Transcript 在數學中發展理解_Talk at Victoria_Short

在數學中發展理解
嘉義大學 幼教系
賴孟龍
探索「做數學」的涵義
一、學校數學的轉變覺知
（一）學校數學的傳統觀點
- 傳統的「教學」包含著教師指示兒童如何去做指定的
課業
- 操作教具時，教師明確告訴兒童如何以一種指定的方
法來使用教材(大家都同一個方法)
- 學生的注意力在教師身上，而非數學的原理上
- 上課的焦點，主要是得到答案，
而學生又依賴教師去判定自己的答案是否正確
探索「做數學」的涵義
一、學校數學的轉變覺知
（一）學校數學的傳統觀點
- 當兒童既不必提問，也不需了解規則或評價自己的答
案時，（到了五、六年級）則兒童開始完全拒絕去嘗
試一個開始就沒有被解釋的問題
- 兒童不期待去解決問題，除非一開始便給予他們解題
的方法
- 是一種遵循規則、計算至上、答案取向的數學觀點，
卻扭曲了數學的本質
探索「做數學」的涵義
一、學校數學的轉變覺知
（二）數學是樣式 pattern 與次序 order 的科學
- 數學是有著規律的樣式與邏輯次序的事物的科學；
發現與探究如此的樣式與次序，並使它發生意義就是
數學的全部
- 其領域包括：數字、機會、格式、運算法則、變化
- 樣式 pattern：數學要尋找與探討的規律rule、
模型model、形式form、結構structure ，
看到「樣子」想到「式子」
探索「做數學」的涵義
一、學校數學的轉變覺知
（二）數學是樣式 pattern 與次序 order 的科學
- Ex.你可曾注意到6＋7和8＋5與4＋9&9＋4是相同的？
它們的規則是什麼？它們的關係是什麼？
- Ex.當兩個奇數相乘，結果仍是奇數
V.S 若相同的這兩數相加或相減，結果卻是偶數
- 以上兩個例子的簡單結果，背後隱藏了邏輯，
即一種次序或是一個樣式
- 世界充滿了樣式與次序，Ex.自然、藝術、建築、音樂、
醫藥…等
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
 細節與片段重複地反覆訓練，不是做數學，也將不會有
瞭解的結果
問題與討論
（一）與「做數學」有關的動詞
 想像一下在一個數學教室中，小學生
做數學的情形；請試著用一些動詞來
描述教室中的活動。
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
（一）與「做數學」有關的動詞
- 探索explore
表現represent
解釋explain
調查investigate
公式化formulate
推測predict
臆測conjecture
發現discover
發展develop
解決solve
建構construct
描述describe
辯解justify
證實verify
使用use
- 這些科學動詞指出了：1.產生意義 make sense
2.發覺道理 figuring out 的歷程
- 學生得到的訊息：「你能對這個產生意義—
你有能力去做數學」
問題與討論

與「做數學」有關的動詞
- 探索explore

表現represent
解釋explain
調查investigate
公式化formulate
推測predict
臆測conjecture
發現discover
發展develop
解決solve
建構construct
描述describe
辯解justify
證實verify
使用use
試著用「做數學」的動詞，來描述國
小學童的數學活動。
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
（二）數學的基本 basics 是什麼？
- 在數學中，最基本的想法是---
使數學有感覺、能產生意義﹗
1.每天，學生必須經驗數學產生意義這件事
2.學生必須去相信，他們是有能力使數學產生意義的
3.教師必須停止灌輸式的教學，並開始讓學生學習，
使數學產生意義
4.最後，教師必須相信所有的學生
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
（二）數學的基本 basics 是什麼？
- 在數學教室中，所介紹的每一個觀念都能夠且應該讓
每個兒童完全了解
- 所有兒童都能學到我們要他們學習的所有數學，且他
們能以有意義的方式 (即使是背頌)來學習，並學到數
學對他們所產生的意義
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
（三）「做數學」的環境
做數學
V.S
- 是「有所行動」的動詞，
Ex.表現、解釋、使用、調查
建構、探索
- 必須採取努力和主動
傳統數學教室
- 是被動的活動，
Ex.聆聽、複製、記憶、
反覆訓練
- 意味著零風險與很少的
主動
探索「做數學」的涵義
二、「做數學」是什麼意思？
（三）「做數學」的環境
- 做數學的環境：
1.每個學生的想法都能受到尊重
2.能彼此分享和討論
3.學生能為自己的方法辯護以及證明自己的解法
4.教師要創造這種質詢、信任、期望的精神
- 焦點放在學生積極的發掘事物，測試想法與進行推測，
發展推論與提供解釋
探索「做數學」的涵義
三、促進「做數學」

要創造一個真正做數學的教室環境，在方法上，要有一
個「做數學」的個人感覺是很重要的
（一）讓我們做些數學吧！
加油!加油!
