Transcript Modul I formulasi LP

MODUL I
FORMULASI
LINEAR PROGRAMMING
INTRODUCTION TO LINEAR PROGRAMMING
Perharikan skenario berikut:
Perusahaan furnitur CALS Furniture memproduksi
dan menjual produk-produk berikut.
Kursi: dijual $150
Meja: dijual $250
Programa Linier/ OR I/ Reni A
Sofa: Dijual $400
3
Kebutuhan komponen masing-masing produk :
Kursi :
6
4
2
2
Meja :
4
0
2
0
Sofa :
12
4
8
14
Programa Linier/ OR I/ Reni A
4
Constraint (Kendala) dalam Linear Programming
• Limitations (keterbatasan): Perusahaan hanya
memiliki komponen yang tersedia sbg berikut:
725
650
500
1000
• Tujuan perusahaan furnitur CALS yaitu :
Menentukan jumlah kursi, meja dan sofa untuk
memaksimalkan nilai penjualan total dari
produk-produk yang dibuat tersebut.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
5
Solusi untuk Perusahaan furnitur CALS
• Kita dapat mencoba secara manual
menentukan kombinasi-kombinasi
komponen dari produk dan menentukan
nilai penjualan totalnya. Meski demikian
bagaimana kita tahu kombinasi mana
yang terbaik?
• Maka kita dapat menggunakan Linear
Programming untuk memecahkan
permasalahan ini. Linear programming
dapat memberikan solusi terbaik.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
6
PENGANTAR
• Pemrograman (programming)
secara umum berkaitan dengan
penggunaan atau pengalokasian
sumberdaya yang langka – tenaga
kerja, bahan, mesin dan modal –
dalam cara yang “terbaik”
sehingga diperoleh biaya yang
minimum atau profit yang
maksimum.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
7
PENGANTAR
• Istilah “terbaik” mengimplikasikan
bahwa terdapat satu himpunan
alternatif tindakan yang tersedia
bagi pengambilan keputusan.
• Secara umum, keputusan terbaik
diperoleh dengan memecahkan
suatu masalah matematis.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
8
• Pemrograman linier (linear programming,
LP) adalah salah satu dari masalah
pemrograman matematis yang memenuhi
persyaratan sebagai berikut:
Kriteria untuk memilih nilai “terbaik” dari
variabel keputusan dinyatakan sebagai suatu
fungsi linier
Aturan operasi yang mengarahkan proses
(dalam hal ini, sumberdaya yang langka)
dinyatakan
sebagai
satu
himpunan
persamaan atau pertidaksamaan linier.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
9
• Memakai suatu model matematis untuk
menggambarkan masalah yang dihadapi
• Kata sifat ‘linier’ berarti semua fungsi
matematis dalam model ini harus
merupakan fungsi-fungsi linier
Programa Linier/ OR I/ Reni A
10
• Kata ‘pemograman’ merupakan sinonim
untuk kata ‘perencanaan’ yaitu membuat
rencana
kegiatan-kegiatan
untuk
memperoleh hasil yang optimal, yaitu
hasil yang dengan cara yang paling baik
di antara semua alternatif yang
mungkin.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
11
Model Pemograman Linier
• Pengembangan model matematis dapat
dimulai dengan menjawab pertanyaan :
– Apa yang akan ditentukan oleh model (Apa
variabel dari masalah yang dimodelkan)?
– Apa batasan yang harus dikenakan atas
variabel?
– Apa tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk
menentukan pemecahan optimum (terbaik)
dari semua nilai yang layak dari variabel
tersebut ?
Programa Linier/ OR I/ Reni A
12
Langkah Membangun Model PL
1.Mengidentifikasikan variabel yang tak
diketahui yang akan ditentukan nilainya
(decision variable)
– menyatakannya dengan simbol-simbol matematis.
2.Mengidentifikasi
(constraint)
semua
pembatas
– menyatakannya
dengan
persamaan
atau
pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel
keputusan.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
13
3.Mengidentifikasi tujuan atau kriteria dan
menyatakannya sebagai suatu fungsi
linier dari variabel keputusan yang
hendak
dimaksimumkan
atau
diminimumkan (fungsi tujuan)
Programa Linier/ OR I/ Reni A
14
Notasi Standar
Pemakaian Sumber Daya per unit kegiatan
Jumlah Sumber
Sumber
Kegiatan
Daya yang
daya
1
2
….
n
tersedia
1
2
.
.
m
Z /unit keg
Tingkat keg.
a11
a21
.
.
am1
c1
x1
a12
a22
.
.
am2
c2
x2
.…
.…
.
.
.…
….
….
Programa Linier/ OR I/ Reni A
a1n
a2n
.
.
amn
cn
xn
b1
b2
.
