di2 (t ) dt =25×10-3×10×800 cos (800t-30°) =200 cos (800t-30°) =200 sin (800t＋60°) V u1(t)、 u2(t)、 i2(t)的相量表示式分别为： U1 =70.7∠+60° V U =141∠60° V 2 I2 =7.07∠-30° A 相量图如图7-1-9( b )所示。 第7章 互感电路分析 2. （1） 直流法测定同名端：对于一个耦合电感线圈， 有四个连接端，首先用万用表的电阻挡判别出每个线圈 的两个连接端，如图7-1-10所示， 设1和2、 3和4分别为 两线圈的连接端； 然后， 给1和2之间接直流电压源、 电阻R 和开关 S ，给3和4之间接直流检流计 G （应注意 检流计的正负极以判定电流流向）。当开关 S 闭合瞬间， i1增大， 在L2上产生互感电压，L2上流过感应电流i2，若 检流计正偏转（图中检流计指针右偏）， 则1与3为同名 端；若检流计反偏转， 则1与4为同名端。 第7章 互感电路分析 M i1 S 1 i2 3 L1 L2 R 2 图 7-1-10 4 £« G £- 第7章 互感电路分析 1 £« U £- 3 L1 L2 2 图 7-1-11 4 第7章 互感电路分析 （2） 交流法测定同名端： 首先用万用表测量出线圈的两 个端子， 如图7-1-11所示； 然后将2、 4端连接起来，给1、 2加交流电压u1 （U1 不超过低压线圈的额定电压），用万用 表测量各接线端的电压U12、U34 和U13，若U13 =| U12 -U34|， 则1与3为同名端； 若U13 = U12 ＋ U34 ，则1与4为同名端。 测量时应注意电压表只能测量出电压的有效值，不能测量出 相位。 判别耦合线圈的同名端，在理论分析中非常重要，只有 已知同名端后， 才能确定互感电压的方向，然后根据 KVL 列出电压平衡方程式进行分析计算。同时，在工程实际中， 对于电气设备中具有磁耦合的线圈，在串并联使用中，只有 正确地判定出同名端， 才能正确地连接使用。否则，设备将 不能正常工作，甚至造成重大事故。 第7章 互感电路分析 例7-1-2 已知图7-1-12( a )所示耦合电感线圈的同名 端如图所示,k=0.5, L1 =L2 = 1 H。图7-1-12 (b)、 (c) 分 别给出了i1(t)和i2(t)的波形,试画出u1(t)和u2(t)的波形。 i 2/A M i1(t) i1/A i2(t) £« 10 £« 10 u 1(t) L1 L2 £- u 2(t) £- (a) 0 0 1 2 (b) 图 7-1-12 3 4 5 t/s 1 2 3 £ -1 0 (c) 4 t/s 第7章 互感电路分析 解 M=k L L 1 2 =0.5 H i1(t) i1(t)= 5t A 0≤t≤2 s -5t+20 A 2 s ≤t≤4 s 0 其他 i2(t) i2(t)= 10t A -10t+20 A 10t-40 A 0 0≤t≤1 s 1 s ≤t≤3 s 3 s ≤t≤4 s 其他 第7章 互感电路分析 由于i1(t)从L1同名端流入,i2(t)从L2的异名端流入,属 于磁通相消情况, u1(t)= L1 di1 (t ) di (t ) M 2 dt dt 分段代入i1(t)、 i2(t), u1(t)= 0 0≤t<1 s 10 V 1s ≤t<2 s 0 2 s ≤t<3 s -10 V 3 s ≤t<4 s 0 t≥4 s di2 (t ) di2 (t ) u2 (t ) L2 M dt dt 第7章 互感电路分析 分段代入i1(t)、 i2(t), u2(t)= 7.5 V 0≤t<1 s -15 V 1 s ≤t<2 s -7.5 V 2 s ≤t<3 s 12.5 V 3 s ≤t<4 s 0 t≥4 s 则u1(t)和u2(t)的波形分别如图7-1-13 (a)、 (b) 所示。 第7章 互感电路分析 u 1/ V u 2/ V 10 3 0 1 2.5 10 7 .5 1 2 4 5 t/s 0 £ -1 0 £ -1 0 1 2 3 £ -7 .5 £ -1 5 (a) (b) 图 7-1-13 4 5 t/s 第7章 互感电路分析 思考与练习 7-1-1 题7-1-1图所示电路是一个半导体收音机磁性 天线的三个线圈,根据绕制方向标出它们的同名端。 7-1-2 题7-1-2图所示电路是一密封的耦合线圈,Us 为直流电压源,当S断开时,检流计G正偏转,试标出线圈 的同名端,并解释判定同名端的原理。 第7章 互感电路分析 M13 M12 N1 M23 N2 题7-1-1图 N3 第7章 互感电路分析 M S R £« L1 L2 £« G £- Us £- 题7-1-2图 第7章 互感电路分析 7-1-3 某耦合线圈的同名端及电压、 电流参考方向 如题7-1-3图所示,试列写出该耦合线圈的电压、 电流的 微分关系式。 M i1(t) i2(t) £« u 1(t) £« L1 £- L2 u 2(t) £- 题7-1-3图 第7章 互感电路分析 7-1-4 某变压器的结构示意图如题7-1-4图所示,初级 线圈为N1,次级线圈为N2和N3,在U1N = 220 V 电压作用 下,N2和N3的额定电压为U2N = U3N = 12 V ,额定电流为 I2N = I3N = 2 A 。 （1） 判定同名端； （2） 若要求次级串联后输出电压为24 V ,并联后 输出电流为4 A ,试画出接线图。 第7章 互感电路分析 3 £« 1 u1 £- 4 5 N2 N1 N3 2 题7-1-4图 6 第7章 互感电路分析 7-1-5 耦合线圈如题7-1-5图（a）所示,已知M = 0.1 H ,L1 = L2 = 1H ,电流i1(t) 的波形如题7-1-5图（b）所示, L2开路,标出同名端,画出u1(t)和u2(t)的波形。 第7章 互感电路分析 L1 i1 / A M L2 1 0 .1 5 i1 N1 N2 0 0 .0 5 0 .1 £ -1 (a) (b) 题7-1-5图 0 .2 t / s 第7章 互感电路分析 7-1-6 已知两耦合线圈的自感系数分别为L1= 0.1 H ,L2 = 0.4 H , (1) k = 0.2,M =？ (2) k = 0.5,M =？ (3) M = 0.2 H ,k =？ 第7章 互感电路分析 7.2 耦合电感的去耦等效 7.2.1 互感线圈的串并联等效 1． 图7-2-1(a)是互感线圈顺向串联的电路模型,两线圈 的异名端相接,设电压、电流参考方向和线圈的同名端 如图所示,根据 KVL ,电压、 第7章 互感电路分析 u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 式中 LAB di(t ) di(t ) di(t ) di(t ) [ L1 M ] [ L2 M ] dt dt dt dt di(t ) ( L1 L2 2 M ) dt di(t ) LAB (7-2-1) dt L1 L2 2 M (7-2-1) 第7章 互感电路分析 式（7-2-1）说明：互感线圈顺向串联可以等效成 一个没有耦合的单个电感LAB,其等效电路如图7-2-1( b ) 所示。 