二部機器，一個工作

當雷恩買了一台中古的碎紙機時，雷恩的回收商店正式開
張。因為生意很好，所以雷恩又買了一台新的碎紙機。
舊機器能在4小時內切碎一卡車的紙，
而新機器只要2小時就可以切碎相同的一卡車的紙。
請問，如果雷恩同時發動這兩台碎紙機去切碎一卡車的紙，
將會花去多少時間？
從這裡你們可以找到什麼？
- 對幼童而言，一個優質的探索，是幫助他們去看出事實是如
何被關聯，並藉由觀察來面對它們：
＊當使第一個數多1，然後第二個數少1時，會得到相同的答案


7＋7＝14 相當於 8＋6＝14
＊對於 5＋5 的計算，也是發生一樣的作用


5＋5＝10 相當於 6＋4＝10
※ 當加法改為乘法時(7x7=49 vs.8x6=48)，
你發現到了什麼？
紫色的最好機會

三個學生正快速的旋轉兩個輪盤以「得到紫色」；
他們可選擇旋轉每個輪盤1次或是選擇其中的一個轉輪2次。
瑪莉選擇旋轉A輪盤2次；
約翰選擇旋轉B輪盤2次；
蘇珊選擇先旋轉A輪盤，然後是B輪盤。
紅黃
綠 藍
輪盤 A
黃
紅 綠
藍
輪盤 B
※ 請問誰最有機會得到一個紅色和一個藍色的呢？
三、促進「做數學」
（二）沒有解答本
- 什麼是「正確」答案？
你的答案是正確的嗎？
是什麼使得任何探究的解法是「正確的」呢？
- 在教室內解答本的現成效益、教師提供解法與證明答案
是正確的，都對兒童傳達：關於做數學，
是「你的工作要去發現老師已經知道的答案」
V.S 在教室外，在需要解決問題的現實世界中，沒有擁有答
案的教師，也沒有解答本
- 做數學應包括：1.決定一個答案是否正確？
2.而且答案為什麼如此？
探索「做數學」的涵義
三、促進「做數學」
（三）再多做一些探索活動吧！
- 開始去經驗做數學的意義與感覺
四個連續的數

有人說把四個連續的整數加起來，另外把第一
個與最後一個數字加起來乘以2，你發現了什麼
情形？ 為什麼?
特技演員、祖母與伊文老狗

請利用以下的訊息，去發現誰是拔河比賽第三回合的勝利
者。
第一回合：一邊是4位特技演員，每一位的力量都相同。
另一邊是5位街坊的老祖母，每一位的力量都
相同；比賽結果是平手。
第二回合：一邊是伊文（一隻老狗）。可憐的伊文對抗2個
老祖母與1位特技演員；結果又是不分勝負。
第三回合：伊文和3位老祖母在一邊，而4個特技演員在
另一邊。
※ 請問誰將贏得第三回合？
探索「做數學」的涵義
四、幫助學生「做」數學

教師要提供一個鼓勵學生冒險與期待參與的環境，作為
每日的基礎
- 學生能說得更多、分享更多的想法、提供建議，而且
挑戰或辯護別人的想法
- 對於以答案為導向或教師直接灌輸的環境感到不適應
的學生，將可開始發展出信心
- 使教室傾向於成為數學社群，避免成為每一個個人的
收容場所
畫掉最後一個的人是贏家!!
