Transcript 柏拉圖多面體

- 每一個平面由多邊形
所組成的立體
-每一個平面由相同的正
規多邊形所組成的立體
究竟世上有多少個
正規多面體？
四面體 Tetrahedron
六面體
Hexahedron / Cube
八面體 Octahedron
十二面體 Dodecahedron
二十面體 Icosahedron
面
角
邊
四面體
4
4
6
六面體
6
8
12
八面體
8
6
12
十二面體
12
20
30
二十面體
20
12
30
為什麼只有五個柏拉圖
多面體？
其實世上有很多多面體
証明 Proof：
 多面體由多邊形所組成
 每一正規多邊形的內角可由
公式 (n-2)180°n 算出
 e.g. 三角形內角為60°
 e.g. 四方形內角為90 °
 e.g. 五邊形內角為108 °
 e.g. 六角形內角為120 °
試想多面體的一角(vertex)
有兩個條件：
(1) 最少由三個多邊形所併合而成
(2) 這些多邊形聚於一角的內角總
和不能等同或超過360º
根據第一個條件，柏拉圖多面
體的一角最少由三個正規三角
形組成 (共3  60º=180º)
四個三角形組成的一
角 (共 4  60º = 240º)
五個三角形組成的一
角 (共 5  60º = 300º)
至於由六個三角形組成的一角
(共 5  60º = 360º) 已是一平面，
無法做成立體。
就是三個四方形組成的一
角 (共 3  90º = 270º)
至於由四個四方形組成的一角
(共 4  90º = 360º) 已是一平面，
無法做成立體。
就是三個五邊形組成的一
角 (共 3  108º = 324º)
至於由四個五邊形組成的一角
(共 4  108º = 432º) 已超出一平
面的角度，無法做成凸出的立
體。
至於由三個六角形組成的一角
(共 3  120º = 360º) 已是一平面，
無法做成立體。
多邊形
數量
角度總和
多面體
三角形
3
180
四面體
三角形
4
240
八面體
三角形
5
300
十二面體
四方形
3
270
六面體
五邊形
3
324
二十面體
柏拉圖多面體
與
柏拉圖哲學
柏拉圖被稱為西方哲學之父
柏拉圖多面體是由柏拉圖所發
現，所以以他命名。
柏拉圖更將柏拉圖多面體與
宇宙萬物扯上關係
四面體
火
六面體
地
八面體
空氣
二十面體
水
至於十二面體，因由五邊形所
做成，所以柏拉圖把它比喻為
十二面體
宇宙
有很多創作亦由柏拉圖多面體所
啟發而成，以下是 M. C. Escher
的作品。
作品：四個正規多面體
作
品
：
星
星
By M.C. Escher
七彩的柏拉圖多面體
(Decorated Platonic Solids)
By Dick Termes
應用
製作骰子
一般骰子皆以正立方體(六面體)來
製造，但其實骰子也可由其他立體
造成，只要是每面皆有均等的機會
出現即可。
多面體骰子 (Polyhedra Dice)