当互感线圈反向串联时,两线圈的同名端相接的电 路模型如图7-2-2(a)所示,同样可以等效成没有耦合的电 感LAB,等效电路如图7-2-2( b )所示, LAB =L1＋L2-2M （7-2-3） 第7章 互感电路分析 M L1 £ « u1 £ i £« u A L2 u2 LAB £i £B (a) £« u A B (b) 图 7-2-1 £- 第7章 互感电路分析 M L1 L2 £ « u1 £ - £ « u2 i £« A u LAB £i £« u £B (a) A B (b) 图7-2-2 £- 第7章 互感电路分析 2． 互感线圈同侧并联的电路模型如图7-2-3(a)所示,即 同名端相接。设电压、电流的参考方向和同名端如图 所示,根据 KCL , i(t)=i1(t)＋i2(t) （7-2-4） 根据互感的电压、电流关系,其电压方程为 di1 (t ) di2 (t ) u (t ) L1 M dt dt di1 (t ) di1 (t ) u (t ) L2 M dt dt （7-2-5） 第7章 互感电路分析 设外加正弦交流电压u=Um sinωt,则方程(7-2-4)、 (7-2-5)可改写成相量形式, I I1 I2 U jL1 I1 jMI2 U jL I jMI 2 2 （7-2-6） 1 解方程组（7-2-6）, U L1L2 M 2 Z j jLAB I L1 L2 2 M L1L2 M 2 LAB jLAB （7-2-7） L1 L2 2 M 第7章 互感电路分析 同侧并联的等效电路如图7-2-3( b )所示。 互感线圈异侧并联的电路模型如图7-2-4( a )所示, 即异名端相接。用与同侧并联同样的方法可以推导出 等效电感LAB LAB L1L2 M 2 L1 L2 2 M （7-2-8） 第7章 互感电路分析 A i £« u £- A i1 L1 M i2 £B 图7-2-3 £« u L2 B i LAB 第7章 互感电路分析 7.2.2 互感线圈的 T 互感线圈的 T 形去耦等效属于多端子电路的等效, 亦分为同名端为公共端和异名端为公共端两种情况。 下面分别介绍这两种情况的等效方法。 1． 同名端为公共端的T形去耦等效图7-2-5( a )为 同名端为公共端的互感电路模型,图中已标明了同名端 和电压、电流的参考方向,根据耦合电感的电压、电流 关系, di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M dt dt di (t ) di (t ) u2 (t ) L2 2 M 1 dt dt (7-2-9) 第7章 互感电路分析 对式（7-2-9）进行数学变换, di1 di1 di1 di1 u1 (t ) L1 M M M dt dt dt dt di1 d (i1 i2 ) ( L1 M ) M dt dt u1 u0 di2 di2 di2 di1 u2 (t ) L2 M M M dt dt dt dt di2 d (i1 i2 ) ( L2 M ) M dt dt u2 u0 (7-2-10) (7-2-11) 第7章 互感电路分析 式（7-2-10）中的u′1和式(7-2-11)中的u′2是由电流i1(t) 和i2(t)分别在数值为L1-M和L2-M的自感上产生的自感电 压； u0是由电流i1(t)和i2(t) 在数值为M的自感上共同产生 的自感电压,它是u1和u2的公共部分,因此,图7-2-5 (a )可以 等效成图7-2-5( b )所示的电路模型,由三个没有耦合关系 的自感线圈构成了一个T 形电路,所以,这里所说的“ T ” 形仅指电路的结构形状,别无它意。 第7章 互感电路分析 M i1 i2 £« i1 £« £« L1£ -M L2£ -M £ « u1 £ - £ « £ -u2 £ - i2 £« £« u1 L1 L2 £- u2 u1 u0 M u2 £- £- £- £- (a) (b) 图 7-2-5 第7章 互感电路分析 2． 异名端为公共端的T形去耦等效 图7-2-6( a )为异名端为公共端的互感电路模型,图 中已标明了同名端和电压、 电流参考方向,其电压、 电 di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M dt dt di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M dt dt （7-2-12） 第7章 互感电路分析 M i1 i2 £« u1 £« L1 L2 £- u2 £- (a) i1 £« u1 £- L1£ «M L2£ «M £ « u1 £ u £« £- 2 £« u 0 £ -M £(b) 图 7-2-6 i2 £« u2 £- 第7章 互感电路分析 对式（7-2-12）进行数学变换,得 di1 di1 di1 di1 u1 (t ) L1 M M M dt dt dt dt di1 d (i1 i2 ) ( L1 M ) ( M ) dt dt u1 u0 （7-2-13） di2 di2 di2 di1 u2 (t ) L2 M M M dt dt dt dt di2 d (i1 i2 ) ( L2 M ) ( M ) dt dt u2 u0 （7-2-14 第7章 互感电路分析 式（7-2-13）中的u′1 和式7-2-14中的u′2 是由电流i1(t)和 i2(t)分别在数值为L1 ＋M和L2 ＋M的自感上产生的自感电压； u0是由i1(t)和i2(t)在数值为-M的自感上产生的自感电压,其自 感系数为负值,它是一种等效负电感。u0是u1和u2的公共部分。 因此,图7-2-6( a ) 可以等效成图7-2-6( b )所示的电路模型。 互感线圈的 T 形去耦等效同样适用于互感线圈的串并联 电路。如图7-2-1( a )的顺向串联电路模型,可以改画成图7-27( a )的形式,其虚线框内相当于异名端为公共端的电路结构。 进而可以等效成图7-2-7( b )的 T 形电路模型。由图7-2-7( b ) 知： LAB=L1＋L2＋2M 。 第7章 互感电路分析 M A L1 A L1£ «M L2£ «M L2 £ -M B B (a) (b) 图 7-2-7 第7章 互感电路分析 实际中制作互感线圈的导线存在一定的损耗电阻, 若考虑这一电阻,只要在等效电路中串入电阻即可。