OOOOOO
OOOOOO
OOOOOO
OOOOOOO
OOOOOO
OOOOOO
OOOOOO
想想看，你有什麼必勝策略?
在數學中發展理解
在數學中發展理解
• 數學教育者的共同目標：學生應該理解數學
• 最被廣泛接受的建構主義理論 constructivism，
建議孩子在發展自我理解的過程中，一定要積極參與
• 建構主義：
1.讓我們洞察關於孩子們如何學習數學
2.引導我們使用以學生為本位(中心)的教學策略
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
- 植基於心理學派的認知學派，
以1960年代的Piaget理論為根本
- 反對孩子是白紙的觀點；
認為孩子無法吸收教師表達的想法，
而是自己知識的創造者
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（一）觀念的建構
- 建構主義的基本原則：孩子建構自己的知識；
事實上，所有人隨時都在建構或對他們感知的事情下
定義或思考
Ex.當你在讀這些文字時，你正在為它們下定義、正在建構想法
- 建構理解的工具：已經存在的想法、已有的知識
建構理解的材料：看到、聽到或現實環境中觸摸到的
元素，有時是自己的思維和想法
建構必須要有積極和反省的思考
V.S 心智不積極思想，什麼事也不會發生
在數學中發展理解
既有的觀念
新的觀念
圖 3-1
- 我們利用既有的觀念（灰點）去建構一個新的觀念（黑點）
，並在過程中發展觀念連結的網路
- 連接的線，表徵邏輯的連結或發展的想法之間的關係
- 越多觀念被使用，就有越多的連結，也越來越了解(個別差異)
問題與討論
 請畫一個連結數個數學既有觀念而
形成的新觀念的連結網路圖。
Ex.
長度
直徑
圓周長
半徑
圓面積
圓周率
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（一）觀念的建構
- 學習者在新舊觀念間的連結數量是不同的
- 一個想法的建構，對每個不同的學習者來說都是不同
的，即使在相同的環境或教室
- 不同的學習者會對相同的新想法，給定不同的意義
- 建構知識對學習者來說是極其主動、積極努力；
建構和理解新想法時，必須積極思考：
1.「這和我已經知道的有什麼相關？」
2.「以目前我對這個想法的理解，我如何了解它？」
在數學中發展理解
• 建構學習的例子
問題：四位小朋友有3包M&M巧克力。他們決定打開3包巧
克力並且公平的分配，每一包都有52顆M&M巧克力
，則每個人分到幾顆M&M巧克力？
有幾個4？
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（二）記憶學習的建構
- 每一個學習的片段都是獨立的，
死記硬背知識幾乎對有用想法網路沒幫助，
死記硬背學習是「薄弱的建構 weak construction」
Ex. 死背九九乘法，想辦法記住78=56 (無法應用!!!)
- 用已有的數學想法來創造新數學想法，即形成有用的
認知網路
在數學中發展理解
Ex. 建構 87 的過程
1.小丸子：想起5個8，然後再多2個8
2.丸 尾：已經學習77，注意到再多1個7
3.花 輪：視為8個7（78的表徵），
取其一半（74）再增加一倍，
7的2倍是14，14的2倍28，28的2倍是56
• 用已有的數學想法來創造新數學想法，即形成有用的
認知網路
問題與討論
 請試著利用已有的數學想法，算出
1299 的答案。(列出各種可能!)
