Transcript 3.1. Impulso de una fuerza

UNIVERSIDAD NACIONAL
Optaciano Vasquez
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA I
IMPULSO, CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y CHOQUES
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
I.
OBJETIVOS
Optaciano Vasquez
Al finalizar esta unidad el alumno será capaz de:
a) Calcular el momento lineal de una partícula y el
impulso de una fuerza.
b) Aplicar el principio del impulso y la cantidad de
movimiento.
c) Aplicar el principio
momento lineal.
de
conservación
del
d) Diferenciar los tipos de colisiones.
e) Aplicar los principios de conservación de la
energía y momento al estudio de las colisiones
I.
INTRODUCCIÓN
Optaciano Vasquez
Si dos móviles colisionan ¿Qué es lo que
determina hacia donde se mueven?
I.
INTRODUCCIÓN
Optaciano Vásquez
En un juego de billar ¿cómo decide Ud. la
dirección que debe darle a la bola blanca para
meter la bola número cuatro en la canastilla?
I.
INTRODUCCIÓN
 Algo en común que tienen estas preguntas es que
no pueden constatarse aplicando directamente la
segunda ley de Newton, debido a que actúan
fuerzas sobre las que se sabe muy poco.
 En este capítulo veremos que a veces no es
necesario saber de estas fuerzas.
 Para ello usaremos los conceptos de impulso,
momento y la conservación de momento.
 La ley de conservación del momento lineal vale en
situaciones en que la ley de Newton es
inadecuada como por ejemplo el estudio de las
colisiones.
III. IMPULSO DE UNA FUERZA Y CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
 Considere una partícula de masa m sobre la que actúa
una fuerza externa resultante FR   F
 La segunda ley de Newton se expresa en la forma
dp
F 
dt
 Según esta ecuación “un cambio rápido de la cantidad
de movimiento requiere un fuerza resultante grande.
 Si las fuerzas son contantes o sólo depende dl tiempo
la ecuación anterior puede integrarse

t2
t1
p2
mv2
p1
mv1
FR dt  dp  
t2
d (mv )
mv1   FR dt  mv2
t1
3.1.Cantidad de movimiento
 El momento es una medida de cuan difícil es detener
o poner en movimiento un objeto.
 Es una cantidad vectorial dada por el producto de se
masa y su velocidad.
 El momento tiene la misma dirección y sentido que la
velocidad.
p  mv
3.1. Impulso de una fuerza (I)
 Es una cantidad vectorial que mide el efecto de una
fuerza durante el intervalo de tiempo que dura su
aplicación.
 Matemáticamente se expresa mediante la integral de
la fuerza por el tiempo. Es decir
t2
I   FR dt
t1
3.1. Impulso de una fuerza (I)
 En general, la fuerza resultante es un vector cuyo
módulo y dirección varían con el tiempo.
 Si la dirección no varía puede sacarse de la integral.
En este caso el impulso el módulo del impulso es igual
al área bajo la curva fuerza-tiempo durante el
intervalo de tiempo
I   FR dt  FR  t2  t1 
t2
t1
I  FR t
3.1. Impulso de una fuerza (I)
 La ecuación I  F t
también se puede utilizar para
determinar la fuerza media durante un intervalo de
tiempo. La fuerza media es la fuerza constante
equivalente que daría el mismo impulso que la fuerza
original variable con el tiempo
3.1. Impulso de una fuerza (I)
 Cuando la fuerza resultante es
variable
se
descompone
en
componentes por ejemplo ortogonales
t2
I   ( FRx i  FRy  FRz )dt
t1
I 
  F dt  i    F dt  j    F dt  k
Rx
Ry
I x   FRx dt
I y   FRy dt
I z   FRz dt
Rz
IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE
MOVIMEINTO
• Al integrar la segunda ley de Newton se obtuvo
dp d (mv )
F

dt
dt
 Fdt  d  mv  
t2
 Fdt  mv
2
 mv1
t1
mv1  I12  mv2
• La momento lineal final se obtiene sumando
vectorialmente al momento lineal inicial, el impulso de
la fuerza resultante
IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE
MOVIMEINTO
• El principio I-p es una ecuación vectorial para aplicarlo
se descompone en componentes. Esto es
t2
 mvx 1   Fx dt   mvx 2
mv1  Imp12  mv2
t1
t2
 mv    F dt   mv 
y 1
y
y 2
t1
t2
 mvz 1   Fz dt   mvz 2
t1
IV. PRINCIPIO IMPULSO
CANTIDAD DE MOVIMEINTO
• Si en un problema intervienen dos • Entonces se tiene
o más partículas, cada una de
 pi1   I12   p f
ext
ellas se estudia por separado y se
aplica el principio I-p a cada una.