例 如,对图7-2-5(a)所示电路,需要考虑导线损耗电阻时的 电路模型如图7-2-8(a)所示,其T形等效电路如图7-2-8( b ) 所示,其电压、 di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) i1 (t ) R1 L1 M dt dt di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) i2 (t ) R2 L2 M dt dt （7-2-15） 第7章 互感电路分析 i1 R1 R2 £« u1 L1 L2 £- i2 i1 £« £« u2 u1 £- £- (a) R1 L1£ -M L2£ -M i2 £« M u2 £- (b) 图 7-2-8 R2 第7章 互感电路分析 例7-2-1 图7-2-9( a )所示的并联互感线圈,接在f =50 Hz 、 U=31.4 V 的正弦交流电源上,已知R1=20 Ω ,L1=0.1 H ,R2 =30 Ω ,L2= 0.2 H ,M=0.1 H ,求等效阻抗Z和电流I。 i £« i1 R1 u Z £« R2 u Z1 M L1 R1 R2 L1£ -M Z 2 Z L2 £- Z0 £(a) (b) 图 7-2-9 M L2£ -M 第7章 互感电路分析 解 首先用 T 形等效法将图7-2-9 (a)等效成图7-2-9(b) , 先求等效阻抗Z,再计算电流I。 Z′1=R1+ j ω(L1-M)=20+ j 0=20∠0°Ω Z′2=R2+ j ω(L2-M)=30+ j 314(0.2-0.1) =30+ j 31.4=43.4∠46.3° Ω Z0= jωM= j 314×0.1= j 31.4=31.4∠90° Ω 第7章 互感电路分析 Z 1Z 2 Z Z0 Z 1 Z 2 200 43.446.3 j 31.4 20 30 j 31.4 14.5 j 35 37.867.8 U 31.4 I 0.83A Z 37.8 第7章 互感电路分析 例7-2-2 已知图7-2-10( a )所示电路中,L1 = 7 H ,L2 = 4 H ,M = 2 H , R = 8 Ω,us (t) = 20 sinπt V ,求该电路的 戴维南等效电路。 M R L1 L2 £« us £- A i R B £« us £- (a) Z1 M L1£ -M Z3 A L2£ -M £ « u oc M Z0 £B (b) 图 7-2-10 Z2 A Z0 £« u oc £- (c) B 第7章 互感电路分析 解 根据互感的 T 形等效法,将图7-2-10 (a)等效成图 7-2-10(b) ,应用相量法计算, 20 Us 0 2 U U s S I R j ( L1 M ) jM R jL1 20 / 20 0.6 70 A 8 j 3.14 7 U oc jMI 0.6 70 3.14 290 3.820V 第7章 互感电路分析 将us (t)置零后,有 Z1Z 3 Z 0 Z1 // Z 3 Z 2 Z2 Z1 Z 3 (8 j 3.14 5)( j 3.14 2) j 3.14 2 (8 j 3.14 5) j 3.14 2 0.58 j10.98 1187 戴维南等效电路如图7-2-10( c )所示,其中： uoc =3.8 2 sin (π t+20°)=5.37 sin ( π t+20°) V Z0 1187 第7章 互感电路分析 思考与练习 7-2-1 求题7-2-1图所示各互感电路的等效电感LAB,要 求对其中的 图(a)、图(b) 分别用互感串并联等效法和 T 形等效法计算。 第7章 互感电路分析 A A 4H 5H 1H 2H 3H B 6H B (a) (b) 题7-2-1图 第7章 互感电路分析 A A 4H 2H 2H 3H 2H 4H 0 .5 H B B (c) (d) 题7-2-1图 6H 第7章 互感电路分析 7-2-2 有一互感线圈,分别测得R1=5 Ω ,R2=10 Ω ,将 两线圈串联后,在 50 Hz, 220 V 交流电压作用下测得电 流I =10 A ,将其中一个线圈改变相串联的连接端子,在相 同电源下测得电流I =5 A 。 （1） 求互感M （2） 若已知L1=0.05 H ,求耦合系数k（提示： 一次为顺向串联,另一次为反向串联）。 7-2-3 题7-2-3图所示各互感电路,f=50 Hz ,求等效阻 抗ZAB 。 第7章 互感电路分析 A 1 0 2 0 0 .1 H 0 .1 H B (a) 题7-2-3图 0 .2 H 第7章 互感电路分析 A M L1 L2 Z2 B (b) 题7-2-3图 第7章 互感电路分析 A M L1 L2 Z2 B (c) 题7-2-3图 第7章 互感电路分析 7-2-4 已知题7-2-4图所示电路中,us =2 sin (2t＋45°) V ,M = 0.5 H ,求电流i3。 M i1 1 .5 H £« us £- 1 .5 H i2 0 .2 5 F 题7-2-4图 i3 1 第7章 互感电路分析 7-2-5 已知题7-2-5图所示电路中,us =20 sin t V ,M = 2 H ,求电流i。 M 8 7H £« us £- 4H i 题7-2-5图 第7章 互感电路分析 7.3 7.3.1 含互感电路的方程分析法,是应用7.1节所介绍的耦合 线圈上的电压、电流关系和基尔霍夫定律,列出电路的电 压、电流方程式后联立求解的分析方法。下面我们以图 7-3-1所示电路为例,介绍方程分析法的具体步骤。 第7章 互感电路分析 £« u1 L1 R1 £- A £« M L2 u 2 £- £« us £- C 1 i2 R2 i1 B 图 7-3-1 2 £« uC £R3 i3 第7章 互感电路分析 第一步,设电流、电压参考方向。我们假设电流i1、 i2、 i3的参考方向,互感线圈上的电压u1、u2的参考方向和电容电 压uC的参考方向如图7-3-1中所标。 第二步,根据 KVL和KCL 列写电路电压电流的瞬时值方 程。在图7-3-1所示电路中,根据 KCL列出节点A i1-i2-i3=0 （7-3-1） 根据 KVL 网孔① -us ＋i1R1＋u1＋u2＋i2R2 = 0 （7-3-2） 网孔② u2＋i2R2-i3R3-uC = 0 （7-3-3） 第7章 互感电路分析 第三步,进行变量置换。根据互感线圈上的电压、 电 流关系和动态元件上的电压、 电流微分关系,将方程中的 电压变量用电流变量置换。在方程（7-3-2）和（7-3-3） 中,含有互感线圈电压u1、 u2和电容电压uC, di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt 1 uc i3dt C 第7章 互感电路分析 di1 di2 di2 di1 us i1R1 ( L1 M ) ( L2 M ) i2 R2 0 （7-3-4） dt dt dt dt di1 di2 1 （7-3-5） ( L1 M ) i2 R2 i3 R3 i3dt 0 dt dt C 第四步,因含互感的电路大多应用在正弦稳态电路 中,所以将方程改写成相量形式。