（加法、減法、乘法、除法的觀念）
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（三）理解
- 將理解 understanding 定義為一個概念，用現存概念透
過質化和量化作關聯的測量
- 理解取決於適當想法的存在以及新關聯的創造
在數學中發展理解
- 個人的理解方法是它沿著連續區存在
- 一端是高度關聯，已理解的想法和在概念和過程有意義的網
路中，與許多其他現存想法聯繫，此連續區末端的理解稱
為「關係性理解 relational understanding」
- 連續區的另一端末端，其思考方式幾乎完全孤立，稱為「
工具性理解 instrumental understanding」，Ex.死記學習的知識
- 如果同意理解有質化和量化的差別，「她知道嗎？」的問題
，將被「她怎麼知道的？她和什麼想法連結？」所取代
比
•理解的例子
比
圖3-2 理解「比」的概念網路圖
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
1.內在獎勵
- 幾乎所有人包括孩子，都喜歡學習，特別是當新資
訊需要連結既有的知識時
- 既有知識會讓新知識產生意義，使它更適合、更好
- 利用獎品，Ex.玩具、出遊、獎勵卡，也許在短期中是有
效的，但當獎品誘因被移除後，對於鼓勵科目的喜
愛就沒有用
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
2.強化記憶
- 記憶是一個萃取資訊的過程
- 當以關係性方式學習數學時，資訊被稀釋降低的機
會少得多
- 連接的資訊比保留的片段資訊，更有可能被萃取到
Ex.需要的資訊疏遠了，回想相關的想法，最終會引導到想要的
概念…瞭解乘法是由加法而來，若忘記58，
則可用5連加8次算出
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
3.較少背誦
- 建構主義強調「重要觀點 big ideas」的概念，
- 重要觀點是相互關聯的概念網路；
當概念被整合進一個較大的資訊網路，概念的學習
是關聯性的
- 若網路建構得夠好，則大部分的資訊就能被儲存和
回覆成單一實體，而非孤立的一小部份
- Ex.等值分數的知識則公分母、最簡分數等概念，就能在帶分
數、全數間做轉換 (不需要學一個背一個)
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
4.有助於學習新概念和程序
- 充分理解的數學概念，更容易延伸學習新的概念
- Ex.分數知識和位值知識整合，使小數學習更簡單、
小數概念直接提升百分數概念的程序理解、
透過找到公因數，化簡分數和約去公因數是相同的事
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
5.增進解題能力
- 新問題的解法需轉換已學得想法的脈絡到另一情境
- 當概念嵌入豐富了網路，大大提升可移動性和解決
問題
- Ex.美國在1990~1996年強調「理解」，因此學生每年在達到或
超過基本和熟練階段的人數百分比，都有緩慢但顯著的成長
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
6.自我生成
- 當獲得知識是愉快的，則很有可能自己尋求或發明
新想法，尤其在面對疑難情況時(不再等待答案)
- 在理解中的發明，能夠產生新的理解，啟發一種雪
球效應
補充：雪球效應：指事件如同雪球一樣越滾越大，
形容事務發展規模速度瘋狂增長
在數學中發展理解
一、建構主義者的學習觀
（四）關係性理解的好處
7.改善態度和信念
- 關係性理解有情意影響和認知影響
- 學習者發展出一個確定的自我概念或學習和理解數
學的能力，即「我能夠做它！我理解！」
V.S 工具性理解潛在數學憂慮，包含恐懼和逃避行為
- 關係性理解提升數學本身正向的觀點，感覺到數學
的連結和邏輯性，學生更可能受它吸引
在數學中發展理解
二、數學知識的類型
• 數學教育學者將數學知識區分為：
1.數學的概念性知識
2.數學的程序性知識
在數學中發展理解
二、數學知識的類型
（一）數學的概念性知識 conceptual knowledge
- 是由內部建構的邏輯關係和心中已有觀念所組成的網
路知識的一部分
- 也是 Piaget 所謂的邏輯數學知識
logico-mathematical knowledge
- 概念性知識是理解的知識
Ex.數字7、矩形、個/十/百的位值、總和、乘積、等值、比、
負數……等，都是數學關係或概念的例子
