Transcript 逆格子ベクトル

結晶工学特論
第4回目
前回の内容
1. 格子欠陥
•
3次元成長
•
積層欠陥
•
転位（刃状転位、らせん転位、バーガーズベクトル）
ミラー指数
2.
•
結晶面の指数
•
括弧の定義
•
六方晶の場合
今日の内容
1. Braggの式とLaue関数
2. 実格子と逆格子
3. 回折（結晶による波の散乱）
4. Ewald球
5. 構造因子
結晶の構造を調べる（評価する）一般的な方法
結晶の構造、とくに原子の配列を調べたい！
でも ・・・
肉眼では原子は見えない
光学顕微鏡でも倍率、分解能が足りない
光（可視光） ・・・ 4000Å～7500Å
原子の間隔 ・・・ 数Å
ショベルカーで食塩を１粒つかむ
ようなもの
原子の間隔（格子定数）以下のプローブを使う必要がある
•X線回折
•電子線回折
•電子顕微鏡
Braggの式
等位相面
q
q
a
原子面の間隔によって生じる入射波と反射波の行路差
2a sin q
これが波長の整数倍であれば、各原子面からの散乱波の位相が等しい
2a sin q  n
n：0,1,2,3,・・・
1次元の原子列からの回折（Laue関数）
位相差
N 1
散乱強度は F   f exp( imf )
m 0
0
q
q
 f
f
iN f
iN f
(
)
 exp (
)
2
2
 f
if
if
exp ( )  exp ( )
2
2
Nf
iN f
sin ( ) exp (
)
2
2
 f
f
if
sin ( )
exp ( )
2
2
exp 
2f
a
3f
.
.
.
.
(n-1)f
f  2 2a sin q

1  exp( iN f )
1  exp( if )
F
2
Nf
(
)
2
 f
f
sin ( )
2
2a sin q
sin (N
)

 f
2a sin q
sin (
)

sin 2
Laue関数
2
2
N 個の原子列
原子間隔 a
(iN2f )
if
exp ( )
2
exp
2
2
2
sin 2 ( Nx)
L( x) 
sin 2 (x)
sin 2 ( Nx)
L( x) 
sin 2 (x)
N=5
N=10
100
50
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x=0付近拡大
XRD Intensity [c.p.s]
Laue関数のグラフ
10000
sub.
(GaAs)
1000
epi.
(ZnSe)
ZnSe
n=230
69nm
GaAs
300m
100
10
1
N=5
N=10
65
66
67
Θ [°]
25
20
X線回折スペクトルに現れた干渉縞
15
10
5
-1
0
0
1
68
Laue関数とBraggの式
N=10
Laue関数
F  f2
2
2a sin q
100
(N  )
2a sin q
sin (
)

sin
2
50
2
-1
分母がゼロ（主極大）
2a sin q

Braggの式
0
分子が極大（副極大）
 n
2a sin q  n
格子間隔（a）がわかる
N
2a sin q

2m  1


2
 2m  1
Na 

sin q 2
結晶の大きさ（
Na）がわかる
1
結晶は３次元的に周期性をもつ
周期性
-2T
T
-T
2T
-1
t
T
-T
0次（直流）
T
1次
2次
3次
2T
tt
-5 -4 -3 -2 -1
T
T T T T
0 1 2
T T
3 4 5 f
T T T
0～3次の和
きれいな正弦波でない場合
高調波を含む
f
f = 50 Hz
例えば、T = 20 msec
-2T
1
T
高次の成分の発生
結晶では何が周期的か？
電気信号
時間的な変化
電圧、電流
結晶
周波数
1
2
f 

T
T
空間的な変化
逆格子
原子の並び方、電荷密度、
電子密度、磁気モーメント密度
結晶は3次元
周期 a1 , a 2 , a3
すべて ベクトル
r  u1a1  u2a2  u3a3
a3 a 2
a1
逆格子の
定義は？
2 2 2
,
,
a1 a 2 a 3
逆格子の定義
•3次元なので逆格子も３つの独立なベクトルで表す
逆格子ベクトル
G  v1b1  v2b2  v3b3
•次元（dimension）は 1/長さ
f = 1/T ,  =2/T ～ [Hz] = [1/s]
a 2  a3
b1  2
a1  a 2  a 3
a 3  a1
b 2  2
a1  a 2  a 3
( T ～ [s] )
a1  a 2
b 3  2
a1  a 2  a 3
ai b j  2  i j
•結晶が存在する時点で逆格子も定義可能
•結晶の方向を固定した時点で逆格子の方向も決定
単純立方格子の逆格子
a 2  a3
(a,0,0)
b1  2
 2
a1  a 2  a 3
a3
2

