КРИТЕРИЈУМИ СТАБИЛНОСТИ

Садржај

 Појам стабилности  Дефиниције  Спрегнути пренос  Алгебарски критеријум – Рутов (Раусов)  Графо-аналитички – Најквист (Nyqwist) oв

Појам стабилности

а) стабилна равнотежа б) лабилна равнотежа ц) индиферентна равнотежа

Појам стабилности

Када се на улазу појави импулсна побуда одзиви могу бити: а) за стабилан систем б) за гранично стабилан систем ц) за нестабилан систем

1.

t



e t

Дефиниције



0

2. Када је побуда система δ(t)

t



y t



0

3. Када сви полови (корени карактеристичне једначине) функције преноса G(s)=B(s)/A(s) имају негативне реалне делове

Спрегнути пренос

Преносна функција спрегнутог преноса

Алгебарски критеријум

• Карактеристична једначина: • Факторизацијом карактеристичне једначине се добија:

Факторизација полинома

• p(x) = x 4 - 2x 3 + 2x 2 -2x + 1 x 4 - 2x 3 + 2x 2 -2x + 1 = x 4 - 2x 3 + x 2 + x 2 -2x + 1 = x 2 (x 2 -2x + 1) + x 2 -2x + 1 = (x 2 + 1)(x - 1) 2 то је факторизација у R, (штавише у N :), а ако треба у C (x - i)(x + i)(x -1) 2

Алгебарски критеријум

Полови карактеристичне једначине могу бити реални и прости и/или коњуговано комплексни. Ако се при томе на улаз доведе импулсна побуда биће :    тј.

где су: -σ i реални полови, док су -α k ±jω k комплексни полови и А i , B k и C k константе.

Алгебарски критеријум

• Применом инверзне Лапласове трансформације одзив прелази у временски домен

Алгебарски критеријум

Услов стабилности ће бити задоволјен само ако: сви полови система имају реалан део мањи од 0.

Алгебарски критеријум

Ако систем има бар један пол у координатном почетку (пол је једнак нули) онда је он гранично стабилан.

Ако је реалне делове мање од 0 онда је систем на σ i =0 а остали полови имају апериодичној граници стабилности .

Ако је -α k ±jω k =0 онда је систем на осилаторној граници стабилности .

Рутов (Routh-ov) критеријум

• Посматра се карактеристични полином система : f(s)=a

f(s)

, n s n +a n-1 s n-1 +...+a 1 s+a 0 =0, (1) (уобичајена ознака за кaрaктеристични полином је па ће се она надаље и користити). Након решaвaњa једнaчинe (1), полином f(s) се може написати у факторизованом облику: f(s)=a n (s-p 1 )(s-p 2 )...(s-p n )=0, (2) где јe

p i

i-ti (

i=1,2,...,n

) пол система. Множењем чинилаца једначине (2) сe добија: f(s)=a n s n -a n (p 1 +p 2 +...+p n )s n-1 +a n (p 1 p 2 +p 1 p 3 +p 2 p 3 +...)s n-2 -a n (p 1 p 2 p 3 +p 1 p 2 p 4 +...)s n-3 +...+a n (-1) n p 1 p 2 ...p

n =0.

Рутов (Routh-ov) критеријум

• Према последњем изразу се види да ће сви коефицијенти

1 ,...,a 1 ,a 0

бити истог знака ако су сви

Re

{

pi}<0

реда морају вршити и додатна испитивања. ,

a n ,a n-

па се долази до закључка да је потребан услов стабилности система да сви коефицијенти карактеристичног полиномa буду iстог знака (најчешће се то "истог знака" поистовећује са "позитивни"). Ово је, нажалост, и дoвољан услов само за системе првог и другoг реда, док се за системе вишег Систем првог реда :

a 1 s+a 0 =0

→ знака.

s= - a 0 /a 1

, па је Систем другог реда :

a 2 s 2 +a 1 s+a 0 =0

→ су

a 2 ,a 1 ,a 0 >0

.

s

1 , 2  

s<0

ako su

a 0 a

1  2

a

1

a

2 2  i

a 1

4

a

2 истог

a

0 и нека Ако је а 1 2 ≥4а 2 а 0 →

s 1,2 <0

, односнo акo је а 1 2 < 4а 2 а 0 →

Re{s 1,2 }<0.

