Transcript 玩转数制及其转换

玩转数值及其转换
计算机科学与技术系
2012.4.16
引言
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
数制及其相互转换的知识在计算机学习中占有相
当重要的地位
高级语言、低级语言(机器语言、汇编语言、数字
逻辑、微机原理、计算机网络等核心课程的基础
知识贯穿计算机学习始终，不吃透这方面的知识
难以上台阶
有的电脑玩家也对此感到犯怵，有人受人误导，
甚至弃而不学，给后续课程带来麻烦
一种最基本的信息素养
知识延伸
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计算机原理中的存储器的地址译码
计算机网络中的IP地址
计算机网络中的子网掩码
何为文本文件？如何从根本上理解呢？
字节的概念、存储容量的关系
数据的补码表示与浮点数运算
常用字符和数字的ASCII码
其实并不难，是被误导了

难点在于不习惯，感到别扭
没有掌握其中的一些技巧
应用偏少
误区：进制转换不重要

下面从基础知识讲起
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
一、数的定义
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


数:由一个或几个数字组成，它表示一个数目。
需要说明：
任何一个数都是由一个或几个数字组成。
例如：48是一个数，其中4和8都是数字，由于
十进制采用逢十进一的进位法，则4和8所表示
1
0
的不仅仅是4和8，而是4x10 +8x10 =48
数的定义

由此说明，当一个数字处在不同的位置时，
它代表的值就不一样。象刚才的十进制数
48，最右边的个位数字8不能代表其他值。
但是，左边的4即十位上的4它并不代表4
1
这个值，它必须乘上10 才能表示出它的真
正的值，这个10就是我们下面要提到的一
个新的概念。
二、基数(Radix)



我们知道，所有的十进制数都是由0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9这十个基本数字用不同的排
列组合方法构成的。下面我们就给出记数系统
中基数的定义。
基数(Radix)：一种记数系统中所具有的基本数
字个数就是基数。
由此可见：在十进制中，基数就是10
三、权(Weight)


权(weight)：把一种记数系统中相应于
每一位数字的基数的幂次称为该位数字
的权。
如：十进制数按从低位到高位的次序，
0
1
2
3
各位的权分别是：10 ，10 ，10 ， 10 ，
根据权的定义可知，一个数的每位数字
乘以其权所得的乘积之和即为该数表示
的真正的值。
十进制（Decimal）的特点
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

有十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、
7、8、9，每个符号表示数中的一位。
逢十进一的进位法。即逢基数10向高位进
一。
如：6、7、8、9都是一位，逢十时进位，
产生两位。
十进制（Decimal）的特点
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

9
+1
10
6
+ 8
1 4
十进制数的按权展开及其意义
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在十进制中，每位数字都要乘以其相应位的权
（基数10的幂次）才能表示出它的真正的值。
例如：
1999=1x103+9x102+9x101+9x100
83.88=8Χ101+3Χ100+8Χ10-1+8Χ10-2
又如:时、分、秒为60进制。
时 分 秒
2 8
5
2x602+8x601+5x600
四、计算机中使用二进制的原因

这是因为，如果采用此种十进位制，机器就要有
十种状态来表示0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
这十种符号，这将给机器的构造带来困难。电子
计算机是一种电器元件，它是由千千万万个小的
电子线路单元组成的，每个有两个稳定的工作状
态，这两种状态可对应两种符号，而物理上具有
两种不同稳定状态的器件很多，诸如电子元件的
开与关，晶体管的导通与截止，它们都可以用0和
1来表示。再者，二进制运算简单，便于实现，所
以，计算机中一般采用二进制。
二进制（Binary）的特点
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1、有两个不同的数字0和1；
2、逢二进一的进位法，即逢基数2向
高位进1。
如： 1
11
+ 1
1
10
100
1111=1*2 +1*2 +1*2 +1*2
二进制数的按权展开



同理，所有二进制数都可用每位数字（0
或1）乘以相应位的权（基数2的幂次）
来表示其真正的值。
3
2
1
0
如：(1011)2=1X2 +0X2 +1X2 +1X2
(1011．101)2=1X23+0X22+1X21+1X20+
1X2-1+0X2-2+1X2-3
知识点延伸
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

如何判别一个数的奇偶特性？为什么？
其奇偶性由最低位决定
最低位为0———偶数
最低位为1———奇数
二进制数的缺点

不难发现，用二进制数表示一个数位数
很长，人们在阅读、书写和记忆时都很
不方便，而我们熟悉的十进制数与二进
制数之间并无直接的对应关系，为了便
于人们对二进制数的描述，人们就选择
了一些易于与二进制相互转换的数制，
常用的有我们下面介绍的八进制和十六
进制。
五、八进制（Octal）的特点
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
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1、有八个不同的数字0，1，2，3，4，5，6，7；
2、逢八进一的进位法。即逢基数8向高位进1。
如：
6
+2
10
同样，所有八进制数都可用每位数字（0，1，2，3，4，
5，6，7）乘以相应位的权（基数8的幂次）来表示其
真正的值。
如：（1752）8=1X83+7X82+5X81+2X80
六、十六进制（Hexadecimal）
的特点
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