(1,0,0)
a
a3  a1
2
b 2  2

(0,1,0)
a1  a 2  a 3
a
a1  a 2
2
b 3  2

(0,0,1)
a1  a 2  a3
a
a3  (0,0, a)
a 2  (0, a,0)
z
y
a1  (a,0,0)
x
b1 || a1 , b 2 || a 2 , b3 || a3
b3
G  v1b1  v2b2  v3b3
b2
b1
六方単純格子の逆格子
a 3
a,0) a3  (0,0, c)
a1  (a,0,0) a 2  ( ,
2 2
a1  a 2  a3
z
3 2
y
a1  a 2  a 3 
ac
2
x
a 2  a3
1 1

b1  2
 2  ,
,0 
a1  a 2  a3
 a 3a 
b1  b 2  b3
a3  a1
2


b 2  2
 2  0,
,0 
a1  a 2  a3
3a 

a1  a 2
1

b3  2
 2  0,0, 
a1  a 2  a3
c

b3 || a3
G  v1b1  v2b2  v3b3
b3
a3
a2
b2
b1
a1
六方格子の逆格子(c軸方向から見ると)
a2
120°
a1
b2
a2
b2
b1
a1
60
°
b1
3次元結晶のフーリエ級数展開
G  v1b1  v2b2  v3b3
３次元の場合
n(r)   nG exp(iG  r)
G
1
cell
nG  V

cell
n(r ) exp( iG  r )dV
a 2  a3
b1  2
a1  a 2  a 3
a 3  a1
b 2  2
a1  a 2  a 3
a1  a 2
b 3  2
a1  a 2  a 3
１次元の場合
n( x)   n p expikx
p
np  a
1

a
0
n( x) exp ikxdx
2
k
a
結晶による波の回折
位相差
k  r  k 'r  k  r  k 'r
r
 (k - k ' )  r
 k  r
ただし
q1
q2
dV
k
k
r
Φ
k’
O
k'
k 'k  k
試料
入射X線
2
散乱強度（観測できるのは F ）
反射X線
k  k' 
2

F   n(r ) exp{i (k  k ' )  r} dV
V
  n(r ) exp( ik  r ) dV
V

V
n
G
exp( iG  r ) exp( ik  r ) dV
G
   nG exp{i (G  k )  r} dV
G
V
n(r )   nG exp( iG  r )
G
散乱波の強度
F    nG exp{i(G  k )  r} dV
G
V
F ≠ 0 とならないためには
積分が r にかかわらず定数
 exp( ix)dx   (cos x  i sin x)dx   cos x dx  i  sin
x dx
x
x
 exp( ic )dx   (cos c  i sin c)dx   cos c dx  i  sin
c dx
G  k
入射電子線と反射電子線の波数ベクトルの差が逆格子ベクトル
と等しい
Ewald球
Ewald球による回折点の決定
2q
k’
1.
結晶を置く方位を決める
2.
実格子に対応する逆格子
を描く
3.
適当な逆格子点を原点に
定める
4.
入射電子線の波長、入射
方向を決める
5.
逆格子の原点が入射電
子線の波数ベクトルk の
終点となるようにk を描く
6.
k の始点を中心とする球
を描く（Ewald球）
7.
Ewald球面上にある逆格
子が観測可能な回折点
G
k
反射電子線
入射電子線
k
2q
k’
Ewald球の半径が逆格子ベクトルより小さいと・・・
k  k'  G
2
2


a
a
測定したい結晶の格子
定数以下の波長を選ば
ないとダメ
Braggの式では
どういう意味？
Ewald球の半径が逆格子ベクトルより十分大きいと・・・
k
検出できる回折点（逆格子ベクトル）は G ⊥ k
（G・k = 0）
k  u 1 a1  u2 a 2  u3a3
G  v1 b1  v2b2  v3b3
G  k  2 (u1v1  u2v2  u3v3 )  0
Ewald球とブラッグの式
k’
2q
q
G
q
a
k
Ewald球による説明
k sin q 
2
Braggの式の場合の説明
G
2a sin q  n
2
2
k 
G
n

a
2
1 2
sin q 
n

2 a
より、
構造因子（G=kのときの散乱波の強度）
5 r5
F   n(r ) exp( iG  r ) dV
4 r4
V
 N  n(r ) exp( iG  r ) dV
r-r5
cell
 NSG
ただし、 N：単位格子の数
r-r4
r-r3
n(r)
SG：構造因子
r-r2
r-r1
SG   n(r ) exp( iG  r ) dV
cell