在改写方程时要用到 方程的微分形式和积分形式与相量形式的对应关系,为 了方便,我们将动态元件的电压、 电流关系的微分形式 和积分形式与相量形式的对应关系列于表7-1。 第7章 互感电路分析 表7-1 动态元件电压、 电流的微积分形式与相量形式的对应关系 第7章 互感电路分析 根据表7-1,方程（7-3-1）、（7-3-4）、（7-3-5） I1 I2 I3 0 U s I1R1 j ( L1 M ) I1 j ( L2 M ) I2 I2 R2 0 I jL2 I1 jMI1 I2 R2 I3 R3 2 0 jC 整理方程组,得 I1 I2 I3 0 I1[ R1 j ( L1 M )] I2 [ R2 j ( L2 M )] U s 1 I1 jM I 2 ( R2 jL2 ) I 3 ( R3 )0 jC （7-3-6） 第7章 互感电路分析 7.3.2 含互感电路的等效分析法 含互感电路的等效分析法,实际上是利用互感线圈的 串并联等效和 T 形等效方法,将含互感的电路等效成不含 互感的电路,然后用前几章所介绍的电路分析方法去计算 电路未知量的一种方法。我们仍以图7-3-1所示电路为例, 介绍等效分析方法,为了方便将其重画于图7-3-2（a）。 第7章 互感电路分析 £« u1 £- L1 R1 £« us £ - i1 M £« L2 u 2 £i2 R2 (a) 图 7-3-2 C R3 i3 第7章 互感电路分析 u1 £« £M £« L1£ -M R1 u2 L2£ -M £« us £- i2 i1 £R2 (b) 图 7-3-2 C R3 i3 第7章 互感电路分析 £« U1 j (L1£ -M) £j M U 2 R1 j (L2£ -M) £- £« U s £- I1 £« £« 1 j C I2 R3 R2 I3 (c) 图 7-3-2 第7章 互感电路分析 在图7-3-2（a）中,虚线框内的互感线圈构成了同名端为 公共端的连接形式,应用 T 形等效方法,该部分可等效成图7- 3-2 （b） 虚线框内的电路模型形,将图 7-3-2（b）改画成图 7-3-2（c） 的相量模型。 在图7-3-2（c）中,根据基尔霍夫定律和交流电路的相量 分析法,列出该电路的支路电流法（或回路电流法或节点电 位法）方程。 I1 I2 I3 0 I [ R j ( L M )] I [( R jM 1 )] U 1 1 1 2 2 S j C 1 I2 [ R2 j (L2 M )] I3 [( R3 jM )] 0 jC (7-3-7) 第7章 互感电路分析 方程组式（7-3-7）与方程组式（7-3-6）略有不同, 但是,只要考虑到 I I I ,即 1 2 3 jMI1 jM ( I2 I3 ) 将其代入式（7-3-7）的第三个方程后,就与式（7-3- 6）完全相同了。 联立求解方程组（7-3-7）,即可计算出各支路电流。 由以上的 T 形等效分析法过程,可以总结出含互感电路 的等效分析法的基本步骤如下： 第7章 互感电路分析 第一步,将电路中的互感线圈等效成没有互感的电 感线圈,或采用串并联等效,或采用 T 形等效。 第二步,将等效后的电路模型改画成相量形式的电 路模型。这一过程与第4章所讲的方法完全相同。 第三步,根据相量形式的电路模型,选择电路的分析 方法,列出电路电压、 电流的相量形式代数方程。 第四步,解方程组,计算出各未知量。 第7章 互感电路分析 例7-3-1 设图7-3-3所示电路中电源的角频率为ω,列 写分析该电路所必须的回路电流法方程。 R1 R2 £« i1 1 i4 i3 L1 us £- £« £- ki 1 2 iA L2 M 3 C 图 7-3-3 iC i2 iB i5 第7章 互感电路分析 解 设各网孔电流参考方向如图7-3-3所示, 考虑i1=iA ,列网孔电流方程为： di d ( i i ) d ( i i ) A A C B C 网孔① i R u L M ( L1 M ) 0 A 1 S 1 dt dt dt d (iB iC ) d (iA iC ) M 0 网孔② kiA iB R2 L2 dt dt 1 d (iB iC ) d (iA iC ) d (iA iC ) d (iB iC ) i dt L2 M L1 M 网孔③ C C dt dt dt dt 第7章 互感电路分析 整理上述方程, diA diB diC iA R1 uS L1 M ( L1 M ) 0 dt dt dt diA diC kiA iB R2 M ( L2 M ) 0 dt dt diA diB diC 1 ( L1 M ) ( L2 M ) ( L1 L2 2 M ) iC dt 0 dt dt dt C 第7章 互感电路分析 将方程改写为相量形式,有 IA ( R jL1 ) IB jM IC j ( L1 M ) U s I ( k jM ) I ( R jL ) I j ( L M ) 0 A B 2 C 1 1 IA j ( L1 M ) IB j ( L2 M ) IC [ j ( L1 L2 2 M ) ]0 jC 例7-3-2 用等效分析法计算图7-3-4( a )所示含互感 第7章 互感电路分析 £ -j1 7 5 j8 A M j3 j6 £« U s I 10 0V 2 U s 2 £B (a) 图 7-3-4 9 £ -j3 £« 12 90 V £- 第7章 互感电路分析 £ -j1 7 A j3 5 j5 A 9 j3 £ « Us 1 1 0¡Ï0¡ã V £I1 £ -j3 I3 £« U s2 12 90 V 2 £B (b) 图 7-3-4 I2 第7章 互感电路分析 解 应用 T形等效法将图7-3-4(a)等效成图7-3-4(b)。 在这里提请读者注意,互感抗的去耦等效与互感的去耦 等效方法完全相同。设各支路电流参考方向如图7-34(b)所示,该电路应用节点电位法仅需一个方程。以节 点B 为参考点, Z1=5- j 17+ j 3=5- j 14=14.87∠-70.3° Ω Z2=9+ j 5- j 3=9+ j 2=9.22∠12.5° Ω Z3=2+ j 3=3.6∠56.3° Ω 第7章 互感电路分析 根据弥尔曼定理有 / Z U / Z U 10 0 / 14 . 87 70 . 3 12 90 / 9 . 22 12 . 5 s2 2 VA s1 1 1 / Z1 1 / Z 2 1 / Z3 1 / 14.87 70.3 1 / 9.2212.5 1 / 3.656.9 1.88 61 0.91 j1.44V 各支路电流为 V 100 1.88 61 U A I1 s1 0 . 62 80 . 5 A Z1 14.87 70.3 V 1290 1.88 61 U A I2 s 2 1 . 132 107 . 5 A Z2 9.2212.5 1.88 61 V I3 A 0 . 52 117 . 