Transcript Exemplo: Projeto um compensador avanço-atraso de fase

Relação entre Resposta Transitória de
Malha Fechada e Resposta em
Frequência de Malha Fechada
C s 
n2
 T s   2
Rs 
s  2n s  n2
T  j  

2
n
n2

  2  4 2n2 2
2
Valor Máximo do Módulo da Resposta
em Frequência de Malha Fechada
Mp 
1
2 1   2
;  p  n 1  2 2
2

2
Relação entre Pico da Magnitude da
Resposta em Frequência e Percentual de
Ultrapassagem
Banda Passante da Resposta em
Frequência
É definida como sendo a frequência onde o
valor da curva de magnitude vale -3dB
BW  n 1  2 2   4 4  4 2  2
BW 
BW 
1  2  
4
Ts
2

Tp 1   2
4 4  4 2  2
1  2  
2
4 4  4 2  2
Para o Tempo de Subida Temos
Relação entre Resposta Transitória de Malha
Fechada e Resposta em Frequência de Malha
Aberta
• Margem de Fase e Relação de
Amortecimento:
M  tg
1
2
 2 2  1  4 4
Relação entre Resposta Transitória de Malha
Fechada e Resposta em Frequência de Malha
Aberta
• A banda Passante de Malha Fechada é igual
a frequência na qual a magnitude de malha
aberta esta entre -6 e -7,5 dB se a fase estiver
entre -135º e -225º e então podemos utilizar as
equações abaixo:
 BW  n 1  2 2   4 4  4 2  2
 BW 
 BW 
1  2 
4
Ts
2

Tp 1   2
4 4  4 2  2
1  2 
2
4 4  4 2  2
Exemplo:
• Para o sistema mostrado abaixo estime o
Sobrenível Percentual, Tempo de
Estabilização e o Tempo de Pico Utilizando
a resposta em frequência de malha aberta:
R(s)
+

-
50
s s  3s  6 
C(s)
BW  3,5
M  180  145  35
2
1
M  tg
   0,3167  0,32
2
4
 2  1  4
0
BW
4

Ts
0
0
1  2  
2

4  4  2 
4

2
4
2
4
2
3,5 
1  20,32  40,32  40,32  2
Ts 0,32
Ts  5,14segundos
 BW 
3,5 

1  2 
2
Tp 1   2

4 4  4 2  2 
1  20,32 
2
TP 1  0,32
2
40,32  40,32  2
4
2
TP  1,36segundos
%U .P.  e
 


1 2





x100%  e

 0 , 32

1 0 , 32 2





x100%  34,6%
EXERCÍCIO
• Através da resposta em frequência de malha aberta estime o
Percentual de Ultrapassagem do sistema para uma entrada degrau
unitário se K=40. Qual a margem de ganho para o sistema com
este valor de K?
R(s)
+

-
K ( s  5)
s s 2  4 s  25


C(s)
Solução
• Freqüência de zero dB 7,8 rad/seg.
Observando o diagrama de fase nessa
freqüência, a margem de fase é 9°.
Usando a Eq. (10.73) ou a Fig. 10.48, a
relação de amortecimento vale 0,08.
Dessa forma, %UP vale 78%.
Projeto Através da Resposta em
Frequência
•
•
•
•
Por Ajuste do Ganho;
Por atraso de fase;
Por avanço de fase;
Por avanço-atraso de fase.
Metodologia de Projeto por ajuste
de ganho
• Calcule a relação de amortecimento para o %U.P.
desejado;
• Calcule a Margem de Fase necessária;
• Trace o diagrama de Bode para um valor qualquer de K
(preferencialmente um valor que permita traçar o gráfico
assintótico mais facilmente);
• Verifique no gráfico de bode em que frequência ocorre o
ângulo na qual a margem de fase é atendida;
• Calcule no gráfico de módulo na frequência encontrada;
quantos Decibéis são necessários para que nesta
frequência o módulo se torne ZERO dB;
• Calcule o ganho adicional a ser acrescentado.
Projeto no Domínio da Frequência
através do ajuste do ganho de
malha aberta
• Exemplo: Calcule,
utilizando as técnicas de
resposta em frequência,
o ganho K de malha
aberta, para que o
sistema ao lado
apresente uma resposta
ao degrau unitário com
%U.P.= 9,5%

 ln0,095
  ln 0,095
2
2
R(s)
+
 0,6

-
100 K
ss  36 ( s  100)
C(s)
Exemplo
• Primeiro traçamos o diagrama de Bode de
módulo e fase para um ganho total de
malha aberta igual a 100, ou seja K=1.
 M  tg
1
 M  tg
1
2
 2 2  1  4 4
 M  59,2 0
20,6
 20,6  1  40,6
2
4
Exemplo
• Neste caso percebemos que para que o
módulo seja zero dB na margem de fase
desejada precisamos aumentar o gráfico
de módulo em 55,2 dB ou seja em um
ganho K=575,44