• Donde FRi, es la resultante delas
fuerzas exteriores y F12 es la
fuerzas interior
 pi 1    FR1  F21 dt   p f 1
 pi 2    FR 2  F12 dt   p f 2
• Al sumar estas ecuaciones, los
impulsos de las fuerzas internas
se cancelan de acuerdo a la
tercera ley de Newton

V.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
• Si la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es nula,
las únicas fuerzas presentes serán las fuerzas internas.
• De acuerdo con la tercera ley de Newton estas fuerzas
internas son de igual magnitud pero de signo opuesto.
• Al sumar los impulsos de estas fuerzas se cancelan
mutuamente entonces se tiene
mv   Imp   mv
  mk vk inicial    mk vk  final
1
12
2
• La ecuación establece que “si la resultante de las fuerzas
externas es nula el momento lineal del sistema se
conserva”
V.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
• Para el caso de dos partículas se tiene
mv  mv
1
2
 0  mAv 'A  mBv 'B
VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO
• Si una fuerza muy grande
actúa durante un intervalo de
tiempo muy corto y la fuerza
produce un cambio definido
en el momento. A esta fuerza
se le llama IMPULSIVA y el
movimiento es impulsivo.
• Un ejemplo lo constituye la
interacción entre de béisbol al
entrar en contacto con la
pelota, éste dura un t muy
pequeño pero la fuerza es
intensa siendo el impulso lo
suficiente para cambiar la
trayectoria de la pelota
VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO
• En la figura se muestra un diagrama Impulso-momento
para la interacción bate- pelota
• El principio I-p, se escribe
mv1   F t  mv2
• En este caso se desprecian aquellas fuerzas que no sean
impulsivas como por ejemplo el peso en este ejemplo ya
que su impulso es muy pequeño
Ejemplo 01
• Un auto desciende por una pendiente de 5° a
una velocidad de 100 km/h cuando se aplican los
frenos generando una fuerza de frenado
constante (aplicada por la calzada a las cubiertas)
de 6,5 kN. Determine el tiempo que demora el
vehículo en detenerse
Solución
• Aplicando el principio impulso
cantidad de movimiento se
tiene
mv1  Imp12  mv2
Tomando las componetes
paralelas al plano inclinado
mv1  W sin 5  t  Ft  0
(1800) (27.78 m/s)  (1800 x 9.81)
(sen 5) t  6500 t  0
t  10.08s
Ejemplo
• El coeficiente de fricción entre el bloque A de 50
kg representado en la figura y la superficie
horizontal es 0,20. La fuerza F  15t 2iˆ se expresa en
newton cuando t está en segundos. Calcule el
impulso lineal resultante sobre el bloque desde t =
0 hasta t = 5 s, considere que el cuerpo se mueve
hacia la derecha durante todo el intervalo de
tiempo.
Ejemplo
• El coeficiente de fricción entre el bloque A de 12
kg mostrado en la figura y el plano es 0,20. La
fuerza F   250  150t  i se expresa en newton cuando
t está en segundos. El bloque se encuentra en
reposo en el instante t = 0. Calcular la velocidad
del bloque cuando t = 2 s.
Ejemplo
• Una pelota de béisbol de 120 g es lanzada con una
velocidad de 24 m/s. Después de ser golpeada por el
bate tiene una velocidad de 36 m/s en la dirección
mostrada. Si la pelota y el bate están en contacto
durante un intervalo de tiempo de t = 0,015 s.
Determine la fuerza impulsiva media ejercida sobre la
pelota durante el choque
Solución 02
• Aplicando el principio Impulso cantidad
de
movimiento
en
forma
de
componentes, resulta
mv1  Imp12  mv2
Componente x:
 mv1  Fx t  mv2 cos 40
(0.12 kg) (24 m/s)  Fx (0.015 s)
 (0.12 kg) (36 m/s) cos 40
Fx  412.6 N
componente y
y
x
0  Fy t  mv2 sin 40
Fy  0.015 s   (0.12 kg) (36 m/s)sin 40
Fy  185.1 N
F  452.2 N
24.2
Ejemplo
• Un paquete de 10 kg cae por una rampa sobre un
carro a una velocidad de 3 m/s. Si el carro
inicialmente estaba en reposo y éste puede rodar
libremente. Determine: (a) la velocidad final del
carro, (b) el impulso que el carro ejerce sobre el
paquete y (c) la fracción de energía cinética que se
pierde durante el choque
Solución
• Se aplica el principio I- P al sistema paquete más carro
para determinar la velocidad del carro más el paquete.
y
x
m p v1   Imp12   m p  mc  v2
Componente x
m p v1 cos30  0   m p  mc  v2
10 kg  3 m/s  cos30  10 kg  25 kg  v2
v2  0.742 m/s
Solución
• Se aplica el principio I-p al paquete sólo para determinar el
impulso ejercido sobre él debido al cambio en su
movimiento
y
x
mpv1  Imp12  mpv2
Componente xm v cos 30  F t  m v
p 1
x
p 2
10 kg  3 m/s  cos 30  Fx t  10 kg  v2
Componente y
Fx t  18.56 N  s
m p v1 sin 30  Fy t  0
 10 kg  3 m/s  sin 30  Fy t  0
 Imp
12
 F t   18.56 N  s  i  15 N  s  j
Fy t  15 N  s
F t  23.9 N  s
Solución
Fracción de energía perdida
10 kg 3m s   45 J
2
2
1
1
T1  2  mp  mc  v2  2 10 kg  25 kg  0.742 m s   9.63 J
T1  m v 
1
2
2
p 1
1
2
2
T1  T2 45 J  9.63 J