Ex.圖3-6、3-7
概念
圖3-6 數學的概念性知識
- 數學概念1個「十」與10個「一」相同；十不是一條積木
- 概念是一條積木和小立方體之間的關係
- 所謂「十」的關係，必須由孩子們在自己的心中創造
A
B
C
圖3-7 數學的概念性知識
- A是矩形；但如果視形狀B是「一」或一個「整體」，則我們
說形狀A是「一半」
-「一半」的概念是形狀A和形狀B的關係
- 如果視C是一個「整體」，形狀A則變成「四分之ㄧ」；
具體的矩形沒有改變，一半和四分之ㄧ的概念不在形狀A；
概念在心中建構，矩形幫助我們『看到』關係
在數學中發展理解
二、數學知識的類型
（二）數學的程序性知識 procedural knowledge
- 程序，是學習完成某種任務的步驟
- 程序性知識，是規則的知識
- 是用來完成例行數學工作的步驟，
同時也是表徵數學的符號
Ex.乘法 4768 必須有一步接著一步的程序
- 符號是程序性的一部份；符號的知識取決於它如何被
個人所了解的概念以及連結到的其他概念
Ex. （8-3）2=10、＞、≠、∞
在數學中發展理解
二、數學知識的類型
（三）做數學與程序性知識
- 程序性知識在學習和做數學，扮演重要的作用
- 算法的程序幫助我們更容易做例行工作，使我們心思
集中於更重要的任務(使其自動化)
- 符號是個強而有力的工具，能將數學概念轉換至其他
想法；
但是，再怎麼熟練的程序使用也「不會」發展和程序
相關的概念知識
Ex.不斷做長除法並不會幫助學生理解除法的意義(等分除 包含除)
等分除:
Total amount ÷ no. of groups ＝ size of group
(全部量)
(組數)
(組內量)
包含除:
Total amount ÷ no. of groups ＝ size of group
(全部量)
(組內量)
(組數)
在數學中發展理解
二、數學知識的類型
（三）做數學與程序性知識
- 從學習數學的優勢來看，能夠連接程序和概念性的想
法的問題比程序本身的有效性更重要
- 事實上，在特定程序上熟練的學生，對其附加意義之
瞭解顯得不情願而勉強(不再想概念性知識)
- 在沒有概念的情況下，不應該學習程序規則；
但是，不了解概念卻只學習程序規則的情形，卻是經
常發生
問題與討論
 請舉例說明，
數學的概念性知識和程序性知識。
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（一）數學概念的模型
- 數學概念的模型 a model：
是指是指以物體、圖片或畫圖表示概念，或概念能夠
利用到的關係
Ex.任何100個物體的群體可能是「百」概念的一個模型，像是
100元、100個人、100輛車，但不了解「一」，就無法想像「百」
- 模型「說明」概念的說法是不正確的；
說明意味著，當你看模型時，你可以看見概念的例子
，技術上，你用眼睛實際上看見的是這個有形的物體
；只有你的心能夠把數學關係加給物體，一個還沒有
建立關係的人，模型不能說明那個人的概念
圖3-8
說明數學概念的模型之例 a
-「6」這個數概念表示的是一些物件之間的關係，並聯繫到
文字命名：一、二、三、四、五、六
- 在計數上，透過加1的改變，使整個關係發生變化
- 6的集合與7的集合不同就是「多1」的關係
圖3-8
說明數學概念的模型之例 b
-「長度」概念在沒有物體的長度屬性比較下就沒有意義
- 測量一個物體的長度，就是將物體的長度與單位長度相比
較的關係
圖3-8
說明數學概念的模型之例 c
-「矩形」概念是一個空間與長度結合的關係
- 透過在格子點紙上繪圖可看出，相對的邊應是等長和平行
的關係，相鄰的邊相交成直角
圖3-8
說明數學概念的模型之例 d
-「百」的概念不是指一塊大的正方形，而是這塊大正方形與
一條「十」和一個小正方形「一」的關係
圖3-8
說明數學概念的模型之例 e
-「機率」表示一件事情出現的頻率與所有可能性的關係
- 輪盤可用於建立相對頻率，這些頻率可以透過觀察輪盤各
部份之間的關係來預測
- 注意：機會和機率是與分數和比的概念融為一體的
圖3-8
說明數學概念的模型之例 f
-「負整數」是基於「相反」關係的，負數只有與正數相反
比較而存在
- 數線上的箭頭本身不是表示負的量，而是表達方向的「相
反」關係以及使用長度代表數量大小
問題與討論
 請選擇一個數學概念，
舉出三種可以用來增進概念理解的
模型。
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（二）模型和建立數學概念
- 為了理解模型所代表的概念，必須在大腦中有那種概
念（即關係）；