3 A Z3 3.656.3 第7章 互感电路分析 思考与练习 7-3-1 题7-3-1图是含互感的正弦交流电路,试用支路 电流法和网孔电流法列写出计算各支路电流的方程。 7-3-2 已知题7-3-2图所示电路中,us (t)=5 2 sin10+3t V ,R1=500Ω ,L1=L2=2 H ,M=1 H ,C1=C2=0.5 μF ,问ZL为 何值时获得最大功率? 并计算PLmax 。 第7章 互感电路分析 C1 R1 R2 L2 L1 £« us £- 题7-3-1图 M R3 第7章 互感电路分析 M R1 L1 £« us £- L2 ZL C1 题7-3-2图 C2 第7章 互感电路分析 7-3-3 已知题7-3-3图所示电路中, U =120∠0° V ,R1 = 10Ω ,R3= 8Ω ,ωL1 = 12 Ω ,ωL2 = 10 Ω ,ωM = 6 Ω ,ωL3 = 6 Ω ,求R1上的电压 。 £« U 1 R £« U £- £ - j L j M j L R3 j L 题7-3-3图 第7章 互感电路分析 7-3-4 已知题7-3-4图所示电路中,R 1 = 50 Ω ,R 2 = 20 Ω ,ωL 1 = 160 Ω ,ωL 2 = 40 Ω ,1/(ωC)=80 Ω ,两线圈 耦合系数k = 0.5， 求电路的等效阻抗ZAB。 A j M R1 j L j L R2 £ -j B 题7-3-4图 1 C 第7章 互感电路分析 7.4 理想变压器 7.4.1 无论是空心变压器还是铁心变压器,在制造时,都力 求做到以下几点： ; （1） 使变压器的耦合系数尽可能大,这样, ,两互 感线圈的电压接近一定的比例关系（在后面变压器的 特性中将介绍这一点）,为变压器的设计和制造带来一 定的方便。 ; 第7章 互感电路分析 （2） 互感线圈的自感系数L1、L2尽可能大,这样做 有利于变压器进行能量和信号的无损耗、 无失真传输。 （3） 铁心变压器铁心的能量损耗（简称铁损,用PFe 表示）和制作线圈的导线损耗电阻的能量损耗(简称铜 损,用PCu表示,因一般变压器用铜线绕制)尽可能小。关 于PFe和P Cu将在下一节中介绍。 (1) 耦合系数k = 1; (2) 自感系数L1、 L2无穷大,且L1/L2 (3) 无损耗,即制作变压器的材料为理想材料,绕制 线圈的导线接近超导材料（或者说应采用超导材料),变 压器磁铁心导磁率为无穷大。 第7章 互感电路分析 根据以上条件,理想化的变压器电路模型如图7-4-1 所示,图中,N1线圈一般与电源或信号源连接,作为能量或 信号的输入侧,叫做初级线圈或初级绕组,简称初级或原 方（ primary ）,N2线圈一般与负载连接,作为能量或信 号的输出侧,叫做次级线圈或次级绕组,简称次级或副方 （ secondary） 。 第7章 互感电路分析 £« u1 i1 i2 N1 £- N2 £« u2 £- 图 7-4-1 第7章 互感电路分析 7.4.2 变压器的主要性能包括原、 副方电压关系、 电流 关系和阻抗关系。为了便于分析,我们将变压器的结构 示意图画于图7-4-2,图中原方匝数为N1,在电压u1作用下 产生电流i1,在i1作用下产生磁通φ11； 副方匝数为N 2,在电压u2作用下产生电流i2,在i2作用下产生磁通φ22。 由于是理想状态,所以互磁通与自磁通相等,即 φ11=φ21,φ22=φ12。 第7章 互感电路分析 N1线圈 ψ1= N1φ11＋N1φ12 =N1（φ11＋φ12） =N1φ （7-4-1） N2线圈 ψ2= N2φ22＋N2φ21 =N1（φ11＋φ12） = N2φ 式中 φ=φ11＋φ12=φ21＋φ22 （7-4-2） 第7章 互感电路分析 11£ ½ 21 i1 i2 £« £« u1 u2 £- £- 22£ ½ 12 图 7-4-2 第7章 互感电路分析 1. 根据电磁感应定律, 对线圈N1有 对线圈N2有 u1与u2的比值为 d 1 d u1 N1 dt dt d 2 d u2 N2 dt dt u1 N1 n u2 N 2 （7-4-3） （7-4-4） （7-4-5） 第7章 互感电路分析 式 中 ,n 叫 做 匝 数 比 ( loop (voltage proportion) 或 变 压 比 proportion) , 若电压为有效值,则变压比的表 示式的形式与式（7-4-5）相同, 即 U1 N1 n U2 N2 （7-4-6） 式（7-4-6）说明：原、 副方电压在数值方面的比 值与线圈的绕向无关。但是，若要改变图(7-4-2) 中 线圈N1 （或N2 ）的绕向或电压u1 或u2 的参考方向,则变 u1 N1 n u2 N2 （7-4-7） 第7章 互感电路分析 式（7-4-7）说明：原、 副方电压在相位关系上与线 圈的绕向和电压的参考方向有关。对于理想变压器,u1与u2 不是同相位,就是反相位。 2. 对图7-1-8（a）所示电路,根据互感线圈的电压、 电流 关系,有 di1 di2 u1 L1 M dt dt 第7章 互感电路分析 则 U1 I1 jL1 I2 jM U I 1 M I 1 2 jL1 L1 考虑到理想变压器的条件(L1、 M无穷大),则 I M I 1 2 L1 I1 M I L 2 1 （7-4-8） 第7章 互感电路分析 根据自感系数的定义L1=ψ11/i1(t)=(N1φ11)/i1(t),互感系 数的定义,并考虑理想条件k=1,有 21 N 211 M i1 (t ) i1 (t ) 则 故 M N 211 / i1 (t ) N 2 L1 N1 / i1 (t ) N1 I1 N2 1 I N1 n 2 (7-4-9) 第7章 互感电路分析 式 （ 7-4-9 ） 称 做 变 压 器 的 变 流 比 (current proportion) ,该式说明： 对于图7-4-2所示的理想变压器, 在图中所示电压、电流参考方向的条件下,原、副方电 流有反相的相位关系。若改写成瞬时值形式,则为 i1 (t ) N2 1 i2 (t ) N1 n （7-4-10 若改变N1或N2的绕向（相当同名端改变）,或改变i1 和i2任一个电流的参考方向,则变流比为 i1 (t ) N 2 1 i2 (t ) N1 n （7-4-11） 第7章 互感电路分析 3. 如图7-4-3相量模型电路所示,给变压器原方接电 源 U ,副方接负载ZL ,对电源 U 来说,A、 B 以右的部分 s s 电路等效阻抗为 U s U1 ( N1U 2 ) / N 2 2 Zin n ZL I1 I1 ( N 2 I2 ) / N1 （7-4-12） 式（7-4-12）说明： 副方对原方的等效阻抗仅是 大小上的变化,而性质不发生变化,这个阻抗称做折合阻 抗。根据这一特性,变压器常被用于一些设备进行阻抗 变换,以实现阻抗与电源的匹配,使负载上获得最大功率。 第7章 互感电路分析 A £« U s I1 I2 £« £« U1 U 2 £B N1 N2 £Zin 图7-4-3 £- ZL 第7章 互感电路分析 4. 