 0.786
T1
45 J
Ejemplo
• Los bloques A y B mostrados en
la figura tienen una masa de 3 kg
y 5 kg, respectivamente. Si B se
está moviéndose primero hacia
abajo con una velocidad de
3 m/s. Determine de las cuerdas
y poleas
Ejemplo
• El tronco de 500 kg reposa sobre la superficie rugosa
cuyos coeficientes de fricción estático y cinético son
ms = 0.5 y mk = 0.4. Si el torno ejerce una fuerza
variable como se muestra en la figura. Encuentre la
velocidad del tronco después de 5 s de aplicado la
fuerza por el torno
Ejemplo
• Sobre un bloque de 50 kg inicialmente en reposo
actúa una fuerza F cuyo módulo varía como se
muestra en al figura. Si el coeficiente de fricción
entre el bloque y la superficie horizontal es 0,20.
Calcular la velocidad del bloque: (a) en t = 5 s y
(b) en t = 8 s
Ejemplo
• A una caja de 10 kg que
descansa sobre una superficie
horizontal, según se indica en la
figura, se le aplica una fuerza P
horizontal. El módulo de P varía
con el tiempo según se indica en
la fig (b). Si los coeficientes de
rozamiento estático y cinético
valen 0,40 y 0,30, determine.
(a) el instante t1 en que la caja
comienza a deslizarse, (b) la
máxima velocidad vmax de la caja
y el instante tmax en que lo
alcanza y (c) el instante tf en el
cual cesa el deslizamiento.
Ejemplo
• El sistema representado se
suelta desde el reposo.
Hallar el tiempo que tarda A
en alcanzar la velocidad de
0,6 m/s. Se desprecia el
rozamiento y la masa de las
poleas.
Ejemplo
• Dos automóviles chocan en
el cruce, según se indica en
la figura. El auto A tiene una
masa de 1000 kg y una
celeridad inicial vA = 25
km/h, mientras que el auto B
tiene una masa de 1500 kg.
Si
los
autos
quedan
enganchados y se mueven
conjuntamente
en
la
dirección dada por el ángulo
θ = 30º después del choque,
determine la celeridad vB que
llevaba el auto B antes de
chocar.
Ejemplo
• Un bloque de madera de 0,30 kg está unido a un resorte
de k = 7500 N/m como se muestra en la figura. El bloque
está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa
(μk = 0,40) y recibe el impacto de una bala de 0,030 kg
que lleva una velocidad inicial vi = 150 m/s. En el choque,
la bala queda incrustada en la madera. Determine: (a) la
celeridad del conjunto bloque-bala inmediatamente
después del choque, (b) la distancia que recorrerá el
bloque antes de detenerse.
Ejemplo
• Un péndulo balístico consiste en una caja de peso 25 N
que contiene arena y está suspendida de un hilo ligero de
1, 5 m de longitud como s ve en a figura. Una bala de 14
g incide sobre la caja y queda incrustada en la arena. Si la
celeridad que llevaba inicialmente la bala era de 105 m/s,
determine: (a) La celeridad del conjunto caja-bala
inmediatamente después del impacto, (b) el ángulo
máximo que describirá el péndulo después del impacto.
Ejemplo
• Un muchacho que tiene una masa de 40 kg está parado
en la parte trasera de un tobogán de 15 kg que
originalmente está en reposo, como se muestra en la
figura. Si el muchacho camina hacia el frente B y se para,
determine la distancia que se mueve el tobogán. Suponga
que el tobogán está apoyado sobre el hielo, de modo que
puede despreciarse la fricción sobre la parte inferior del
tobogán.
Ejemplo
• Un pilote rígido indicado en la
