Transcript Analiza_tolerancji

Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Analiza tolerancji i wrażliwości
układów elektronicznych
listopad 2010
1
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metody analizy tolerancji
1. Statystyczne metody analizy tolerancji
• Metoda momentów
• Metody samplingowe
(metoda regionalizacji, metoda Monte Carlo)
2. Metody najgorszego przypadku
• Metoda wierzchołków
• Zastosowanie arytmetyki przedziałowej
2
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Rozkłady tolerancji dla dyskretnych
elementów elektronicznych
3
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Równomierny rozkład tolerancji elementów
f x   u s x   u s x  1

m

1
xf x dx  xdx 



σ2 
1 x  0
u s x   
 0 x  0
0
1
1

2




x

m
f
x
dx

x






0

2
2
x
2
1

0
2
dx 
1
2
1
1
x 
3
2
3
1

0
1
12
Zależność między dowolną szerokością
zmienności R = b-a i wariancją ma postać
2
R
σ2 
12
zakresu
4
Dla tolerancji równej połówkowej szerokości zakresu
zmienności
Tol  R / 2
odchylenie standardowe parametru elementu o rozkładzie
równomiernym wynosi
4Tol2 Tol
i 

12
3
Na przykład dla elementu o ± 1% tolerancji otrzymujemy
  0,01/ 3  0,0058
i
5
Dla elementów o tolerancji < 2% przyjmujemy rozkład
równomierny.
Dla elementów o tolerancji > 2% przyjmujemy rozkład
normalny.
Dla rozkładu normalnego przyjmujemy
Stąd
Tol  3
Tol

3
Na przykład dla elementu i o tolerancji Tol = 1%
0.01
i 
 0.0033
3
6
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metoda momentów
Pierwszy moment rozkładu prawdopodobieństwa


 xp( x)dx

Drugi moment rozkładu prawdopodobieństwa

2   2 

( x   ) 2 p( x)dx

7
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metoda momentów
Funkcja układowa układu elektronicznego posiada wiele
argumentów, które są zmiennymi losowymi
F x1 , x2 ,...,xm 
Niech wektor x0 reprezentuje średnie (nominalne)
wartości parametrów elementów. Wartość oczekiwaną
odpowiedzi oblicza się z użyciem funkcji układowej po
podstawieniu wartości średnich poszczególnych
parametrów.
 
  F x0
8
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metoda momentów
Odchylenie standardowe odpowiedzi obliczamy linearyzując
funkcję układową w otoczeniu punktu odpowiadającego
wartościom oczekiwanym jej argumentów. Prowadzi to do
wyrażenia
2
 F  2
 F      xi 
i 1  xi 
n
gdzie: n − liczba elementów w układzie testowanym,
 2 xi  − wariancja parametru elementu xi.
Pochodne cząstkowe mogą być wyznaczone numerycznie

 
F F x10 , x20 ,...,xi0  i ,...,xn0  F x10 , x20 ,...,xi0 ,...,xn0

xi
i

gdzie: − F x1 , x2 ,...,xi ,...,xn   F x  wartość F wyznaczona dla
średnich (nominalnych) wartości parametrów elementów.
0
0
0
0
0
9
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Jeżeli przyrosty i zostaną tak dobrane aby były równe
odchyleniom standardowym wartości parametrów, to
F 
 F x , x ,...,x
n
i 1
0
1
0
2
0
i