如图7-4-1所示,设电源供给变压器的功率为p1(t),负载从 变压器获得功率为p2(t) ,则 p1(t)=u1(t)i1(t) p2(t)=-u2(t)i2(t) = N1 N2 u1 (t )( )i1 (t ) N2 N1 =u1(t)i1(t) =p1(t) (7-4-13) 式(7-4-13)说明：理想变压器在电路中只起到了能量的传 递作用,而没有能量的损耗和存储,是一个无记忆的电路元件。 第7章 互感电路分析 7.4.3 分析含理想变压器的电路时,只要考虑到变压器的理想 条件,利用理想变压器的性能,按交流电路的相量分析法去分 析电路即可。下面以图7-4-4（a）为例,介绍这类电路的分 析方法。 在图7-4-4（a）中,副方回路的阻抗为Z2 = R2＋ZL ,按照 阻抗变换关系,将Z2折算到原方后,其等效电路如图7-4-4( b ) 所示, Zin=n2Z2 第7章 互感电路分析 在图7-4-4 (b )所示电路中,求 I1 和 U1 ： U s I1 ,U1 I1Zin R1 Zin 按电压变换关系可求得副方电压U 2 为 U1 / n ,按电 流变换关系可求得副方电流 I2 为 I2 nI1 ,对副方回 路, 图7-4-4 （a）可等效成图7-4-4（c） 。 第7章 互感电路分析 I1 £« U s £- R1 I2 £« £« U 1 U 2 £ - N1 N2 £ - (a) 图 7-4-4 R2 ZL 第7章 互感电路分析 I1 R1 £« £« U s U 1 £- £- (b) 图 7-4-4 Zin 第7章 互感电路分析 I2 R2 £« U 2 ZL £- (c) 图 7-4-4 第7章 互感电路分析 例7-4-1 图7-4-5 (a) 所示为含理想变压器的电路,已知 n=2,R2=6Ω, 1/(ωC1)=3Ω,1/(ωC2)=8Ω , U S =12∠0° V , 求电流 I 与 I 。 1 2 1 j £ - C R1 I1 £« U s £- 0.5U 2 n I2 £« £« U 1 U 2 £- £- (a) 图 7-4-5 R2 1 j £ - C 2 第7章 互感电路分析 1 j £ - C 1 I1 A £« 0.5U 2 U s £- £« U1 Zin £- B (b) 图 7-4-5 第7章 互感电路分析 解 副方阻抗为 1 Z 2 R2 j 6 j8 10 53.1 C2 将Z2折合到原方,其等效电路如图7-4-5( b )所示,因 为变压比为n = 2,故 Zin = n2Z2 = 24- j 32 = 40∠-53.1° Ω 在图7-4-5 (b )中应用节点电位法,以 B点为参考点, 求A点电位 。 第7章 互感电路分析 因为 所以 解得 1 1 12 0 VA ( ) 0.5U 2 j 3 40 53.1 j3 1 U 2 U1 ,U1 VA n 1 1 1 VA ( j ) j 4 0.5 VA 3 4053.1 2 VA 9.1137.1 V 120 9.1137.1 U A I1 s 4.2440.74 A j3 j3 1 1 U 2 U1 VA 4.55537.1V n n U 4 . 555 37 . 1 I2 2 0 . 4555 90 . 2 A Z 2 10 53.1 第7章 互感电路分析 例7-4-2 图7-4-6所示为含理想变压器的电路,已知n=4,求 A、 B 端等效阻抗ZAB 。 A B i i1 6 i4 n i2 £« £« £« us u1 u2 £- £- £- 图 7-4-6 i3 2 第7章 互感电路分析 解 设各电压、 电流参考方向如图7-4-6所示,由图知 1 u1 u S , u2 u S 4 u2 1 i3 uS 2 8 u1 u2 us us / 4 1 i4 us 6 6 8 1 1 i2 i3 i4 us us 0 8 8 第7章 互感电路分析 1 i1 i2 0 n 1 1 i i1 i4 0 us us 8 8 us Z AB 8 i 第7章 互感电路分析 思考与练习 7-4-1 “理想变压器的阻抗变换关系与电压、 电流的参 考方向或原、 副方绕组的绕向有关”这一观点正确吗？为 什么？“若理想变压器的副方电压或电流参考方向改变或者 副绕组绕向改变,则副方折合到原方的等效阻抗性质发生变 化”这种说法对吗？为什么？ 7-4-2 题7-4-2图所示为含理想变压器的电路,已知us (t) = 8 2 , n = 2, （1） 求电流i1(t)和RL消耗的平均功率PL ； （2）若调整匝数比n,要使RL上获得功率最大,则n =？并 计算PLmax 。 第7章 互感电路分析 1 6 i1 n £« £« £« us £- u1 u2 £- £- 题7-4-2图 1H 1F RL 1 第7章 互感电路分析 7-4-3 题7-4-3图所示为含理想变压器的电路,已知n = 10,is (t)= sin t A ,求初级电压u1(t)及次级电流i2(t)。 n £« is i2(t) £« R1 u 1 00 1 u2 £- £- 题7-4-3图 C 1F R2 1 L 1H 第7章 互感电路分析 7-4-4 题7-4-4图所示为含理想变压器的电路,求等效 阻抗ZAB 。 A n 1£ ½10 R1 n 2£ ½0.2 1 R2 2 5 B 题7-4-4图 第7章 互感电路分析 7.5 7.5.1 空心变压器 1. 全 耦 合 空 心变压器即理想变压器的理想条件是 k=1,L1、 L2有限,PCu ≠0,其电路的互感模型如图7-5-1所 示,图中把铜损用等效电阻R1和R2表示。这样,将 A、 B 以右,C、 D 以左的中间部分看成k =1、无损耗的空心 变压器,只要分析这一部分电路即可。 第7章 互感电路分析 £« i1 R1 A u1 £- M B C R2 i2 £« £« £« u1 u2 u2 £ - L1 L2 £ - 图7-5-1 D £- 第7章 互感电路分析 根 据 本 章 7.1 节 的 讨 论 , 并 考 虑 到 k=1 时 , M= L1L2 ,则电压、 电流关系为 di1 di2 di1 di2 （7-5-1） u1 L1 M L1 L1L2 dt dt dt dt di2 di1 di2 di1 （7-5-2） u2 L2 M L2 L1L2 dt dt dt dt 由式（7-5-1） u1 L1 di2 di1 ( L2 L1L2 ) L2 dt dt （7-5-3） 第7章 互感电路分析 将式（7-5-2）代入式（7-5-3）,得 u1 L1 u2 L2 u1 u2 L1 L2 因为k=1时有φ12=φ22,再考虑到 M=N1φ12/i2,L1=N2φ22/i2, （7-5-4） 第7章 互感电路分析 L1 M N112 / i2 N1 L2 L2 N 2 22 / i2 N 2 将式（7-5-5）代入式（7-5-4）, u1 N1 u2 N 2 式（7-5-6）说明：若不考虑铜耗全耦合变压器与 理想变压器具有完全相同的变压关系。 