Transcript 3之3應用問題

自 我 評 量
小雯與家人到農場踏青，已知全票每
張 x 元，且一張全票比優待票貴 15元。他
們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元
，求全票、優待票每張各為多少元？
如何解決上面的問題呢？可依下列步驟：
步驟 1：以文字符號表示問題中不同的數量。
步驟 2：將各數量的關係列成一元一次方程式。
步驟 3：解一元一次方程式。
步驟 4：將方程式的解代回原問題中，檢驗
後依題意寫答。
以下將逐步分析此問題中的各個段落，
分別找出它們蘊涵的意義。
留意標示粗體字的部分，其目的是學
習如何將已知條件轉譯為數學式子或方程
式，再進行適當的解題步驟。
小雯與家人到農場踏青，已
知全票每張 x 元，且一張全
票比優待票貴 15 元。他們
買了 2 張全票及 4 張優待票
共需 210 元，求全票、優待
票每張各為多少元？
已知全票每張 x 元，則優待票
每張（ x－15） 元。
步驟 1：以文字
符號來表示問題
中不同的數量。
小雯與家人到農場踏青，已
知全票每張 x 元，且一張全
票比優待票貴 15 元。他們
買了2 張全票及 4 張優待票
共需 210 元，求全票、優待
票每張各為多少元？
步驟 2：將各數
量的關係列成一
元一次方程式。
2張全票需2x元，4張優待票需
4(x－15)元，因為共需 210元，
因此可列出2x＋4 ( x－15 )＝210。
小雯與家人到農場踏青，已
知全票每張 x 元，且一張全
票比優待票貴15 元。他們
買了 2 張全票及 4 張優待票
共需 210 元，求全票、優待
票每張各為多少元？
解 2x＋4 ( x－15 )＝210
2x＋4x－60＝210
2x＋4x＝210＋60
6x＝270
x＝45
步驟 3：解一元
一次方程式。
步驟 4：將方程
全票每張 45 元，
式的解代回原問
優待票每張為 x－15＝45－15 題中，檢驗後依
題意寫答。
＝30（元），
2×45＋4×30＝90＋120＝210
(元) 滿足方程式，
所以全票每張 45 元，優待票
每張 30 元。
倍數問題
這次段考，光耀的國文成績為 x 分，如果光耀的
數學成績是國文成績的2 倍少 40 分，且這兩科
的成績合計為 170 分。則光耀的國文成績、數
學成績各為多少分？
因為國文成績為 x 分，
所以數學成績為 ( 2x－40 )分，
由於兩科的成績合計為 170 分，
因此可列出 x＋( 2x－40 )＝170。
解 x＋( 2x－40 )＝170
3x－40＝170
3x＝210
x＝70
所以國文成績為 70 分，
數學成績為2x－40＝2 × 70－40
＝100(分)。
在例題 1 中，如果光耀的國文成績為 x 分，
依題意「兩科的成績合計為 170分」，可得
數學成績為（170－x）分。則：
(1)依據「數學成績是國文成績的 2 倍少 40
分」列出一元一次方程式。
(2)分別求出國文成績與數學成績。
170－x＝2x－40
國文成績 70 分，數學成績 100 分
日常生活中所遇到的問題並不會設定
好未知數，通常會依據題目的敘述，將希
望求得的答案直接假設為未知數，並根據
相關數量關係列成一元一次方程式，以解
決應用問題。
年齡問題
已知父親的年齡比維德年齡多 30 歲，且 6 年後
父親的年齡剛好是維德的3 倍，則維德今年的
年齡是多少歲？
設維德今年x歲，
今年
6年後
則父親今年
(歲)
(歲)
(x＋30)歲；
維德
x＋6
x
6年後，維德為
父親 x＋30 (x ＋30)＋6
(x＋6)歲，
父親為〔(x＋30)＋6〕歲，
由於6年後父親的年齡是維德的3倍，
因此可列出(x＋30)＋6＝3(x＋6)。
解
(x＋30)＋6＝3(x＋6)
x＋30＋6＝3x＋18
18＝2x
x＝9
所以維德今年 9 歲。
維德9歲，父親9＋30＝39歲，
6年後，維德15歲，父親45歲，
45÷15＝3，父親年齡是維德的3倍。
3 年前，媽媽的年齡是玉婷年齡的 4 倍；3
年後，媽媽的年齡是玉婷年齡的3 倍，則玉
婷今年的年齡是多少歲？
設玉婷今年 x 歲，
3 年前，玉婷(x－3)歲，媽媽 4(x－3)歲；
3 年後，玉婷(x＋3)歲，媽媽 3(x＋3)歲。
從 3 年前到 3 年後一共過了 6 年，
4(x－3)＋6＝3(x＋3)