1、有十六个不同的数字0，1，2，3，4，5，6，7，
9，A，B， C，D，E，F
2、逢十六进一的进位法。即逢基数16向高位进1。
如： 9
+ 7
10
一个疑问


十六进制为什么用A,B,C,D,E,F表示
10,11,12,13,14,15,而不用二位数表
示呢？
注意：A，B，C，D，E，F分别表示
十进制中的10，11，12，13，14，
15，在十六进制中这六个数字要各
占一位，否则就会发生混乱。
十六进制数的按权展开



同样，所有十六进制数都可用每位数字
（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，
B，C，D，E，F）乘以相应位的权（基
数16的幂次）表示其真正的值。
如:(B56E)16
3
2
1
0
=BX16 +5X16 +6X16 +EX16
3
2
1
0
=11X16 +5X16 +6X16 +14X16
七、二进制与十进制、八进制、
十六进制数之间的转换
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

1、二进制与十进制数之间的转换
（1）二进制数转换成十进制数(按权相加法)
方法：将二进制数的每一位数字乘以基数2
的幂次再相加即得该二进制数对应的十进制
数
如(1011)2=1X23+0X22+1X21+1X20=（11）
10

3
2
1
0
(1011．101)2=1X2 +0X2 +1X2 +1X2 +1X2
-1
+0X2-2+1X2-3=（11.625）10
（2）十进制数转换成二进制
数(除基数2取余法)


1）、十进制整数转换成二进制整数
方法:用基数2连续去除十进制数，第一次除
得的余数就是二进制数的最低位数字，有余
数时余数应为1，无余数时余数应为0；然
后用2去除第一次所得的商，余数就是二进
制数倒数第二位数字；再用2去除第2次所
得的商，继续下去直到不能除为止。最后一
个小于2的商就是二进制的最高位数字。
一个例子

如：将十进制数46转换成二进制，步骤
如下
2）、十进制纯小数转化成二进
制纯小数：（乘基数2取整法）

方法：连续用2去乘十进制纯小数。第一次乘
积中的整数部分就是二进制数小数点后第一
位；把乘积的小数部分再乘以2，所得乘积中
的整数部分就是二进制数小数点后第二位；
这样一直乘到小数部分为0或达到要求的位数。
举例：
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






如：将十进制数0.625化成二进制数
0.625
X 2
第一位二进制数 1. 2 5
X 2
第二位二进制数 0. 5
X2
第三位二进制数
1. 0
∴(0.625)10=(0.101)2
3)既有整数又有小数的十进制
数转换成二进制数




方法：把整数部分和小数部分分别换算，
然后合并到一起即可。
如：（46）10=（101110）2
(0.625)10=(0.101)2
∴ （46.625）10=(101110.101)2
二进制数的优点




优点:
1、只有两个数码0和1,在电子技术中容
易实现。
如：高电平表示1，低电平表示0。
2、二进制的算术运算规则比较简单（即
运算简单）。
二进制数的缺点




1、写起来很长，容易写错；
2、不是人们习惯的数制，不容易看出是什么
数值，不便于记忆；
3、二进制数与十进制数没有直接的对应关系。
为书写方便，在编写程序时，特别是在低级语
言中，一般不用二进制，而采用八进制和十六
进制表示二进制数，因为这样更直观，也便于
记忆。
2、二进制数与八进制数之间的
转换：

大家知道，三位二进制数恰好能表示8个
不同的组合。即下面列出的前八个数：
二进制
八进制
000
0
001
1
010
2
011
3
100
4
101
5
110
6
111
001，000
001, 001
001, 010
…………
7
1，0
1, 1
1, 2
…….
体会其中的奥妙

三位二进制的八种组合正好
与八进制中与它们等值的八
个表示符号一一对应。
八进制进位成两位，二
进制成四位
二进制
001，000
001, 001
001, 010
001, 011
001, 100
001, 101
001, 110
001, 111
010, 000
…………
八进制
1，0
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
1, 7
2, 0
…….
把二进制数自右向左三
位一组分开，我们会发
现，每三位二进制数正
好顺序对应与它等值的
八进制数。例如：二进
制数1，110，表中给此
数前面补了两个0成为
001 ， 110 （ 不 影 响 大
小），其中001对应八进
制1，而110对应八进制6
二进制转化为八进制数