.
bm
15
Bentuk Baku Model
Memaksimumkan Z  c1 x1  c2 x2  ....  cn xn
kendala - kendala
a11 x1  a12 x2  ....... a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ....... a2 n xn  b2
Fungsi
Tujuan
Kendala
Fungsional
am1 x1  am 2 x2  ....... amn xn  bm
dan
x1 , x2 ,............, xn  0
Programa Linier/ OR I/ Reni A
Kendala
Non negatif
16
Notasi standar dari pemrograman linear :
– Untuk kegitan j (j= 1,2,…,n)
– cj merupakan kenaikan dalam Z sebagai
akibat dari setiap unit kenaikan dalam xj
(tingkat kegiatan j)
– Untuk sumber daya i (i = 1,2,…,m)
– bi merupakan jumlah yang tersedia untuk
alokasi kegiatan-kegiatan
– aij merupakan jumlah sumber daya i yang
dikonsumsi oleh setiap unit kegiatan j
(untuk i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…n)
Programa Linier/ OR I/ Reni A
17
Istilah-istilah umum
• Fungsi yang memaksimumkan disebut
sebagai fungsi tujuan
• Pembatas-pembatas atau konstrain
• Sebanyak m buah konstrain pertama sering
disebut sebagai konstrain fungsional atau
pembatas teknologis
• Pembatas xj > 0 disebut sebagai konstrain
nonnegatif
• Variabel xj adalah variabel keputusan
• Konstanta-konstanta aij, bi, dan cj adalah
parameter-parameter model.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
18
Bentuk model PL lain
• Fungsi tujuan bukan memaksimumkan,
melainkan meminimumkan
• Beberapa
konstrain
fungsionalnya
mempunyai
ketidaksamaan
dalam
bentuk lebih besar atau sama dengan
• Beberapa
konstrain
fungsionalnya
mempunyai bentuk persamaan
• Menghilangkan konstrain nonnegatif
untuk beberapa variabel keputusan
Programa Linier/ OR I/ Reni A
19
Asumsi-Asumsi
•
Kesebandingan (proportionality)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan
b. Konstribusi suatu variable keputusan terhadap ruas kiri dari
setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel
keputusan itu
•
Penambahan (additivity)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan
yang lain.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari
setiap pembatas bersifat tidak tergantung pada nilai dari
variabel keputusan yang lain.
Programa Linier/ OR I/ Reni A
20
Asumsi-Asumsi
• Pembagian (divisibility)
Variabel keputusan boleh
berupa bilangan pecahan
diasumsikan
• Kepastian (certainty)
Setiap parameter(koefisien fungsi tujuan,
ruas kanan, dan koefisien teknologi)
diasumsikan dapat diketahui secara pasti
Programa Linier/ OR I/ Reni A
21
Karakteristik Persoalan PL
• Variabel Keputusan : Variabel yang
menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan
dibuat
• Fungsi Tujuan : Fungsi dari var.
keputusan yang akan
dimaksimumkan(pendapatan/keuntu
ngan) atau diminimumkan
(pengeluaran/ongkos)
Programa Linier/ OR I/ Reni A
22
Karakteristik Persoalan PL
• Pembatas : Kendala yang dihadapi
sehingga kita tidak bisa menentukan
harga-harga variabel keputusan
secara sembarang
• Pembatas tanda : Pembatas yang
menunjukkan apakah var.
keputusannya diasumsikan hanya
berharga non negatif atau var
keputusan tersebut boleh positif
atau negatif
Programa Linier/ OR I/ Reni A
23
Contoh
• PT. SAR merupakan perusahaan kecil
pembuat cat yang memproduksi dua
jenis cat, interior dan eksterior.
– Terdapat dua jenis bahan yang
digunakan, yaitu bahan A dan B.
– Ketersediaan bahan maksimum per hari
adalah 6 ton untuk A dan 8 ton untuk B.
– Kebutuhan bahan mentah per ton produk
cat untuk kedua jenis cat, interior dan
eksterior, adalah sebagai berikut:
Programa Linier/ OR I/ Reni A
24
Kebutuhan bahan
mentah untuk per
ton cat (ton)
Ketersediaan
maksimum
per hari
(ton)
Eksterior
Interior
Bahan Mentah
A
1
2
6
Bahan Mentah
B
2
1
8
Programa Linier/ OR I/ Reni A
25
• Penelitian pasar menunjukkan bahwa
– Jumlah permintaan cat interior dikurangi
dengan jumlahpermintaan cat eksterior tidak
lebih dari satu ton.
– Permintaan maksimum cat interior adalah 2
ton per hari.
– Harga jual produk cat adalah $3 untuk cat
eksterior dan $2 untuk cat interior.
• Berapa banyak cat interior dan eksterior
yang harus diproduksi per hari agar
diperoleh pendapatan yang maksimum?
Programa Linier/ OR I/ Reni A
26
• Variabel keputusan:
–x1 = jumlah cat eksterior yang
diproduksi per hari
–x2 = jumlah cat interior yang
diproduksi per hari
Programa Linier/ OR I/ Reni A
27
Pembatas:
1) Ketersediaan bahan
Bahan A : x1 + 2x2 ≤ 6
Bahan B : 2x1 + x2 ≤ 8
2) Permintaan
Selisih permintaan: x2 – x1 ≤ 1
Permintaan cat interior : x2 ≤ 2
3) Pembatas tak negatif
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Programa Linier/ OR I/ Reni A
28
• Fungsi Tujuan:
Memaksimumkan Pendapatan Total
Z = 3x1 + 2x2
Programa Linier/ OR I/ Reni A
29
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8
– x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Programa Linier/ OR I/ Reni A
30