4x－12＋6＝3x＋9，x＝15
所以玉婷今年 15 歲。
相反數問題
怡嘉設計一個電腦小程式，
每按一次按鈕，螢幕左邊的
數字會自動加 1，同時間螢
幕右邊的數字則會自動減 2
，如果一開始螢幕左邊的數
字為－15，螢幕右邊的數字
為 128，則要按幾次按鈕，
螢幕兩邊的數字會互為相反
數？
設須按 x 次按鈕，
則螢幕左邊的數字等於(－15＋x)，螢幕
右邊的數字等於(128－2x)。
由於(－15＋x)和(128－2x)互為相反數，
因此可列出(－15＋x)＋(128－2x)＝0。
如果 A、B 兩數互為相反數，
則 A＋B＝0。
解
(－15＋x)＋(128－2x)＝0
－15＋x＋128－2x＝0
113－x＝0
x＝113
所以要按 113 次按鈕。
－15＋113＝98，
128－2×113＝－98，
兩數互為相反數。
在例題 3 中，如果怡嘉修改此電腦程式，使
得每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加
2，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 3，而
且一開始螢幕左邊的數字為 50，螢幕右邊的
數字為－16，則要按幾次按鈕，螢幕兩邊的
數字會互為相反數？
設須按 x 次按鈕，
則螢幕左邊的數字為（50＋2x），螢幕右
邊的數字為（－16－3x）。
（50＋2x）＋（－16－3x）＝0，x＝34
所以要按 34 次按鈕。
點餐問題
某速食店一份套餐和一份兒童餐共需 180 元，
小萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，合
計為 430 元。則一份套餐多少元？
設一份套餐 x 元， 因為想求出一份套餐
則兒童餐一份為 多少元，所以直接假
（180－x）元， 設套餐一份 x 元。
由於2份套餐和3份
兒童餐合計430元，
因此可列出 2x＋3(180－x)＝430。
解 2x＋3(180－x)＝430
2x＋540－3x＝430
－x＝－110
x＝110
所以一份套餐是 110 元。
一份套餐 110 元，
一份兒童餐 180－110＝70 元，
110 × 2＋70 × 3＝430 (元)。
在例題 4 中，如果設兒童餐一份 y 元，試以
此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出兒
童餐一份的售價，再算出套餐一份的售價。
2（180－y）＋3y＝430
兒童餐一份 70 元，套餐一份 110 元
由例題 4 及隨堂練習可以發現，隨
著假設對象的不同，列出來的方程式會
不一樣，但是將方程式所求得的解代回
原題目時，並不會影響最後的答案。
三數和差問題
甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少存
270 元，乙比丙多存 100 元，且三人共存 1520
元。則甲、乙、丙三人各存多少元？
設甲存 x 元， 求甲、乙、丙三人各
則乙存的錢為 存多少元，可以先假
(x＋270)元， 設甲存了 x 元。
丙存的錢為
(x＋270)－100
＝x＋170 (元)，
因此可列出 x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520。
解
x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520
3x＋440＝1520
3x＝1080
x＝360
所以甲存的錢為 360 元，
乙存的錢為
x＋270＝360＋270＝630(元)，
丙存的錢為
x＋170＝360＋170＝530(元)。
在例題 5 中，如果設乙 甲、乙、丙三人中，乙
存 y 元，試以此未知數 和甲、丙都有直接的數
y 列出一元一次方程式，量關係，所以選擇乙當
並求出甲、乙、丙三人 未知數較為方便。
各存多少元？
(y－270)＋y＋(y－100)＝1520
甲存360元，乙存630元，丙存530元
有餘不足問題
將一袋桃子平均分給一群學生，如果每人
分 10 個，則剩 8 個；如果每人分 12 個，
則不足 6 個。求學生有多少人？桃子總共
有多少個？
設學生有x人，
每人分10個 每人分12個
則10x＋8＝12x－6
剩8個
不足6個