figura tiene una masa de 800 kg, y
se inca en el suelo usando un
martinete H que tiene una masa de
300 kg. El martinete cae desde el
reposo desde una altura yo = 0,5
m y choca contra la parte superior
del pilote. Determine el impulso
incial que imparte el martinete
sobre el pilote si: (a) la parte
inferior del pilote está apoyada
sobre un lecho rocoso rígido en B y
(b) el pilote está rodeado de arena
suelta, de tal manera que después
del choque el martinete no rebota
fuera del pilote.
VII. IMPACTO O COLISIÓN O CHOQUE
• La colisión o choque entre dos cuerpos es un proceso
dinámico en donde intervienen fuerzas muy grandes que
actúan durante tiempos muy cortos los que dan lugar a
fuertes cambios de velocidad de uno o ambos cuerpos.
• Las intensas fuerzas de reacción durante el choque
producen deformaciones considérables de los cuerpos
ocurriendo una conversión de energía en forma de calor y
sonido
7.1 CLASE DE CHOQUES
• Las colisiones o choques se clasifican en:
1. Según la posición relativa de los centros de masa, la
velocidad relativa de los centros de masa y la línea de
impacto (normal común a las superficies de contacto).
a) Choque central. Es en el cual los centros de masa de los
cuerpos se encuentran sobre la línea de choque.
b) Choque excéntrico. Es aquel en el cual los centros de
masa de uno de ellos no está sobre la línea de choque.
En general ocurre en el chuque de cuerpos rígidos.
7.1 CLASE DE CHOQUES
• Las colisiones o choques se clasifican en:
2. Según su orientación de las velocidades respecto a la línea
de choque.
a) choque central directo: Aquel en el cual las velocidades
de aproximación de los cuerpos se encuentran sobre la
línea de choque.
a) choque central oblicuo: Aquel en el cual las velocidades
de aproximación de los cuerpos no se encuentran sobre la
línea de choque
7.2. IMPACTO CENTRAL DIERCTO
• Consideremos
dos
partículas
moviéndose como se ve en la figura
• Si vA es mayor que vB ocurrirá un
choque.
• A consecuencia del impacto las dos
partículas se deforman y al final del
período d deformación, las dos
tienen la misma velocidad u.
• Posteriormente viene el período de
restitución, al final del cual, en
función de las intensidades de las
fuerzas y de las características de
los
materiales
los
cuerpos
recobraran su forma original o
quedarán
deformados
permanentemente.
7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO
• Considerando al sistema como
aislado vemos que no existen
fuerzas
externas
impulsivas.
Entonces,
se
conserva
el
momento lineal del sistema. Es
decir:
mAvA  mBvB  mAv 'A  mBv 'B
• Las velocidades se consideran
positivas si están hacia la derecha
y negativas si están dirigidas a la
izquierda
• Una segunda relación se obtiene
al analizar los períodos de
deformación y restitución
7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO
• Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los períodos de
deformación y restitución.
• Período de deformación
mAv A   Pdt  m Au
• Período de restitución
mAu   Rdt  mAvA
En el impulso de restitución es menor que
el impulso de deformación
El coeficiente de restitución se define
como la razón entre los impulsos de
restitución y de deformación
Rdt u  v

