Transcript Метод кинетостатики

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 10:
МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ
1. Уравнения кинетостатики
Так же как и для одной материальной точки, дифференциальным уравнениям
движения материальной системы можно придать форму уравнений статики. Этот
метод часто применяется в инженерных расчетах, особенно при определении динадинамических реакций опор твердого тела.
активные силы реакция связей
J k  mk wk - сила инерции
m w  F +R
F +R  J  0
k
k
k
n
n
k
k
n
 F + R   J
k 1
k
k 1
k
учитываются только
внешние силы!
n
r
k 1
k
k 1
k
k
k
0
3 уравнения
В каждый момент времени сумма главных векторов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю
n
n
k 1
k 1
 Fk + rk  R k   rk  J k  0
учитываются только
внешние силы!
F +R  J  0
MO +MOR  MOJ  0
3 уравнения
В каждый момент времени сумма главных моментов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю
2. Уравнения кинетостатики
F +R  J  0
MO +MOR  MOJ  0
Движение твердого тела вполне определяется шестью уравнениями кинетостатики,
точно так же как равновесие твердого тела вполне определяется соответствующими
шестью уравнениями (тремя уравнениями проекций и тремя уравнениями
моментов).
Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить
соответствующие уравнения кинетостатики для каждого тела в отдельности.
Применение метода кинетостатики для твердого тела требует прежде всего
умения вычислить главный вектор и главный момент его сил инерции.
Зная их проекции на выбранные оси координат, следует
1) составить уравнения кинетостатики
2) определить из этих уравнений неизвестные величины.
3. УК=теоремы об изменении
кол-ва и момента кол-ва дв-ия
количество движения системы
n
n
d n
J   J k   mk w k    mk v k
dt k 1
k 1
k 1
dQ
J
=  Mw C
dt
n
m v
k 1
k
k
 Q  MvC
главный вектор всех сил инерции точек материальной
системы равен производной по времени от количества
движения материальной системы, умноженной на -1
KO
dv k
d n
M   rk  J k   rk  mk w k   rk  mk
   rk  mk v k
dt
dt k 1
k 1
k 1
k 1
n
n
n
J
O
dK O
M 
dt
J
O
главный момент всех сил инерции равен производной по
времени от момента количеств движения материальной
системы, умноженной на -1.
4. Вычисление главного
вектора сил инерции ТТ
J   MwC
Главный вектор сил инерции твердого тела равен силе инерции его
центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела
5. Вычисление главного
момента сил инерции ТТ
MCJ  
dK C
dK C

 ω  KC
dt
dt
dKCx
  y KCz  z KCy 
dt
dKCy
J
M Cy  
 z KCx  x KCz 
dt
dK
M CzJ   Cz  x KCy   y KCx 
dt
J
M Cx

Система координат Cxyz жестко
связана с телом
KCx  I xx  I xyy  I xzz
KCy  I y  I xyx  I yzz
KCz  I z  I xzx  I yzy
J
M Cx
  I x x  I xy  y  xz   I xz  z  x y   I yz z2   y2    I z  I y   yz
J
M Cy
  I y y  I yz  z   yx   I yx  x   yz   I xz x2  z2    I x  I z  zx
M CzJ   I z z  I xz  x   yz   I yz  y  xz   I xy  y2  x2    I y  I x  x y
 x  x ,  y  y ,  z  z ,
6. Частные случаи
1) Случай плоского движения твердого тела, имеющего плоскость материальной
симметрии.
Ось z перпендикулярна к плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью движения
I xz  I yz  0,  x   y  0, x  y  0
J
J
MCx
 MCy
 0, MCzJ   ICz z
2) Случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Выберем в качестве полюса произвольную точку на оси вращения, ось z совместим
с осью вращения, а оси х и у скрепим с вращающимся телом.
 x   y  0, x  y  0
M xJ  I xz z  I yzz2
M yJ  I yz z  I xzz2
M zJ   I z z
J
M Cx
  I x x  I xy  y  xz   I xz  z  x y   I yz z2   y2    I z  I y   yz
J
M Cy
  I y y  I yz  z   yx   I yx  x   yz   I xz x2  z2    I x  I z  zx
M CzJ   I z z  I xz  x   yz   I yz  y  xz   I xy  y2  x2    I y  I x  x y
7. Статические и добавочные
динамические реакции
F +R  J  0
MO +MOR  MOJ  0
статические реакции
R  R ст  R д
MOR  MORст  MORд
добавочные динамические реакции
F+R ст  0
MO +MORст  0
Rд  J  0
MORд  MOJ  0
уравнения для определения статических реакций
уравнения для определения динамических реакций
8. Пример 1: определение
добавочных динам. реакций
Статические реакции
RcтA  2mg
Hh
RcтB  0
Дополнительные динамические реакции
m
J0
Силы инерции составляют пару сил.
Она может быть уравновешена только другой парой сил.
RBд  RAд 
h
ma 2
H
m J1
a

J2
J1  J 2  ma2
MOJ  ma2h
B
R дB
R дA
A
R cтA
9. Пример 2: несколько тел
Груз скользит вниз по наклонной эстакаде,
свободно лежащей на земле. Коэффициенты
трения скольжения между грузом и
эстакадой, эстакадой и землей равны f,f0
соответственно. При каких условиях
эстакада не начнет движение?
m1g sin   F1  m1w  0
m1g cos  N1  0
F  m1w cos   0
N  m1g  m2 g  m1w sin   0
N1
F1
N mg
1
m1w  m1g sin   f cos 
Эстакада + груз
m1w
m1w
m2g
Движение груза
F  f0 N
y
y

F
F  m1g sin   f cos  cos
m1g
x
x
N  m1g  m2 g  m1g sin   f cos  sin  
 m2 g  m1g cos  f sin   cos
m1  sin   f cos   cos 
f0 
m2  m1  cos   f sin   cos 
10. Пример 3
Геометрия: С движется по окружности радиуса l
с центром в точке О
F +R  J  0
N2  ml cos  ml 2 sin
N1  mg  ml sin  ml 2 cos
MCz  MCzR  ICz  0
1 2
ml   l  N1 sin   N 2 cos  
3
N1 sin  N2 cos  mgl sin  ml 2
4 2

ml   mgl sin 
3
2 2 d 2
d cos 
3g
ml
 mgl
 2   cos 0  cos  
3
dt
dt
2l
3
mg sin   3cos   2 cos 0 
4
1
N1  mg 1  6cos 0 cos   9 cos  
4
N2 
2
N 2  0  cos   cos 0
3