8＋6 ＝12x－10x
12x－6
10x＋8
14 ＝2x
2x ＝14
兩者都表示桃子的總數
x ＝7
桃子的總數也
所以學生有7人，
可以這樣算：
桃子總數為10x＋8＝10×7＋8 12x－6
＝78 (個)。 ＝12×7－6
＝78(個)
設桃子有x個，
x

8
6
則 10 ＝ x12
每人分10個 每人分12個
剩8個
不足6個
x6
x 8
12
10
兩邊同乘以60
得 6(x－8)＝5(x＋6)
6x－48＝5x＋30
兩者都表示學生的總數
6x－5x＝30＋48
x＝78
學生的人數也可
所以桃子有78個，
以這樣算：
8  788  70 x  6  78 6  7(人)
學生有 x10
10 10
12
12
＝7(人)。
由例題 6 可以發現，選擇不合適的
未知數，可能會列出較複雜的方程式，
而增加解題的難度。
老師買了一桶棒棒糖，發給數學成績優良的
學生作為獎勵，如果每人分 8根棒棒糖，則
剩下 3 根；如果每人分 10 根棒棒糖，則不
夠 5 根。
(1)此次數學成績優良的學生有多少人？
(1)設學生有 x 人，
則8x＋3＝10x－5
x＝4
所以學生有 4 人。
老師買了一桶棒棒糖，發給數學成績優良的
學生作為獎勵，如果每人分 8根棒棒糖，則
剩下 3 根；如果每人分 10 根棒棒糖，則不
夠 5 根。
(2)此桶棒棒糖有多少根？
(2) 8x＋3
＝8 × 4＋3
＝35，
所以棒棒糖有 35 根。
折扣問題
已知某臺電腦以定價的七五折賣出，則賠本2000
元；如果改以定價的九折賣出，可賺4000元。這
臺電腦的定價是多少元？
設這臺電腦的定價x元，
90
75
則100 x＋2000＝100 x－4000
75x＋200000 ＝ 90x－400000
600000 ＝ 15x
x＝ 40000
所以這臺電腦的定價是40000元。
定價的七五折
賣出賠2000元
定價的九折
賣出賺4000元
75 x  2000
100
90 x  4000
100
兩者都表示電腦的成本
已知某商品以定價的七五折賣出，則賠本
40 元；如果改以定價的九折賣出，可賺
110 元。求此商品的成本是多少元？
設此商品的定價為 x 元，
75 x＋40＝ 90 x－110
則100
100
75x＋4000＝90x－11000，x＝1000
75 ×1000＋40
所以此商品的成本為 100
＝790(元)。
買賣小常識
大賣場內商品的價格是如何被標訂出
來的？
當賣場從工廠買進一批商品時，所付
出的價錢稱為「成本」。
販售商品時，為了賺取利潤，因此將
商品按照進貨時的成本，加上一定的百分
比，訂為「定價」，這個過程稱為「加
成」。(「一成」＝10％ )
賣場舉辦促銷活動時，為了吸引消費
者的購買，會將商品的定價減少一定的百
分比，這個過程稱為「打折」。（「 一
折」＝10％）
例如：以定價的 70％ 售出商品，稱為「打
七折」或「30％ off」。
解的合理性
杰倫問老師今年幾歲，老師說：「我的年齡與
我兒子的年齡相差 28 歲；且 8 年後，我的年齡
是兒子的 5 倍多 4 歲。」則老師今年幾歲？
老師的兒子今年幾歲？
設老師今年x歲，
今年
8年後
則兒子今年為
(歲)
(歲)
( x－28 )歲；
老師
x＋8
x
8年後，老師為
兒子 x－28 (x－28)＋8
( x＋8 ) 歲，
兒子為(x－28)＋8＝x－20(歲)，
由於老師的年齡是兒子的5倍多4歲，
因此可列出 x＋8＝5(x－20)＋4。
解
x＋8＝5(x－20)＋4
x＋8＝5x－100＋4
104＝4x
x＝26
所以老師今年為 26 歲，
兒子今年為x－28＝26－28＝－2(歲)，
但年齡為負數不合常理，因此這個問題沒有
解。
小夢說自己的生日日期為月分的 15 倍，且
其月分和日期的和為 32。則小夢的說法正
確嗎？為什麼？
設小夢生日月分為 x，則日期為 15x。
x＋15x＝32，x＝2
所以小夢生日為 2 月 30 日，但 2 月不會有
30 日，
故小夢的說法不正確。
一元一次方程式應用問題之解題步驟：
以文字符號表示問題中不同的未知數量
依各數量的關係列出一元一次方程式
解一元一次方程式
檢驗答案，並依題意寫答案
數學小語錄
只要給我一個立足點和支點，還有一根夠
長的木棒，我就能移動地球。
— 阿基米德(Archimedes，287B.C.-212B.C.)