сви коефицијенти карактеристичног полинома истог знака. Види се да ће систем имати полове са негативним реалним деловима ако су

Рутов (Routh-ov) критеријум

Код карактеристичних једначина вишег реда примењује се Рутов критеријум, код ког се на основу коефицијаената карактеристичне једначине формира сл. шема

Рутов (Routh-ov) критеријум

Прве две врсте су коефицијенти карактеристичне једначине а остали:

Рутов (Routh-ov) критеријум

• Прва колона се назива буде стабилан је да: Рутова колона.

• Потребан и довољан услов да систем сви коефицијенти у Рутовој колони имају исти знак (буду позитивни).

• Систем је гранично стабилан ако се у Ритовој колони појављују нуле .

Никвистов (Nyqwistov) критеријум

полови ф-је спрегнутог преноса полови ф-је повратног преноса

Никвистов (Nyqwistov) критеријум

• Посматра се стабилност система и у отвореној и у завореној спрези • Систем може бити нестабилан у отвореној спрези али се стабилизује увођењем затворене спреге • Ако је систем стабилан у затвореној повратној спрези онда функција F(s) нема ни једну нулу у десној полуравни комплексне s-равни • Aко је систем стабилан у отвореној спрези онда функција F(s) нема ни један пол у десној полуравни комплексне s-равни

Никвистов (Nyqwistov) критеријум

• Кошијева теорема аргумената – пресликавање комплексно променљиве у функцију комплексно променљиве Десна полураван s-равни

s j R

 

Никвистов (Nyqwistov) критеријум

Када D(s) нема нула и има р полова у десној полуравни ѕ равни

Никвистов (Nyqwistov) критеријум

• број обилазака (промена аргумената) у F(s) равни око координатног почетка одговара разлици броја нула и полова у затвореној контури s равни.

• Стога ако ако имамо p нестабилних полова број обилазака око координатног почетка треба бити р/2.

• Како је W(s)=F(s)-1 онда је за функцију спрегнутог преноса потребно да број обилазака буде р/2 пута око тачке (-1, ј0) и то у смеру супротном од смера казаљке на сату.

Никвистов (Nyqwistov) критеријум пример • Применом Никвистовог критеријума проверити стабилност система функције повратног преноса  

s

 (

s

1   2)(

s



s

2   10)

s

 5  Из карактеристичне једначине функције повратног преноса се види да је Р=2 (Ѕ=1 и Ѕ=2) Уводи се смена Ѕ=јω и раздвоје се реални и имагинарни део.

R

  10   4  20, 6  2  20 

I

  4  17  2  380    2  2   2  25   2 

I R

  0   1  0, 96

R

 2  1, 418  3, 57

R

0, 47 

0.5

0 -0.5

-1 -1.5

2 1.5

1 -2 -1 Никвистов (Nyqwistov) критеријум пример p=[-1,0,-20.6,0,20];roots(p) p=[-1,0,-17,0,380,0];roots(p) ans = 0 4.4409e-016 +5.4558e+000i 4.4409e-016 -5.4558e+000i 3.5730e+000 -3.5730e+000 ans = -7.2164e-016 +4.6399e+000i -7.2164e-016 -4.6399e+000i 9.6384e-001 -9.6384e-001 2 >> s=tf('s') Transfer function:s >> w=(s+2)*(s+10)/(s-1)/(s-2)/(s+5) Transfer function: s^2 + 12 s + 20 ---------------------- s^3 + 2 s^2 - 13 s + 10 >> R=roots (w.den{1}) R = -5.0000e+000 2.0000e+000 1.0000e+000 -0.5

0 Nyquist Diagram 0.5

Real Axis 1 1.5

Никвистов (Nyqwistov) критеријум Хвала на пажњи