V.S 如果沒有，也就不了解結合關係和模型
Ex.這就是為什麼一些模型在老師看起來是意義豐富，而學生卻領
悟不到；沒有數學概念的學生，看到的只是模型本身
 如果概念不能從模型來，那模型又怎樣幫助學生掌握概
念的呢？
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（二）模型和建立數學概念
•新觀念必須隨著時間慢慢形成；
- 孩子積極反思頭腦中的新思想，並透過各種可能的測
試途徑，這正是學生討論和小組活動的價值所在
- 思想交流、辯論觀點、聽取他人意見、描述、解釋，
這些心靈活動都在測試反應外在實體湧出的新觀念
- 隨著測試的深入，新概念逐漸定型，並和其他概念相
聯繫
- 當新概念定型並與其他概念相融合，並且良好適應配
合外在實體時，一個正確的概念就形成了
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（三）擴展模型概念
- 1987年，Lesh、Post和Behr 討論了概念的五種表徵，
圖3-9：
1.圖像
4.口述語言
2.操作模型
5.現實生活情境
3.書面符號
發現不能將概念從一種表徵形式轉化為另一形式的孩子
，也不能解決問題和理解計算
- 加強概念表徵間的轉換，會促進小孩對概念的理解
- 孩子用越多的方法思考和測試新概念，新概念就越容易
正確形成，並和其他概念關係相融合統一
圖3-9 數學概念的五種表徵方式
- 模型和圖像是可操作的
- 此五種表徵方式之間及其內部的轉換可幫助形成新概念
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（三）在教室裡使用模型
- 若把模型視為「思考者玩具」或「談論者玩具」，可
發現三種用途，有助於發展式的教學：
1.幫助學生發展新概念或關係
2.幫助學生連結概念與符號
3.評量學生的理解
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（三）在教室裡使用模型
1.發展新概念
- 提供不同的模型讓學生使用，以幫助學生形成重要觀
念
- 鼓勵學生選擇和使用材料，幫助解決問題和向同組成
員陳述觀點
- 選擇學生能理解的模型，不要強迫學生使用某一特定
模型
- 當學生的概念與模型相吻合，則學生就能理解概念
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（三）在教室裡使用模型
2.連結符號和概念
- 模型就是概念和符號的連結，也是發展新概念的一種
方式
- 讓學生寫下自己是如何使用模型
Ex.用一個方程式表達你剛才所做的、
將用積木解決問題的過程記錄下來
- 當學生看到可以利用書面方式表達或記錄已具備的數
學概念時，則對此概念的書寫或符號形式，將更易於
了解且更有成就感
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（三）在教室裡使用模型
3.評量學生的理解
- 當學生以自己能理解的方式使用模型時（非老師的指令
），使用具體模型的方法，透露出其思考活動，可藉
此評量每個學生
在數學中發展理解
三、發展理解中模型的角色
（四）不恰當的使用方法
- 最常見的模型使用錯誤，見於老師命令學生「跟我這
樣做」，老師把材料拿出來向學生演示如何使用它們
，學生盲目地跟隨老師；
看起來好像已理解，其實讓學生無頭無腦地移動積木
和無頭無腦地教他們做分數除法時「顛倒相乘」一樣
，都不能促進思考和幫助概念發展
- 模型使用指導過多時，學生將模型當作找到答案的工
具，而不是思考玩具，沒有思考就不會進步，也不會
有理解
在數學中發展理解
四、發展式的教學
• 教學意味著做一系列的決定：
備課要做決定，明天最好做什麼？
考慮到今天所學的，明天應該怎樣繼續 ？
學生有進步嗎？
是繼續這樣還是中斷？
要怎樣幫助學生？
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（一）發展方式的依據
- 建構主義觀的教學方法：
發展式教學法 a developmental approach
1.小孩建立他們自己的知識和理解，我們不能把觀念
灌輸給被動學習者
2.每個學習者的知識和理解是獨特唯一的，和其他人
不一樣
3.反省性思考是有效學習的一個重要因素
4.有效教學是以學生為中心
…在一個建構主義式的教室裡，重點是「學」，不是教；
教師的任務是提出問題並創造一個解決問題、探索問題的
課堂環境
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