从上面我们得出的二进制数与八进制数的
很好的对应关系，我们可以得出二进制和
八进制数之间的转换方法。
（1）二进制数转换成八进制数（三位分组
转换法，即合三为一法）
二进制转化为八进制数



方法如下:
第一步：从小数点起，对整数部分向左，分数
部分向右三位一组，最外端的那两组如不是三
位，要用0补足三位，补足时整数部分最高位
的一组把0加在左边，小数部分最低位的一组
把0加在右边；（以不影响大小）
第二步：将三位一组的二进制数分别转换成八
进制数即可。
举例


如：将二进制数1101100001.1100101011转换
成八进制数
补足3位
补足3位




001,101,100,001.110,010,101,100
1 5
4 1. 6 2 5
4
∴ （1101100001.1100101011）2
=(1541.6254)8
八进制数转换成二进制数(一分
为三法)


方法:将每一位八进制数用三位二进制数
来代替即可。
如：(307.165)8=(011 000 111.001 110
101)2
3、二进制数与十六进制数之间
的转换


由于4位二进制数恰好能表示16种组合,
与二进制同八进制的相互转换方法类似,
我们可得出下面的转换方法:
（1）、二进制数转换成十六进制数（四
位分组转换法，即合四为一法）
方法：合四为一法


第一步：从小数点起，对整数部分向左，
分数部分向右四位一组，最外端的那两
组如不是四位，要用0补足四位，补足时
整数部分最高位的一组把0加在左边,小
数部分最低位的一组把零加在右边；
（以不影响大小）
第二步：将四位一组的二进制数分别转
换成十六进制数即可。
举例


如：将二进制数10101111111.1101101011转
换成十六进制数
补足4位
补足4位




0101,0111,1111.1101,1010,1100
5
7
F . D
A
C
∴ （10101111111.1101101011）2
=(57F.DAC)16
(2) 十六进制数转换成二进制
数(一分为四法)


方法:将每一位十六进制数用四位二
进制数来代替即可.
如：(B8A3.D57)16=(1011，1000，
1010，0011.1101，0101，0111)2
八、八进制数与十进制数之间
的转换





（1）八进制数
十进制数
方法：按权展开法。
将八进制数的每位数字乘以其相应位的权
(基数8的幂次)相加即得所对应的十进制数。
（2）十进制数
八进制数(除基数8取
余法)
方法：与前面的除基数2取余法类同,不再骜
述。
十六进制与十进制之间的转换

十六进制与十进制之间的转换与上
面八进制与十进制之间的转换方法
完全类似
九、进制转换的一些技巧




1、按权展开法的应用
由于四位二进制数按高位到低位的顺序其相
应的权值分别是23，22，21，20，即8，4，2，
1，利用这一点，我们一看即知一个四位二进
制数是几。
熟练掌握3位二进制与十进制数的对应关系
熟练掌握4位二进制与十六进制数的对应关系
进制转换的一些技巧

2、在二进制与十进制之间互相转换
时,我们可以选八进制或十六进制作
为过渡,以减少除基数取余的次数，
特别在一个数较大时,更可以显示出
这种方法的优势.
举例

如:十进制数8769,如果用除2取余法
将它转换成二进制数是很繁琐的，
但是如果先将此数用除16取余法转
换成十六进制,再把十六进制数转换
成二进制不失为一种更好的方法。
（当然，也可以用除8取余法先转换
成八进制，再转换成二进制。）
举例








16
8769
1
16
548
4
16 34
2
16
2
∴ (8769)10= (2241)16
而把十六进制数2241用一分为四法转换成
二进制是非常容易的
即: (2241)16=（0010,0010,0100,0001）2
(8769)10=(2241)16=(0010,0010,0100,0001)
进制转换的一些技巧
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

3、过渡法
八进制
二进制
十六进制
4、要熟练掌握四位以下的二进制数与其
它进制数的对应关系。
5、凑项法
技巧
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



怎样去习惯他们
除以基数取余法
熟练掌握4位二进制数和十六进制数之间的对
应关系。
掌握一些特殊数的二进制表示
对2的整数次幂要敏感
对机器内部结构的理解，一台计算机的字长，
多少位机 8，,16,32
知识延伸
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计算机原理中的存储器的地址译码
计算机网络中的IP地址
计算机网络中的子网掩码
何为文本文件？如何从根本上理解呢？
字节的概念、存储容量的关系
数据的补码表示与浮点数运算
常用字符和数字的ASCII码
问题




1、为什么要引入八进制和十六进制
2、下面这些数对应的二进制数和十六进
制数是多少？
65536,65535,255,254,127,128,192,224,
240,248,252
n n-1
2 ,2
最后需要特别强调：

八进制、十六进制仅仅是一种人为的表
示方法。但在机器内部数据仍然以二进
制形式存储。