2
 
  xi ,...,xn0  F x0
10
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Ograniczenia metody momentów
Metoda momentów jest szybką, lecz przybliżoną techniką
obliczania efektów tolerancji w układzie.
Ponieważ szereg Taylora jest obcięty po wyrazie pierwszego
rzędu, metoda daje dobre wyniki, gdy tolerancje są małe.
11
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metoda Monte Carlo
Polega na generowaniu zbioru pseudolosowych wartości
elementów, symulujących próbkę populacji generalnej i
wyznaczaniu dla tego zbioru odpowiedzi układu.
Statystyczne właściwości funkcji układowej otrzymuje się
przez wielokrotne powtarzanie tej procedury. Idea metody
pochodzi od S. Ulama i J. Von Neumanna. W metodzie tej
ocenie podlega wrażliwość globalna całego układu w
sytuacji, gdy wszystkie elementy jednocześnie przyjmują
wartości swych parametrów odbiegające od nominalnych.
12
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Generowanie liczb pseudolosowych
Algorytm Boxa-Mullera
Uznana metoda generacji liczb pseudolosowych o rozkładzie
Gaussa polega na generacji dwóch liczb pseudolosowych x1,
x2 z zakresu (0,1) o rozkładzie równomiernym i zastosowaniu
transformacji
y1   2 log x1 cos 2x 2
y 2   2 log x1 sin 2x 2
gdzie y1 i y2 są niezależnymi liczbami
pseudolosowymi o rozkładzie Gaussa.
13
Właściwości metody Monte Carlo
Zaletą metody MC jest uniwersalność, która pozwala ją
stosować w każdej dziedzinie techniki. Metoda MC daje
się zaprogramować stosunkowo łatwo, ale wymaga
odpowiednio dużej liczby prób, a więc długiego czasu
symulacji, jeżeli wymagana jest duża dokładność
wyznaczenia prawdopodobieństwa z definicji częstości
względnej. Związek pomiędzy częstością względną
zdarzenia losowego A i prawdopodobieństwem P(A) przy
dużej liczbie powtórzeń danego doświadczenia opisuje
twierdzenie Bernoulliego.
14
Jeżeli n oznacza liczbę pojawienia się zdarzenia A w N
niezależnych doświadczeniach, to częstość względna
i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa są zgodne z
dowolnym stopniem dokładności i spełniona jest nierówność
 n

P
 P A     1  
 N

dla dowolnych 
0
i   0 , jeśli liczba doświadczeń
N
1
4 2
15
Na przykład aby zaobserwowana częstość względna
różniła się o mniej niż ε = 0,005 od prawdopodobieństwa
aksjomatycznego, z 95 % poziomem ufności (δ = 0,05),
to wymagana liczba prób wynosi
N  200 000
16
Porównanie funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa
fazy z histogramem fazy uzyskanym metodą Monte Carlo
(500 000 prób)
0.25
f = 707 Hz
 x = 0.0086 V
 y = 0.0108 V
r=0
f ( ), Częstość względna
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Faza [rad]
17
Porównanie funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa
fazy z histogramem fazy uzyskanym metodą Monte Carlo
(100 000 prób)
90
0.5
120
60
0.4
0.3
150
30
0.2
0.1
180
0
210
330
240
300
270
18
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Właściwości metody Monte Carlo
1. Niezależność wymiarowa. Relacja pomiędzy
przedziałem pokrycia i liczbą prób jest niezależna od
liczby elementów w układzie poddanym losowej
zmienności.
2. Liczba prób potrzebna do tego aby ustabilizować
wyniki w sensie statystycznym jest bardzo duża.
Wartościami najbardziej wrażliwymi na liczność prób
są końce przedziału pokrycia. Wartość oczekiwana i
odchylenie standardowe są znacznie szybciej
zbieżne.
3. Ocenia globalne właściwości układu. Wszystkie
elementy jednocześnie przyjmują wartości
parametrów odbiegające od nominalnych.
19
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metody najgorszego przypadku
Identyfikują ekstremalne wartości funkcji układowych
implikowane przez tolerancje elementów
Metoda wierzchołkowa
Metoda sugeruje, żeby przyjąć założenie o lokalizacji
ekstremów w wierzchołkach regionu tolerancji
20
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Metoda wierzchołkowa
Funkcja układowa jest analizowana dla każdego wierzchołka
f ( x1  x1 , x 2  x 2 , x3  x3 ,..., x n  x n )
f ( x1  x1 , x 2  x 2 , x3  x3 ,..., x n  x n )
f ( x1  x1 , x 2  x 2 , x3  x3 ,..., x n  x n )
f ( x1  x1 , x 2  x 2 , x3  x3 ,..., x n  x n )
............
f ( x1  x1 , x 2  x 2 , x3  x3 ,..., x n  x n )
Podejście jest kosztowne obliczeniowo. Dla układu 10
elementowego dostajemy 1024 wierzchołki. Dla układu 20
elementowego liczba wierzchołków wynosi ponad milion
21
(1 048 576 wierzchołków).
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Arytmetyka przedziałowa
Arytmetyka przedziałowa została zaproponowana przez
R.E.Moore’a w 1966 roku.
Zamiast operować na liczbach, które są „blisko” interesującej
nas liczby, operujemy na przedziałach, co do których mamy
pewność, że na każdym etapie obliczeń zawierają te liczby.
Przedziałem rzeczywistym nazywamy domknięty
i ograniczony zbiór liczb rzeczywistych R
x  x, x  x  R : x  x  x
gdzie x jest nazywane infimum, a
x supremum.
22
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Arytmetyka przedziałowa
Elementarne operacje arytmetyczne   ,,, /
na liczbach rzeczywistych rozszerza się na argumenty
przedziałowe [x] i [y] przez zdefiniowanie wyniku takiej
operacji jako zbioru liczb rzeczywistych powstałego przez
wykonanie operacji na dowolnych dwu liczbach zawartych w
przedziałach [x] i [y]
x y  x  y : x  x, y  y
23
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Elementarne operacje przedziałowe
x y  x  y, x  y
x y  x  y, x  y
[0,1]+[0,1]=[0,2]
[0,1]-[0,1]=[-1,1]
a nie [0,0]
x y  minx y, x y, x y, x y, max x y, x y, x y, x y
[-1,2][-1,2]=[-2,4]
1 1
x /y  x  , ,
 y y 
0  y
24
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Układ liniowych równań przedziałowych
AI x  bI
Ax  b A  A
I
i b b
I