e

 Pdt v  u
A
A
0  e 1
7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO
• Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los períodos de
deformación y restitución.
• Período de deformación El coeficiente de restitución se define
mB vB   Pdt  mB u
• Período de restitución
mB u   Rdt  mB vB
como la razón entre los impulsos de
restitución y de deformación
Rdt v  u

e

 Pdt u  v
'
B
B
0  e 1
7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO
• Debido a que las dos ecuaciones anteriores son
iguales, entonces será igual la fracción obtenida
sumando sus numeradores y denominadores. Por
tanto se tiene
'
'
u

v

v
 A   B  u
v v
e

(v A  u )  (u  vB ) v A  vB
'
B
'
A
vB'  v A'  e(v A  vB )
• La velocidad relativa después del choque se obtiene
multiplicando las velocidades relativas antes del
choque por el coeficiente de restitución
7.2.1Choque perfectamente plástico
• En este tipo de choque el
coeficiente de restitución
es nulo.
• Las velocidades después
del choque de ambos
cuerpos es la misma.
• En esta colisión la pérdida
de energía es máxima.
e  0  vB'  v A'  v '
mAvA  mB vB  (mA  mB )v
'
• Un ejemplo lo constituye el
péndulo balístico
7.2.2 Choque perfectamente elástico
• Aquí
el
coeficiente
de • Sin embargo, uno de los
restitución es igual a la unidad
ejemplos que podría
aproximarse a este tipo
vB'  vA'
e 1
 vB'  vA'  vA  vB
de
choque
es
el
vA  vB
• En esta colisión se conserva el mostrado en la figura
momento lineal, es decir
mAvA  mBvB  mAv 'A  mBv 'B
• También se conserva la
energía cinética del sistema
1
1
1
1
2
2
2
mAvA  mB vB  mA (v ' A )  mB (v 'B ) 2
2
2
2
2
• Este tipo de colisión es difícil
de encontrarlo
7.2.2 Choque inelástico
• Este choque es el mas común.
• En este choque no se conserva
la
energía total de las
partículas.
• El coeficiente de restitución
tiene valores entre 0 < e <1.
vB'  vA'
e
vA  vB
• Aquí si se conserva el momento
lineal
mAvA  mBvB  mAv 'A  mBv 'B
7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO
• Aquel choque en el cual los centros de masas de los
cuerpos están sobre la línea de choque pero sus
velocidades de aproximación se encuentran formando
ángulos con la línea de choque
En este caso las magnitudes
y las direcciones de las
velocidades después del
choque son desconocidas
7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2
• Para determinar estas cuatro incógnitas consideremos la
colisión mostrada en la figura
• Se conserva la componente t del momento lineal de cada
partícula por separado.
 vA t   v 'A t ;
 vB t   v 'B t
• Se conserva la componente n del momento lineal del sistema
mA vA n  mB vB n  mA v' A n  mB v'B n
7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2
• La componente n de las velocidades relativas después del
choque se obtiene multiplicando la velocidad relativa
antes del choque por el coeficiente de restitución.
•
 v 'B n   v ' A n  e  vA n   vB n 
• De esta forma se obtiene cuatro ecuaciones
independientes de las que se despeja las velocidades de A
y B después del choque
7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_3
• Si uno de los cuerpos está • Las velocidades de A y B
restringido a moverse de
después del choque se
algún modo como se ve en
representan
por
tres
la figura
incógnitas: el módulo de
la velocidad de A, v’A del
• En este caso A está
cual se sabe que es
restringido
a
moverse
horizontal y la magnitud y
horizontalmente.
dirección de la velocidad
• Los impulsos de las fuerzas
de B, v’B.
F y –F se encuentran en la
dirección n
• El impulso de la fuera
externa Fex ejercida por la
superficie horizontal sobre A
es vertical
7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_4
Entonces debemos escribir tres ecuaciones.
1. La componente t del momento lineal de B se conserva
 vB t   v 'B t
1. La componente según el eje horizontal x del momento lineal total de
a y B se conserva.
mAvA  mB  vB x  mAv 'A  mB v 'B x
1. La componente n de las velocidades relativas antes y después del
choque están relacionadas por
(vB )n  (vA )n  e[(vA )n  (vB )n ]
3
OBSERVACIÓN
 v 'B n   v ' A n  e  vA n   vB n 
La ecuación que da e
puede ser obtenida
aplicando el principio
I-p a la partícula A
como se muestra en
la figura
  Pdt  cos   m u
m u    Rdt  cos   m v '
Rdt  cos  u   v ' 