将式（7-5-1） U1 I1 jL1 I2 j L1L2 第7章 互感电路分析 则 I1 U I 1 I L2 1 2 jL1 L1 将式（7-5-5）代入上式, U I 1 I L2 1 2 jL1 L1 （7-5-7） 第7章 互感电路分析 式（7-5-7）说明：全耦合空心变压器的原方电流 由两部分组成：一部分为 I1 U1 /( jL1 ), 叫做激磁电 流,相当于电感量为L1的自感线圈上的电流； 另一部分 I1 I2 L2 / L1 ,称做工作电流,相当于理想变 压器的原方电流。所以，图7-5-1电路可以等效成图75-2。图中虚线框内为理想变压器。 第7章 互感电路分析 i1 R1 R2 i1 i2 £« i1 £« £« £« u1 L1 u1 u2 u2 £- £ - N1 N2 £ - 图 7-5-2 £- 第7章 互感电路分析 2. 非全耦合空心变压器的k<1,有漏磁通的存在,设原 线圈的漏磁通为φs1, φs2,则自磁通 为 φ11=φ21＋φs1 ，φ22=φ12＋φs2 根据自感系数的定义,有下列关系的存在： N111 N1 21 L1 Lm1 Ls1 i1 i1 （7-5-8） N 2 22 N 212 L2 Lm 2 Ls 2 i2 i2 （7-5-9） 第7章 互感电路分析 式中: Lm1 =N1φ21/i1,Lm2 =N2φ12/i2,相当于全耦合变压 器的耦合电感；Ls1 =N1φs 1/i1,Ls2=N2φs 2/i2,相当于分别与 Lm1、 L m2 串联的电感,叫做漏磁电感,这样图7-5-1可以 等效成图7-5-3（ a ）,进一步可以利用全耦合变压器的 分析等效为图7-5-3( b ), 图中虚线所围部分为理想变压 器。 第7章 互感电路分析 Ls1 i1 £« £« u1 u1 £- M Lm1 N1 Ls2 Lm2 N2 £(a) 图 7-5-3 i2 £« £« u2 u2 £- £- 第7章 互感电路分析 R1 Ls1 £« £« u1 u1 £- £- Ls2 Lm1 N1 N2 (b) 图 7-5-3 R2 i2 £« £« u2 u 2 £- £- 第7章 互感电路分析 7.5.2 铁心变压器的结构示意图如图7-5-4所示,它由三个 主要部分组成： 原绕组N1、 副绕组N2和铁心。 第7章 互感电路分析 i1 i2 £« u1 £« N1 N2 £- u2 £- 图 7-5-4 第7章 互感电路分析 1． 铁磁材料及变压器铁心 1） (1) 磁化性（ magnetization ）。 (2) 剩磁性（ surplus magnet ）。 (3) 磁滞性 (magnet is behind )。 (4) 磁饱和性( saturation )。 如图7-5-5（ a）所示；硬磁材料, 如图7-5-5（b） 所示；软磁材料,如图7-5-5（c）所示 。制作变压器铁 心采用的是软磁材料。 第7章 互感电路分析 B/ T B/ T Bm Br b Bm a Br c B/ T Bm a b b c f O O i/ A a f Br c O i/A f e e d e (a) d d (b) 图 7-5-5 (c) i/A 第7章 互感电路分析 2） 铁心结构及性能 变压器的铁心材料一般为硅铁合金（俗称电工钢 材料）。为了减小铁心损耗,常用轧制成板材后裁剪成 如图7-5-6所示的各种形状的硅钢片叠制而成。图7-5-6 （a）为“O”形铁心,图7-5-6（b）为“E”形铁心,图75-6（c）为“F”形铁心。 第7章 互感电路分析 (a) (b) 图 7-5-6 (c) 第7章 互感电路分析 关于涡流损耗,可以用图7-5-7说明,在图7-5-7（ a ）中, 从整块铁心材料中取出一圈,就相当于一个单匝线圈。 若将整块铁心裁成几块,如图7-5-7（ b ）所示,感应电 流的流通路径被切断， 涡流自然被减小。 第7章 互感电路分析 i (a) (b) 图 7-5-7 第7章 互感电路分析 3. 铁心变压器的等效电路 图7-5-4所示的铁心变压器可以等效成图7-5-8（ a ） 所示的电路模型,图中N1与N2相当于非全耦合的空心变 压器模型；R1、 R2分别为N1和N2线圈的铜损等效直流 电阻；r1和r2分别是由原、 副方电流在铁心上造成的铁 损等效电阻。进而,根据空心变压器的等效电路,图7-5-8 （a）可以等效成图7-5-8（b） ,图中R′1=R1+r1,R′2 =R2+r2（但在这里应注意r1和r2仅对交流有损耗, R1和R2 对交直流都有损耗）。 第7章 互感电路分析 R1 M r1 r2 £« u1 R2 i2 £« L1 N1 L2 N2 £- u2 £(a) 图 7-5-8 第7章 互感电路分析 i1 R1 Ls1 Ls2 £« u1 R2 i2 £« Lm1 N1 N2 £- u2 £(b) 图 7-5-8 第7章 互感电路分析 铁心变压器是电力系统中的主要设备之一,在电子 设备中,作为提供电能的电源也离不开变压器,工程实际 中使用变压器主要考虑以下几个参数： (1) 变压比： 在理想状态下,根据式（7-4-3）和式 （7-4-4）,若磁通φ为正弦交变磁通, φ=Φ m sin ωt 则有 d u1 N1 N1 m cost dt d u2 N 2 N 2 m cost dt (7-5-10) (7-5-11) 第7章 互感电路分析 电压有效值为： N1 m U1 4.44N1 f m 2 N 2 m U2 4.44N 2 f m 2 U1 N 1 U2 N2 (7-5-12) (7-5-13) (7-5-14) 第7章 互感电路分析 以上各式中,电压U的单位为 V ,频率f的单位为 Hz , 磁通Φ m 的单位为 Wb 。 （2） 原副方额定电压: U1N 、 U2N。 （3） 原副方额定电流： I1N 、 I2N （4） 容量（额定视在功率）：SN 。 （5） 额定频率： fN 。 。 第7章 互感电路分析 习题七 7-1 已知两个线圈的自感系数分别为L 4 mH , 1 = 5 mH ,L 2 = (1) k = 0.5时的互感M为多少？ (2) 互感M = 3.5 mH 时的k为多少？ (3) 耦合系数多大时互感最大？M的最大值是多少？ 7-2 已知题7-2图所示的四个互感线圈电路中,L1 = L2 = L3 = L4，L1 与L2线圈之间的互感为M12 ,L3 与 L4之间的互感为 M34,且k均为1,同名端如图中所示,问哪一种接法能用？哪一种 不能用？为什么？若能用,在有效值为U1的正弦电压下,U2为 多少？ 