Wynikowe przedziały zawierają wszystkie rozwiązania, ale
zwykle są znacznie przeszacowane.
W trakcie mnożenia dwu przedziałów zespolonych uzyskuje
się na płaszczyźnie zespolonej prostokąt podczas gdy
prawdziwy wynik nie ma kształtu prostokąta. Powstaje
przeszacowanie nazywane „pakowaniem”.
25
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Ilustracja przeszacowania rozwiązań
 2
 1,0

 1,0  x1 
 1.2 
x   

2   2   1.2
x1I   0.3, 0.6 
x 2I   0.6 ,0.3
26
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Właściwości arytmetyki przedziałowej
Metoda najgorszego przypadku z zastosowaniem
arytmetyki przedziałowej jest kilkaset razy szybsza od MC,
prowadzi jednak do zbyt dużych przeszacowań.
Matematycy próbują ograniczać efekt przeszacowania za
pomocą wektorów przedziałowych w postaci
równoległościanów lub specjalnych wielościanów.
27
Wrażliwość
Wrażliwość jest pewną immanentną cechą układu,
podobnie jak impedancja czy transmitancja, a jej
wartości można uzyskiwać przez analizę układu.
Podstawowe metody wyznaczania wrażliwości: metoda
symboliczna, metoda układów dołączonych.
28
Wrażliwość różniczkowalnej funkcji układowej, rozpatrywanej
jako funkcja parametrów układu , jest miarą zmian odpowiedzi
układu na zmiany parametrów elementów.
F
S 
xi
F
i
(1)
W dziedzinie układów elektronicznych często stosowana jest
wrażliwość względna
S
F
wi
 ln F xi F

 Si
 ln xi F
(2)
dogodna do porównywania różnych wersji układów.
29
W przypadku funkcji układowej posiadającej wartość
zero dla nominalnych parametrów układu, nie można
zastosować wrażliwości względnej, użyteczna jest
natomiast wrażliwość półwzględna
F
S pi
F

 xi SiF
 ln xi
(3)
Jak wynika z (1), (2) i (3) pomiędzy wrażliwościami
różnych typów istnieją jednoznaczne związki.
30
Użyteczne formuły do obliczania wrażliwości
modułu i fazy
Si  Re S
F

