Transcript MT7

ÇAĞDAŞ MATEMATİĞİN
DOĞUŞU
• Yaklaşık sekiz asırlık bir dönemde Ortadoğu, İran ve Türkistan’da
yürütülen bilimsel faaliyetler Eski Yunan matematiğini işleyerek çok
daha ileri konumlara taşımıştır.
• Eudoxous’un, Diophantus’un ve Archimedes’in cebiri çok gerilerde
kaldı. Harizmi, Abu Kamil, Karkhi ve Hayyam ile cebirde önemli
ilerlemeler oldu, yeni algoritmalar geliştirildi, kübik denklemler
sınıflandırıldı, birçoğunun rasyonel çözümleri bulundu.
• Ptolemy’nin astronomisi yerinde durmuyordu. Ebul Vefa, Beyruni ve
Uluğ Bey ile astronomi çok ilerlemişti. Artık güneş sistemi biliniyor ve
dünyanın güneşin etrafında döndüğünün ispatı Galile’den çok önce
Beyruni tarafından kanıtlanmıştı.
• Avrupa’nın trigonometriye ekleyeceği fazla bir şey yoktu.
Trigonometrik oranlar biliniyor, açıların trigonometrik değerleri en
hassas bir şekilde hesaplanabiliyordu. Pi sayısının değeri virgülden
sonra dokuzuncu basamağa kadar hesaplanabiliyordu.
• Doğudan gelen bu birikim Avrupa’nın çağdaş
matematiği kurması için yeterli alt yapıyı
hazırlamıştı.
• Sözgelimi, Hayyam’ın çözümlerinden
yararlanarak yeni yöntemler geliştirmek
Cardano’ya kalıyordu. Gerçekten, Cardano 1545
yıllarında x 3  ax  b
türünden kübik
denklemlerin çözümünü veren formülü buldu:
1
3 3
1
3 3
b
b 2 a
b
b 2 a
x  (  ( )  ( ) ) - (-  ( )  ( ) )
2
2
3
2
2
3
1
3 3
1
3 3
b
b 2 a
b
b 2 a
x  (  ( )  ( ) ) - (-  ( )  ( ) )
2
2
3
2
2
3
• Kökün içi negatif çıkınca çözüm ne olacaktı?
• Bunun cevabı Cardano’dan yaklaşık 300 yıl
sonra Gauss tarafından verilecektir.
• Gauss (1777 – 1855) herhangi bir cebirsel
denklemin köklerinin i   1 olmak üzere
a  ib şeklinde olduğunu ispatlayarak
denklemlerin karmaşık köklerinin
olabileceğini gösterdi.
• Doğuda üretilemeyen fakat çağdaş matematikte
dönüm noktası niteliğinde önemli gelişmeler oldu.
Bunlardan biri Descartes’in koordinat düzlemi
diğeri ise Cantor’un küme kavramıdır.
• Descartes (1596-1650) koordinat düzlemini
tanımlamakla belki de çağlar boyu matematiğe
getirilmiş en büyük katkılardan birini yapmıştır.
Yunan geleneğinde cebiri geometrikselleştirme
vardır bunu Euclid’in ve daha sonrada Harizmi’nin
çalışmalarında görmekteyiz. Descartes ile birlikte
geometrik nesne, kavram ve ilişkiler cebirsel
denklemlerle ifade edilerek geometrinin
cebirselleştirilmesi yönünde ilk adımlar atıldı.
• Geometrinin cebirselleştirilmesi matematiğin
Yunan geleneğinin dışına çıkılması anlamına
gelmektedir. Bu hareket ilerde analitik geometri ve
analizin gelişmesi için çok daha elverişli bir alt
yapı hazırlamıştır.
• Bütün büyük fikirlerde olduğu gibi
Descartes’in buluşu da apaçık denecek
kadar sadedir.
Y
(x,y)
z
x2+y2 = z2
y
x
X
Çok sade olan bu tanım yeni bir geometrinin ve analizin
doğmasına imkan vermiştir. Descartes’in koordinat
düzlemiyle birlikte trigonometri, merkezi başlangıç noktası
olan birim çember üzerine taşındı.
• Descartes’in keşfinin analizin gelişmesinde nasıl
kullanıldığına bir bakalım.
• Descartes’in çağdaşı Fermat (1601- 1665) analitik
geometri yaklaşımını kullanarak eğrinin düzlemdeki
grafiği üzerindeki bir noktadaki limiti ile o noktadaki
teğeti arasındaki ilişkiyi inceledi.