第7章 互感电路分析 £« £« L1 L2 £« U 2 U 1 £- L1 L2 U 1 £« £L3 L4 £- (a) L3 L4 (b) 题7-2图 U 2 £- 第7章 互感电路分析 £« L1 L2 £« U 1 £« U 2 U 1 £- £- £- L3 L4 (c) L1 L2 L3 L4 (d) 题7-2图 £« U 2 £- 第7章 互感电路分析 7-3 已知题7-3( a )图所示的互感电路中i1(t)、 i2(t)的 波形分别如题7-3图 (b)、 (c) 所示,试画出u1(t)、u2(t)的 波形 。 第7章 互感电路分析 i1 i2 £« u1 i1/ A i2/ A £« L1 4H L2 2H £- 1 1 u2 £(a) 0 1 2 (b) 题7-3图 3 t/s £ -1 0 1 2 3 4 t/s (c) 第7章 互感电路分析 7-4 一个可变电感器由一固定线圈与一个直径较小, 且可以放入固定线圈中的小线圈串联而成,小线圈可以 在固定线圈内移动,并且顺向串联与反向串联可互换,这 样可以获得连续可变的等效电感。已知等效电感最大 值为625.2 mH,最小值为106.5 mH ,求互感M的变化范围。 7-5 已知一个线圈的匝数为N,自感为L,若再绕N匝, 试证明自感变为4L(设无漏磁通)。 7-6 已知题7-6图所示互感电路中,is (t)=2 sin 314t A , 求电压uAB 。 第7章 互感电路分析 L2 6H is L1 3H A M 2H B 题7-6图 第7章 互感电路分析 7-7 已知题7-7图所示电路中,L1 = 0.01 H ,L2 = 0.02 H ,R1 = 5 Ω ,R2 = 10Ω ,M = 0.01 H ,C = 20 μF ,求顺向串联 与反向串联两种情况下电路的谐振角频率。 第7章 互感电路分析 L1 R1 M C L2 R2 题7-7图 第7章 互感电路分析 7-8 为题7-8图所示的互感电路外加U = 220 V ,f = 50 Hz 的正弦电压,顺向串联时测得电流I1 = 2.5 A ,P1 = 62.5 W ,反向串联时P2 = 250 W ,求互感M。 第7章 互感电路分析 M R1 L1 题7-8图 R2 L2 第7章 互感电路分析 7-9 已知题7-9图所示电路中, U s =100∠0° V , R1 = 50 Ω ,R2 = 20 Ω ,j ωL1= j 160 Ω , j ωL2= j40 Ω , 1 j C =- j80 Ω ,k = 0.5,求:; （1） 电路的等效输入阻抗ZAB （2） 电流I1和I2。 第7章 互感电路分析 A I1 £« U s £B j M R1 j L1 I2 j L2 R2 1 j £ - C 题7-9图 第7章 互感电路分析 7-10 求题7-10图所示各互感电路的等效电感LAB 。 4H 4H A 2H 5H 6H A A 2H 5H 3H 4H B B 2H 3H B 1H (a) (b) 题7-10图 (c) 4H 第7章 互感电路分析 7-11 已知题7-11图所示电路中,R1 = 10 Ω ,ωL1= 12 Ω ，ωL2 = 10 Ω ,R3 = 8 Ω ,ωL3 = 6 Ω ,ωM = 6 Ω , =120∠0° V ,求电流 I。 第7章 互感电路分析 R1 £« U j L1 j M I R3 j L2 j L3 £- 题7-11图 第7章 互感电路分析 7-12 已知题7-12图所示电路中,u(t) = 20 sin (1000t ＋30°) V ,R1 = 10 Ω , R2 = 20 Ω 10 mH ,M = 10 mH ,求i1(t)、 i2(t)。 ,L1 = 20 mH ,L2 = 第7章 互感电路分析 R1 i1 £« u £- L1 i3 M L2 R2 i2 题7-12图 第7章 互感电路分析 7-13 已知题7-13图所示电路中, U =220∠0°V ,R1 = 50 Ω ,L1 = 20 mH , L2= 60 mH ,C=1.5 μF ,f=10 4 Hz ,求M为多大时,才能使电路谐振？谐振时各支电流和 各元件电压为多少？ 第7章 互感电路分析 R1 £« L1 M L2 U £- 题7-13图 C 第7章 互感电路分析 7-14 画出题7-14图所示电路的去耦等效电路,并列 写求解电路的节点电位法方程。 第7章 互感电路分析 j L3 j M £« j L1 j L2 j L4 U s £- 题7-14图 R 第7章 互感电路分析 7-15 电路如题7-15图所示,已知ω=1000 rad/s ,计算 等效阻抗ZAB。 第7章 互感电路分析 M A 10 H A 1F A M M 1H 3F 1H 2H 2H 3H k£ ½0 .9 B k£ ½1 (a) B B (b) 题7-15图 k£ ½0 .9 5 (c) 第7章 互感电路分析 7-16 题7-16图所示的自耦变压器相当于理想变压 器,L1＋L2为原绕组,L2为副绕组,同名端如图中所标,若已 知外加交流电压有效值为U1 = 220 V ,要使输出电压U2 = 200 V ,求变压比和电流I1、 I2。 第7章 互感电路分析 I1 £« U 1 L1 L2 £- £ « I 2 U 2 £- 题7-16图 2 第7章 互感电路分析 7-17 题7-17图所示理想变压器电路中RL 为多大时 可以获得最大功率？并计算该最大功率PLmax 。 100 1 0¡Ã1 £« U s 1000 V £- 题7-17图 RL 第7章 互感电路分析 7-18 题7-18图所示理想变压器电路中ZL为何值时可 以获得最大功率？并计算该最大功率PLmax 。 2 1 ¡Ã5 j20 10 Is 100 A 题7-18图 ZL £ -j1 0 第7章 互感电路分析 7-19 已知题7-19图所示全耦合变压器电路 中,R1=10Ω,ωL1=10Ω,ωL2=1000Ω V U。相对于 A、 B 端, s , =10∠0° 第7章 互感电路分析 M R1 A £« U s £- L1 L2 B 题7-19图 第7章 互感电路分析 7-20 有一信号源的频率为1000 Hz,内阻为500 Ω ,通 过变压器将信号传递给负载电阻RL ,使负载获得最大功 率,已知RL =10 Ω ,问： （1）若用理想变压器传递,应选匝数比为多少的变 压器？ （2）若用全耦合空心变压器,已知变压器原方自感 为0.1 H ,其匝数比应为多少？ 7-21 有 一 铁 心 变 压 器 , 铁 心 允 许 最 大 磁 通 Φ m =12.5×10-4Wb ,电源频率f = 50 Hz ,原方电压U1 = 220 V ,两个副绕组电压分别为U2 = 5 V ,U3 = 6.3 V ,试计算 原绕组匝数和两个副绕组的匝数。 第7章 互感电路分析 7-22 已知题7-22图所示铁心变压器的电源电压为U 1 = 220 V ,原绕组匝数为550匝, 两个副绕组分别为电 压36 V、 功率36 W, 电压12 V、 功率24 W ,若按理想变 压器对待, （1） 求两个副绕组的匝数； （2） （3） 标出三个绕组的同名端。 第7章 互感电路分析 £« u1 £- N2 N1 N3 题7-22图 ZL2 ZL3