Transcript e -x

© sujono 2009
B. MENGHITUNG HARGA FUNGSI
HIPERBOLIK
► Harga
sinh x, cosh x, dan tanh x untuk beberapa
harga dapat dicari dalam tabel,
► tetapi
untuk harga x lainnya, harga fungsi
hiperbolik ini harus kita hitung sendiri.
Contoh 1. Menghitung sinh 1,275 = ?
sinh x = ½ (ex – e -x)
sinh 1,275 = ½ (e1,275 – e -1,275).
Dengan menggunakan kalkulator, didapat :
e1,275 = 3,579
Jadi,
dan
e --1,275 = (1 / 3,759) = 0,2794
sinh 1,275 = ½ (3,579 – 0,279)
= ½ (3,300) = 1,65
Jadi,
sinh 1,275 = 1,65
Contoh 2. Menghitung cosh 2,156 = ?
cosh x = ½ (ex + e -x)
cosh 2,156 = ½ (e2,156 + e -2,156).
Dengan menggunakan kalkulator, didapat :
e2,156 = 8,637
Jadi,
dan
e -2,156 = (1 / 8,637) = 0,116
cosh 2,156 = ½ (8,637 + 0,116)
= ½ (8,753) = 4,377
Jadi,
cosh 2,156 = 4,377
Contoh 3. Menghitung tanh 1,27 = ?
ex - e-x
tanh x =
tanh 1,27 =
Jadi,
tanh 1,27 =
ex + e-x
e1,27 - e-1,27
e1,27 + e-1,27
3,561 - 0,281
3,561 + 0,281
tanh 1,27 = 0,854
=
3,280
3,842
Contoh 4. Menghitung sinh-1 1,475 = ?
(Mencari nilai x sedemikian rupa sehingga sinh x = 1,475)
sinh x = 1,475


½ (ex - e-x) = 1,475
ex - (1/ex) = 2,950
kalikan kedua ruas dengan ex  (ex)2 – 1 = 2,95(ex)  (ex)2 - 2,95(ex) - 1 = 0
ex
=
=
2,95 ± 2,952 + 4
2
2,95 ± 12,703
=
=
2
2,95 ± 8,703 + 4
2
2,95 ± 3,564
=
6,514
atau
2
2
0,614
2
 3,257 atau -0.307
tetapi, ex selalu positif untuk nilai x real. dengan demikian satu-satunya
penyelesaian real adalah
x = ln 3,257 = 1,1808

x = 1,1808
Contoh 5. Menghitung cosh-1 2,364 = ?
(hingga empat desimal)
ARTINYA : cosh x = 2,364.
ex - e-x
= 2,364
jadi,
2
(ex)2
–
4,728(ex)
ex + 1x = 4,728
e
+1
ex
=
4,7280 ±
4,27802 - 4
2
= ½ (4,7280 ± 4,284 ....)
= 4,5060 .... atau 0,2219 ....
Oleh sebab itu :
x = ln 4,5060 .... atau ln 0,2219 ....
x = +1,5054 atau -1,5054
Contoh 6. Menghitung tanh-1 0,623 = ?
ARTINYA tanh x = 0,623

e-x - e-x
= 0,623
e-x + e-x
e-x - e-x = 0,623 (ex + e-x)
(1 – 0,623) ex = (1 + 0,623) e-x
0,377 ex = (1,623 e-x
=
1,623
ex
MAKA (ex)2 =
1,623
0,377
= 2,073
x = ln 2,073
= 0,7299
jadi, tanh-1 0,623 = 0,730
Bentuk umum :
Mempunyai
satu harga
sinh-1 x
 ln { x +
Mempunyai
DUA harga
}
x22 1
x
}
cosh-1 x
 ± ln { x +
Mempunyai
satu harga
x2 1
x2 1
tanh-1 x
 ½ ln
1  x 


1  x 
CONTOH
cosh-1 2,061= ..... ?
cosh-1 2,061
=
=
=
=
=
±
±
±
±
±
Solusi



ln x  x  1
ln 2,061  2,0612  1
ln 2,061 3,248
ln {2,061 + 1,082}
ln (3,863)

2


Jadi, cosh-1 2,061 =
1,351 atau - 1,351
IDENTITAS
HIPERBOLIK
identitas
trigonometrik








identitas
hiperbolik
cot x = 1 / tan x
sec x = 1 / cos x
cosec x = 1 / sin x
coth x
= 1 / tanh x
sech x = 1 / cosh x
cosech x = 1 / sinh x
cos2 x + sin2 x = 1
sec2 x = 1 + tan2 x
cosec2 x = 1 + cot2 x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x
= 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x – sin2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
= 1 - (2 sin2 x)
= (2 cos2 x) - 1