Q
(x+a,y+b)
b
P
a
(x,y)
•Bu çalışmalar daha sonra türev kavramı için Newton’a ve
Leibniz’e ilham verecektir.
lim
y dy
f ( x) 

x  0 x dx
Karmaşık sayılar tanımlanırken Descartes’in kartezyen
geometrisinden yararlanılmıştır.
y
(0,y)
P(x, y)
(x,0)
x
Yeni tanımlamada x-ekseni üzerindeki bütün noktalar (x,0) ve
y-ekseni üzerindeki noktalar da (0,y) şeklinde ikililerdir.
P noktası ise (x,y) ikilisi ile ifade edilir ve bu nokta bir sayıya
karşılık gelir
( x1 , y1 )  ( x2 , y 2 )  ( x1  x2 , y1  y 2 )
( x1 , y1 ).(x2 , y 2 )  ( x1 x2  y1 y 2 , x1 y 2  x2 y1 )
(0,1).(0,1)=
(0,1).(0,1)  (1,0)
• Y-ekseni üzerinde alınan (0, 1) sayısı yerine i
kullanılırsa i2 = -1 olur. Buradan
i  1
sonucuna ulaşılır.
Bu sembolü ilk defa matematik dünyasına Euler(1707-1783)
tanıtmıştır. Karmaşık düzlemde herhangi nokta ikililer şeklinde
gösterileceği gibi a, b  R olmak üzere yukarıdaki sonuçtan
hareketle a  ib şeklinde gösterilecektir. Bernolli, Leibniz,
Euler ve Gauss ile birlikte analizde a  ib sayısı farklı
görünümler kazanacaktır.
• Şüphesiz koordinat düzleminden sonra
modern matematiğin gelişmesinde rol
oynayan en önemli keşiflerden birisi de
küme kavramıdır.
• Cantor(1845- 1918) küme kavramını
matematiğe sokarak çeşitli sonsuzluklar
tanımladı. Cantor’un bu yaklaşımı
matematikte bir devrim niteliğindeydi.
• Cantor, matematikteki geleneksel
sonsuzluk anlayışının aksine birden
fazla farklı sonsuzlukların olabileceğini
söylüyordu. Ona göre sonsuz tek başına
bir anlam içermiyordu. Anlamlı olan
sonsuz küme kavramıdır.
• Günümüzde Cantor’un düşünceleri
tamamıyla kabul edilmiş ve küme
kavramı geliştirilmiş olsa bile sonsuz
küme kavramını matematik dünyasına
kabul ettirmesi kolay olmamıştır.
• Matematiğe yeni bir nesne olarak
katılan küme kullanılarak belli
aksiyomları sağlayan grup adıyla
yeni bir matematiksel nesne daha
oluşturuldu.
• Kısa zamanda bu soyut
matematiksel nesne, denklemlerin
çözümünde, sayılar kuramında,
diferansiyel geometride yaygın bir
kullanım alanı buldu.
• Modern matematiği karakterize eden
gelişmelerden biri de Euclid-dışı
geometrilerdir.
• Bilindiği gibi Euclid’in 5. postulatından
çıkarılan sonuçu kendisinden sonra Ömer
Hayyam, Nasureddin Tusi, Lambert,
Lobachevsky, Bolyai gibi birçok matematikçi
tarafından tartışılmıştır.
•
Özellikle, Lobachevsky’nin hiperbolik
geometri olarak yürüttüğü çalışmaları
Riemann tarafından değerlendirildi.
• 19uncu yüzyıl matematiğinin mirasını devralan son yüzyılın
matematikçileri yeni kuramlar ve çalışma alanlarıyla matematik
bilimindeki birikimi bir kat daha artırmış oldu.
• Günümüz matematiği bir önceki yüzyılın matematiğinden daha soyut
bir yapıya dönüştü. Farklı matematiksel yapılar ve uzaylar yeni
çalışma alanları ortaya çıkardı. Bulanık mantık kuramı elektronikte
ve programcılıkta önemli bir uygulama alanı buldu.
• Bilgisayar teknolojisinin matematikçilere sağladığı imkanlar sonucu
fraktal geometri ve kaos kuramı son yılların gözde çalışma alanları
olmuştur.
• Şüphesiz nasıl ki bu yüzyılın matematiği öncekine göre daha soyut,
kavramsal ve yapısal ise gelecek yüzyılın matematiği de bu yüzyılın
matematiğinden çok daha farklı olacaktır.