e

  Pdt  cos  v   u
mAv A 
A
A
A
n
A
A n
A n
n
EJEMPLO 01
• El costal A, de 6 lb se suelta
desde el reposo cuando θ = 0°,
como se muestra en la figura.
En su trayecto choca contra una
caja B de 18 lb cuando θ =
90°. Sabiendo que el coeficiente
de restitución entre la caja y el
costal es e = 0,30. Determine:
(a) la velocidad de la caja y del
saco inmediatamente después
del impacto y (b) la pérdida de
energía cinética debido al
choque
EJEMPLO 02
• Las magnitudes y direcciones de las velocidades de
las esferas lisas idénticas antes de que choquen se
indican en la figura. Suponiendo que el coeficiente
de restitución para el choque es e = 0,90.
Determine:
(a) la magnitud y dirección de las velocidades de
ambas después del choque y
(b) la pérdida de energía cinética debido al choque
Solución
• Descomponiendo las velocidades de las esferas en
componentes normal y tangencial al plano de
contacto
vA n  vA cos30  7.8m s
vA t  vA sin30  4.5m s
vB n  vB cos60  6.0m s
vB t  vB sin60  10.4m s
• Las componentes tangenciales de las
esferas es conservado
 vA t   vA t  4.5m s
vB t  vB t  10.4m s
• Se conserva el momento
sistema en dirección normal
lineal
mA  vA n  mB  vB n  mA  vA n  mB  vB n
m  7.8  m  6.0   m  vA n  m  vB n
 vA n   vB n  1.8
del
Solución
• Coeficiente de restitución
 vA n   vB n  e  vA n   vB n 
 0.90 7.8   6.0    12.4
• Resolviendo simultaneamente las ecuaciones se
determina las componentes normal de cada velcoidad
 vB n  7.1m s
vA n  5.3m s
vA  5.3t  4.5n
vA  6.95 m s
 4.5 
tan 1 
  40.3
 5.3 
vB  7.1t  10.4n
vB  12.6 m s
 10.4 
tan 
  55.6
 7.1 
1
EJEMPLO 03
• Un pelota se lanza contra una
pared
vertical
lisa.
Inmediatamente antes que la
pelota choque contra la pared su
velocidad tiene un módulo v y
forma un ángulo de 30° con la
horizontal. Si el coeficiente de
restitución es e = 0,90. determine
el módulo y dirección de la
velocidad de la pelota cuando
rebote
Solución
Descomponer la velocidad de la bola en componentes
paralela y perpendicular a la pared
vn  v cos30  0.866v
vt  v sin 30  0.500v
• La componente tangencial del momento de la esfera se
conserva
vt  vt  0.500v
t
• Aplicando la definición del coeficiente de restitución
n
0  vn  e  vn  0 
vn  0.9  0.866v   0.779v
v  0.779v  n  0.500v  t
 0.779 
v  0.926v tan 1 
  32.7
 0.500 
EJEMPLO 04
• Una pelota choca con el suelo con una velocidad v0 de 5
m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal.
Sabiendo que el coeficiente de restitución para el choque
es e = 0,60 y que la pelota tras el rebote, alcanza el
punto B con una velocidad horizontal, halle:
(a) las distancia h y d;
(b) la velocidad de la pelota cuando llega a B.
EJEMPLO 05
• La esfera B cuelga de un cable inextensible BC. Una esfera
idéntica se suelta desde el reposo cuando se encuentra
justo en contacto con el hilo y adquiere una velocidad vo
antes de chocar con la esfera B. Asumiendo que la colisión
es perfectamente elástica (e =1) y en ausencia de fricción.
Determine la velocidad de cada esfera inmediatamente
después del impacto
Solución
• Se determina la orientación de la
línea de impacto
r
 0.5
2r
  30
sin  
• Se conserva la componete tangencial
al plano de contacto para la esfera A
mvA  F t  mvA
mv0 sin 30  0  m  vA t
 vA t  0.5v0
• Se conserva el momentum
lineal del sistema en la
dirección x
mv A  T t  mvA  mvB
0  m  vA t cos 30  m  vA n sin 30  mvB
0   0.5v0  cos 30   vA n sin 30  vB
0.5  vA n  vB  0.433v0
Solución
• Coeficiente de restitución en dirección n
 vB n   vA n  e  vA n   vB n 
vB sin 30   vA n  v0 cos 30  0
0.5vB   vA n  0.866v0
• Resolviendo las dos últimas expresiones para la velocidad
de la esfera A a lo largo de la línea de acción y la
velocidad de la esfera A la cual es horizontal
 vA n  0.520v0
vB  0.693v0
vA  0.5v0 t  0.520v0 n
vA  0.721v0
 0.52 
  46.1
 0.5 
  tan 1 
  46.1  30  16.1
vB  0.693v0 
EJEMPLO 06
• Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 2 m
sobre el plato de 10kg de una balanza de resorte.
Suponiendo que el choque es perfectamente plástico.
Determine el máximo desplazamiento del plato. La
constante del resorte es k = 20 kN/m
Solución
• Se
aplica
el
principio
de
conservación de la energía para
determinar la velocidad de A un
instante antes del choque
T1  0
V1  WA y   30  9.81 2   588 J
T2  12 mA  vA 2  12  30  vA 2
2
2
V2  0
T1  V1  T2  V2
0  588 J  12  30  vA 2  0
2
 vA 2  6.26 m s
• El momento lineal del sistema se
conserva
mA  vA 2  mB  vB 2   mA  mB  v3
 30  6.26   0   30  10  v3
v3  4.70 m s
Solución
• Se aplica el principio de conservación de la energía
para determinar la deformación máxima del resorte
T3 
1
2
 mA  mB  v32  12  30  10  4.7  2  442 J
V3  Vg  Ve
V3  0  12 kx32 
1
2
 20 103  4.91103   0.241 J
2
T4  0
Deformación inicial del
resorte debido al peso del
plato
WB 10  9.81
x3 