Si 
1

F
i
F
i
Im S
31
Filtr typu leapfrog
we
+
+
wy
Sekcja 1
Sekcja 2
C11(C31)
a)
R11(R31)
R13(R33)
Sekcja 3
b)
R26
R12 (R32)
C12 (C32)
+
C21
R27
+
R21
C22
R22
-+
R25
R23
R15(R35)
R24
R14(R34)
Sekcja 1
Sekcja 2
Sekcja 3
R11
10.27
R21
2.082
R31
10.27
R12
7
R22
7
R32
7
R13
0.1449
R23
0.1534
R33
0.1449
R14
0.2
R24
2
R34
0.2
R15
7.54
R25
49
R35
7.54
R16
-
R26
1
R36
-
R17
-
R27
0.1
R37
-
C11
1
C21
1
C31
1
C12
1
C22
1
C32
1
32
Charakterystyki filtru pasmowoprzepustowego
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
Phase (deg)
-180
-360
-540
-720
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
33
% Program oblicza wrażliwość względną modułu transmitancji filtru
leapfrog na % zmiany rezystora r33
%
syms K1 c11
k
r211
r34 K2 c12
m
r22
r35...
K3 a10
c21
r23
s a11 c22
p
r24...
a20 c31
r11
r25 a21 c32
r111
r26...
a30 den
r12
r27 a31 dzielnik1 r13
r31
ww...
b11 dzielnik2 r14
r311 b21 dzielnik3 r15
r32...
b31 inv
r21
r33 G1 G2 G3 G12 G32
s=ww*i;
% Wyznaczenie funkcji układowej w postaci symbolicznej
r111=r11*r13/(r11+r13);
K1=r14/r15; K2=r24/r25; K3=r34/r35;
dzielnik1=r13/(r13+r11); dzielnik2=r23/(r23+r21); dzielnik3=r33/(r33+r31);
b11=((1+K1)*dzielnik1)/(r111*c11);
a11=((c11+c12)/(r12*c11*c12))-(K1/(r111*c12));
a10=1/(r111*r12*c11*c12);
r211=r21*r23/(r21+r23);
K2=r24/r25;
b21=((1+K2)*dzielnik2)/(r211*c22);
a21=((c21+c22)/(r22*c21*c22))-(K2/(r211*c22));
a20=1/(r211*r22*c21*c22);
34
inv=-r27/r26;
r311=r31*r33/(r31+r33);
b31=((1+K3)*dzielnik3)/(r311*c31);
a31=((c31+c32)/(r32*c31*c32))-(K3/(r311*c32));
a30=1/(r311*r32*c31*c32);
G1=-b11*s/(s^2+a11*s+a10);
G2=-b21*inv*s/(s^2+a21*s+a20);
G3=-b31*s/(s^2+a31*s+a30);
G12=G1*G2/(1-G1*G2);
G32=G3/(1-G2*G3);
fu=2*G12*G32/(1-G12*G32*G2) % funkcja układowa - transmitancja
dfr33=diff(fu,r33); % wyznaczenie pochodnej transmitancji względem r33
stransr33=dfr33*r33/fu; % obliczenie wrażliwości względnej transmitancji
smodr33=real(stransr33); % wrażliwość modulu = część rzeczywista
%wrażliwości transmitancji
load filtrLF_dane; % ładowanie danych liczbowych dla filtru
w=logspace(-0.1,0.1,50);
for k=1:50;
ww=w(k);
xr33(k)=subs(smodr33); %podstawienie wartości liczbowych
end
semilogx(w,xr33); % wykreślanie charakterystyki wrażliwości
35
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Wyniki obliczeń wrażliwości filtru typu leapfrog na
zmiany wartości elementów rezystancyjnych
15
R22
10
R12, R32
Wrazliwosc wzgledna
5
R24
R27
R14, R34
0
R26
-5
R15, R35
R25
R11, R31
R21
R13, R33
R23
-10
-15
-0.1
10
0
10
 [rad/s]
0.1
10
36
Wyniki obliczeń wrażliwości filtru typu leapfrog na
zmiany wartości elementów pojemnościowych
15
C21
10
Wrazliwosc wzgledna
5
C11, C31
0
C12, C32
-5
-10
C22
-15
-0.1
10
0
10
 [rad/s]
0.1
10
37
Implementacja w pełni różnicowa filtru
pasmowoprzepustowego
C31
C11
Vi-
R11
C12
Vi+
R12
OA1
-+
R31
C32
C22
C21
R22
VOCM1
R32
-+
+R21
C51
OA2
R51
C52
R61
C62
-+
C42
C41
R42
VOCM2
OA3
+-
+R41
R52
C61
Vo+
Vo-
R62
VOCM3
38
Wrażliwości półwzględne modułu filtru w pełni
różnicowego
2
R52
R61
1.5
Wrażliwość modułu
1
C52
C61
C62
C51
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
R62
-2 1
10
10
2
R51
10
Częstotliwość [Hz]
3
10
4
39
Wrażliwości półwzględne fazy filtru w pełni
różnicowego
2
1.5
Wrażliwość fazy
1
R52
R51
C52
C51
C62
C61
R62
R61
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2 1
10
10
2
3
10
Częstotliwość [Hz]
10
4
40