- 有目的地進行思考，對有效教學極為重要；
怎樣設計課程以促進學生反省思考？
怎樣才能有效的學習？
1.塑造數學環境
2.設計有用的數學課業
3.建立合作學習小組
4.使用模型和計算器作為思考工具
5.鼓勵對談和寫作
6.要求學生解釋回饋資訊
7.積極聆聽
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
1.塑造數學環境
- 在數學環境中，學生可自由嘗試新概念、交流看法、
挑戰其他人、從學生或老師尋求建議、解釋思路和冒
險
- 期待、尊重和相信學生是有學習能力的
- 塑造學生能自由表達數學觀點的氣氛，是老師的中心
任務，也是發展學生數學功力 mathematical power 的
第一步
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
2.設計有用的數學課業
- 設計的課程或問題應吸引學生，其任務應基於所學過
的知識，學生能猜出與任務相關的概念
- 期待、尊重和相信學生是有學習能力的
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
3.建立合作學習小組
- 3人或4人的問題解決小組，特別有助於鼓勵學生交
流和探討
（學生願意在小組中談論不敢在全班面前談論的話題）
- 同一小組中，學生能力各異，可使所有學生都面對好
的思考和推理（異質分組）
- 小組活動時，老師可聆聽各組的討論，也應留點時間
讓全班討論、相互交流
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
4.使用模型和計算器作為思考工具
- 模型的使用應幫助學生探索新觀念並產生意義
- 許多新探索都能藉由具體實作來進行
Ex.嘗試用「一、百、十」的積木，以不同的方式組合成437。
你能找到什麼方法？還有其他方法嗎？
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
5.鼓勵對談和寫作
- 使用書面或口頭解釋一個觀點，需要我們認真理解這
個觀點，直到真正理解它，並成為我們的一部份
- 對談使談話者主動涉入；
當我們解釋觀點時，總是在不停的修補觀點
- 解釋或討論時的思考，就是真正的學習
- 寫作不但幫助學生整理思想，也使學生專注一種觀念
和準備解釋，或在全班進行辯論
- 寫作者是在省思、推敲和總結以前所發生的事
在數學中發展理解
四、發展式的教學
（二）有效教學的策略
6.要求學生解釋回饋資訊
- 要求學生詳細解釋為什麼？怎樣做？
- 解釋答案要求學生積極思考；
使猜測和死記硬背的答案得以根除
7.積極聆聽
- 相信學生所說的任何想法都是唯一且有價值的理解
- 延長待答時間，讓學生找到答案或激發其產生新的觀
念
透過解題教學
發展解題策略
2. 計畫且實現的策略
- 下列為一些受歡迎的策略：
(1) 畫圖、付諸行動、使用模式
(2) 尋求樣式規律
(3) 製作圖表
– 是很多活動的重心，特別在代數推理
– 圖表的使用常是尋求解題或建構新概念的組成模
式，Ex.資料表、函數表、運算表
(4) 嘗試更簡單的問題形式
– 簡單化問題數量，會使作業更
容易去了解與分析
(5) 猜測與檢查
-「嘗試和看看你會發現什麼？」，甚至在失敗的
嘗試中，會引導出更好的概念
(6) 列出有組織的表
- 有系統的列出所有可能的結果
- 組織表在機率上的學習是非常重要的
小華在50公尺的比賽中比小
快5公尺。如果小華對小名說
我在起跑點前五公尺和你一起
跑，我們應該會同時到達，小
名說，你真不愧是一位運動
家，試問，他們會同時到達
嗎？
一個工匠想要從地面到屋頂間一個階
梯，地面到屋頂高128公分，每一階梯
高8公分，試問，他要做幾個階梯？
請用四條線，將這九個點相連起來，線與
線間不得重複或間斷。
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一隻蝸牛要爬出18公分的水溝，他白天
只能爬6公分，到了晚上又滑回3公分。
試問，要幾天，這隻蝸牛才能爬出洞
口？
如果有36個花片形成一個三角形，試問
你需要移動多少個花片才能讓這個三角
形的方向相反？圖片上僅顯示前三列的
花片，每次只能移動一個花片。
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小強把2個10元，一個10元一個5
元，兩個5元，分別放入三個不同
的杯子中。如果這三個杯子貼上錯
誤的標籤，請問如何從杯中取出一
個銅幣後，可以確認每個杯子裏有
多少錢？