cell
 n (r  r )exp  iG  r
j
j
O
j
 ρ j  dV
1 r1
2 r2
n1(1)+n2(2)
r
2
1
j
  exp( iG  r j )  n j (ρ j ) exp( iG  ρ j )dV
j
cell
  f j exp( iG  r j )
j
原子形状因子
3 r3
r2
r1
n1()
1
1= r - r1
2
n2()
2= r - r2
散乱波の強度
散乱強度 F
F  NSG
構造因子 SG
SG   n(r ) exp( iG  r ) dV
cell
  f j exp  iG  r j 
単位格子の数×構造因子
単位格子に含まれる原子
（電子密度）のフーリエ変換
j
原子形状因子 fj
f j   n j (r ) exp( iG  r )dV
各原子がどれだけ波を散乱
するか
構造因子は逆格子点の強度を表す
構造因子の計算方法
SG   f j exp  iG  r j 
j
G  v1 b1  v2b2  v3b3
逆格子ベクトル
rj  x j a1  y j a2  z j a3
j番目の原子の位置
a m b n  2  mn より
SG   f j exp  i 2 v1 x j  v2 y j  v3 z j 
j
構造因子の計算例（単純立方格子）
z
rj = (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a),
頂点（8個）
(0, a, a), (a,0, a), (a, a,0), (a, a, a)
G  v1 b1  v 2b 2  v3b3
逆格子
a
 2 / a(v1 , v2 , v3 )
b1 = 2(1/a, 0, 0), b2 = 2(0, 1/a, 0), b3 = 2(0, 0, 1/a) x
頂点の原子は8個の単位格子で共有されているので、１つのセルへの寄与は 1/8
8
fj
j 1
8
SG  
exp  iG  r j  
f
exp( 0)  3 exp( i 2 )  3 exp( i 4 )  exp( i6 )  f
8
と考えてもよいし
単位格子に含まれる原子の総数は 1/8×8 = 1 なので、原点の原子を代表として
SG  f exp( 0)  f
と考えてもよい
y
構造因子の計算例（面心立方格子）
z
頂点（8個） rj = (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a),
( j=1～8 )
(0, a, a), (a, 0, a), (a, a, 0), (a, a, a)
面心（6個） rj = (a/2, a/2, 0), (a/2, 0, a/2), (0, a/2, a/2),
( j=9～14 )
(a/2, a/2, a), (a/2, a, a/2), (a, a/2, a/2)
a
G  2 / a(v1 , v2 , v3 )
x
b1 = 2(1/a, 0, 0), b2 = 2(0, 1/a, 0), b3 = 2(0, 0, 1/a)
逆格子
頂点8個は1/8の寄与、面心6個は1/2の寄与なので
14
SG  
j 1
14
f
f
f j exp  iG  r j    exp  iG  r j    exp  iG  r j 
j 1 8
j 9 2
8
 f 1  exp  i v1  v2  exp  i v1  v3  exp  i v2  v3 
と考えてもよいし
頂点で1個（原点）、面心3個（ rj = (a/2, a/2, 0), (a/2, 0, a/2), (0, a/2, a/2) ）として
SG  f 1  exp i v1  v2  exp i v1  v3  exp i v2  v3 
y
散乱因子の計算例（閃亜鉛鉱構造）
z
頂点（8個） rj = (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a),
( j=1～8 )
(0, a, a), (a, 0, a), (a, a, 0), (a, a, a)
面心（6個） rj = (a/2, a/2, 0), (a/2, 0, a/2), (0, a/2, a/2),
( j=9～14 )
(a/2, a/2, a), (a/2, a, a/2), (a, a/2, a/2)
a
内部（4個） rj = (a/4, a/4, a/4), (3a/4, 3a/4, a/4),
( j=15～18 )
(3a/4, a/4, 3a/4), (a/4, 3a/4,
3a/4)
x
y

 

SG   f A  f B exp  i v1  v2  v3 
 2


 1  exp  i v1  v2  exp  i v1  v3  exp  i v2  v3 
消滅則
面心立方格子の場合
SG  f 1  exp i v1  v2  exp i v1  v3  exp i v2  v3 
v1, v2, v3：全て奇数か全て偶数でないとSG=0
（001)面同士で
位相差が2に
なるとき
位相差
0

この方向から見た図
<100>方向
2
3
4
5
d 001
d 002
(111)や(113)とは？
(111)面
この方向から見た図
<110>方向
(113)面
今日の内容
1. Braggの式とLaue関数
2. 実格子と逆格子
r  u1a1  u2a2  u3a3
G  v1b1  v2b2  v3b3
3. 回折（結晶による波の散乱）
G  k でのみ回折波が観測可能
4. Ewald球
5. 構造因子と原子形状因子
構造因子は逆格子点の強度、消滅則
a 2  a3
a1  a 2  a 3
a 3  a1
b 2  2
a1  a 2  a 3
a1  a 2
b 3  2
a1  a 2  a 3
b1  2
ai b j  2  i j