k
20 103
x3  4.91103 m
V4  Vg  Ve  WA  WB   h   12 kx42
V4  392  x4  x3   12  20  103  x42
V4  392  x4  4.91 10 3   12  20  103  x42
T3  V3  T4  V4
442  0.241  0  392  x4  4.91103   12  20 103  x42
x4  0.230 m
3
h  x4  x3  0.230 m  4.9110 m h  0.225 m
EJEMPLO 07
• Una esfera A de 1,2 kg, que se mueve a una velocidad
v0 paralela al suelo de módulo v0 = 2 m/s, choca con la
cara inclinada de una cuña B de 4,8 kg, que puede rodar
libre mente sobre el suelo y que está inicialmente en
reposo. Sabiendo que θ = 60º y que el coeficiente de
restitución entre la esfera y la cuña es e = 1, hallar la
velocidad de la cuña inmediatamente tras el impacto.
EJEMPLO 08
• Sobre una superficie dura cae una pelota que rebota
según se indica en la figura. Si el coeficiente de
restitución para el choque es e = 0,80, la pelota parte
desde el reposo cuando h = 1 m y la pelota salva apenas
la pared en el punto más alto del rebote. Determine las
distancias b, c y d de la figura.
EJEMPLO 09
• Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad v0 = 2
m/s cuando choca contra la esfera A de 0,5 kg, la cual esta
en reposo y cuelga de una cuerda sujeta en O. sabiendo
que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la
superficie es μK = 0,60 y que el coeficiente de restitución
para el choque es e = 0,80. Determine tras el impacto: (a)
la altura máxima alcanzada por la esfera y (b) la distancia
x que recorre el bloque.
EJEMPLO 10
• El bloque A de 3 kg se abandona en reposo en la posición
de 60º indicada y choca luego con el carrito B de 1 kg si
en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,70,
hallar hasta que distancia s el carrito rebasa el punto C.
Desprecie el rozamiento. ¿Cuál es la fuerza que la pista
ejerce sobre el carrito inmediatamente antes de pasar por
C?.
EJEMPLO 02
• Una niña lanza una pelota contra un muro inclinado desde
una altura de 1,2 m, golpeando al muro en A con una
velocidad horizontal v0 de módulo 15 m/s. Sabiendo que el
coeficiente de restitución entre la pelota y el muro es 0,9 y
despreciando el rozamiento, halle la distancia d desde el
pie del muro al punto B donde la pelota choca con el suelo
tras el rebotar en el muro