1.惠霖到文具店影印，每張紙的影印費是 2 元，
封面裝訂費用是 50 元。如果惠霖影印了 x 張
紙，並裝訂封面，一共付了 290 元，則惠霖
影印了多少張紙？
2 x＋50＝290
2 x＝240
x＝120
答：120 張。
2.奶茶每杯 x 元，如果加珍珠粉圓，每杯要
多加 5 元。已知銘雄買了 5 杯奶茶，其中
2 杯有加珍珠粉圓，一共要付 110 元，則
奶茶每杯多少元？
5 x＋5 × 2＝110
5x＝100
答：20 元。
x＝20
3.小茵的年齡比老師小 20 歲，6 年後，老師
的年齡是小茵年齡的 2 倍。求小茵今年多
少歲？
設小茵今年 x 歲，則老師今年(x＋20)歲，
6 年後，小茵(x＋6)歲，
老師(x＋20＋6)歲。
x＋20＋6＝2（x＋6）
x＋26＝2 x＋12
答：14 歲。
x＝14
4.一群學生分配宿舍，如果 8 人住一間，則
有 3 人無宿舍可住；如果 9 人住一間，則
有一間只住 3 人。求宿舍有多少間？學生
有多少人？
設宿舍有 x 間，
8 x＋3＝9 x－6
x＝9
8 x＋3＝8 × 9＋3＝75
答：宿舍有9間，學生有75人。
5.右表為某照相館的價目
表，今逢周年慶，底片
沖洗與照片沖洗的費用
皆打九折。如果瑞皇帶
了一卷底片去沖洗規格
( 3 × 5 ) 的照片，打折後共付了 189 元。則
瑞皇洗了多少張照片？
設瑞皇洗了 x 張照片，
90 ＝189
（4 x＋70）× 100
4x＋70＝210
x＝35
答：35 張。
6.壁虎有斷尾求生的本能，某日壁虎小白遇到
了調皮的人類小新，嚇得斷掉尾巴趕緊逃
走，小白回家後，發現牠斷掉的尾巴長為 2
公分，且此時的身長（尚未長出尾巴） 為原
來身長的 23 多 2 公分。小白原身長為多少
公分？
設小白原身長為 x 公分，
x－2＝ 2
3 x＋2
3x－6＝2x＋6
答 ：12 公分。
x＝12
代數之父－丟番圖
丟番圖（Diophantus of Alexandria，希
臘人， 200-284）被譽為代數學（algebra）
的鼻祖。丟番圖引入未知數，創造未知數
的符號，並架構方程式的思想體系。
左圖內的文字，是
引用自丟番圖的墓誌銘，
內容是用數學來介紹丟
番圖的一生：
設丟番圖活了 x 年
（用 x 表示各
時期的年數）
x
6
x
12
設丟番圖活了 x 年
（用 x 表示各
時期的年數）
x
7
5
x
2
4
算算看：
(1)丟番圖幾歲結婚？
列式與求解
x  x  x  5 x  4  x
(3)丟番圖的兒子幾歲就 6 12 7
2
去世了？
x＝84（歲）
(4)丟番圖在幾歲時失去
兒子？
(2)丟番圖幾歲當爸爸？