MECANIQUE DES FLUIDES

LA STATIQUE DES FLUIDES

Année universitaire 2003-2004 (Premier semestre)

I. Lois générales de la statique des fluides

(Nicolas Battaglia)

1.

Forces de pression dans un fluide

a. Mise en situation b.

Définition c. Remarque

2.

Pression en un point d’un fluide

p



dF dS

3.

Equations générales de la statique des fluides

a. Traduction de l’équilibre des forces

- Des forces de volume (pesanteur ou inertie), - Des forces surfaciques (forces de pression).

b. La notion de force volumique équivalente de pression F VP

  

.p

c.

L’équation fondamentale de la statique grad p



ρ.

g d. Remarques ρ.



.U

  

.p

4.

Théorèmes généraux

a.

Théorème 1

(Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isobares, et réciproquement.

b.

Théorème 2

(Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isochores (réciproque fausse).

c.

Théorème 3

(Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isothermes (réciproque fausse).

5.

Théorème d’Archimède a. Mise en situation et démonstration b.

Enoncé du théorème c. Cas du solide totalement immergé

- Solide homogène, - Solide non homogène.

d. Cas du solide partiellement immergé

6.

Forces de pression uniforme

(Martin Panhard) Entre deux points peu éloignés dans la direction du champ de pesanteur, la pression est uniforme et vaut P 0 .

Théorème : Soit une surface fermée (S) située dans un domaine (D) où règne une pression uniforme p0 ; le système des forces de pression s’exerçant sur la surface constitue un torseur nul.

Le théorème précédent nous conduit à négliger l’influence de la pression atmosphérique tant que nous la considérons comme uniforme dans le domaine que nous considérons.

Ainsi, supposer la pression uniforme dans un domaine fluide, revient à négliger la poussée sur un corps immergé dans ce domaine.

II. Hydrostatique (statique des fluides à masse volumique constante)

1.

Hypothèses de base de l’hydrostatique

Le champ des forces à distance se réduit au champ de pesanteur, supposé constant dans la masse fluide considérée.

La pression atmosphérique est la même en tout point du petit domaine que l’on considère, ce qui revient, comme on l’a vu, à négliger la poussée de l’air.

La masse volumique du fluide est incompressible).

indépendante de sa pression (fluide

2.

Théorèmes généraux de l’hydrostatique

•

Surface libre

Une masse de liquide a un volume constant. Donc, dans un vase, il existe une surface de séparation avec l’atmosphère, dite surface libre. •

Relation fondamentale de l’hydrostatique

La différence de pression entre deux points B et A est : •

Transmission de pression

Dans un liquide en équilibre, une variation de pression se transmet intégralement.

•

Liquides superposés

La surface de séparation de deux liquides non miscibles est plane et horizontale.

La stabilité de l’équilibre exige, en outre, que les couches de liquide se placent les unes au dessus des autres par ordre de densité décroissante.

7. Force de pression sur paroi

(Pierre Chouteau) a. Paroi plane, baignée sur une face par l’atmosphère : Les forces de pression exercées sur une paroi plane baignée, d’un côté par le liquide en équilibre et, de l’autre par l’atmosphère admettent une résultante F : normale à la paroi et dirigée du fluide vers l’extérieur dont le point d’application P est donné par la formule

z p

'  

S z

'²

dA z G

'

A

dont le module F est donné par la formule F = ρg.z

G ’A

Théorème : si les forces à distance se réduisent aux forces de pesanteur, les forces de pression exercées par le liquide sur les parois du vase admettent une résultante égale au poids total du fluide contenu dans le vase.

Corollaire: la projection Fx sur une direction horizontale Ox de la résultante des poussées élémentaires suivant Ox est égale à la poussée hydrostatique s’exerçant sur la projection Sx de la surface sur un plan perpendiculaire à la direction Ox.

III. Flotteurs

2. Théorème d’Euler : surface de flottaison

(Julien Agache)

Énoncé :

Le centre de flottaison correspondant à une position d ’é quilibre du flotteur est aussi le centre de flottaison pour une position isocar è ne infiniment voisine.

Autrement dit, au cours d ’ un d é placement isocar è ne infiniment petit de flotteur, le centre de flottaison reste fixe.

Corollaire :

Les flottaisons isocar è nes admettent une surface enveloppe qui est touch é e par chacune d ’ elles au centre de flottaison correspondant. Cette surface enveloppe est donc la surface de flottaison.

Généralisation :

Le théorème précèdent s’applique d’une manière plus générale, à des volumes égaux d’une masse constante que l’on limite en haut par une surface plane horizontale, par exemple, à une masse liquide invariable contenue dans un vase que l’on incline d’un petit angle, la surface intérieur du vase jouant alors le rôle des parois du flotteur.

3. Théorème de Dupin : surface de poussée

Énoncé :

Le plan tangent à la surface de pouss é e au centre de pouss é e P est parall è le à la flottaison correspondant au centre de pouss é e P

Corollaire I :

La pouss é e, qui passe par le centre de pouss é e P, est une force verticale, donc normale à la flottaison qui est horizontale et, par suite, normale aussi au plan tangent en P à la surface de pouss é e qui est parall è le à la flottaison.

Ainsi, la normale à la surface de pouss é e en chaque point P est le support de la pouss centre de pouss é e P.

é e correspondant à la car è ne de Cette proposition conduit à consid é rer l ’ ensemble des supports des pouss é es correspondant à des positions isocar è nes d ’ un flotteur comme une congruence de droites normales à une même surface qui est la surface de pouss é e.

Corollaire II

Quand le flotteur est en équilibre, le poids et la poussée ont même support vertical. Ce support commun passe par le centre d’inertie du flotteur et est normal à la surface de poussée. Nous trouverons donc les orientations d’équilibre du flotteur pour un arrimage déterminé, c'est-à-dire pour un centre d’inertie déterminé, en menant, du centre d’inertie, les normales à la surface de poussée. Il y a équilibre quand l’une de ces normales est verticale.

En désignant par V, le volume de la carène et par v le volume d’un onglet, on a la relation : PP 1  v V pp 1

4. Métacentres

On considère les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantanée d’inclinaison soit constamment horizontal et parallèle au plan longitudinal (mouvement de roulis). Au cours de ces mouvements, le centre de poussée reste sensiblement dans un plan vertical et perpendiculaire au plan longitudinal, dit plan transversal ; le lieu de ces centres est une courbe (C), que nous appellerons courbe de poussée de roulis.

On considère les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantané d’inclinaison soit constamment perpendiculaire au plan longitudinal, nous pouvons définir une courbe métacentrique de tangage, et un métacentre de tangage.

Positions des métacentres de roulis et de tangages: r  V I Avec I : le moment d’inertie de la flottaison par rapport à l’axe instantané d’inclinaison Toutefois le rayon métacentrique de tangage est plus grand que le rayon métacentrique de roulis. En effet, le moment d’inertie du tangage est supérieur à celui du roulis et le volume est le même.

5. Stabilités de l’équilibre

(Jean Molines) G est au dessus de M,  R – a < 0 < 0

=> équilibre instable

M est au dessus de G,  R – a > 0

=> équilibre stable

> 0

6. Notions sur le mouvement d’un flotteur

1. Équation de mouvement

• Équation du mouvement: J.d²  /dt² = - m.g.(R-a).

 • Mouvement périodique de période

T

 2 .

 .

mg J

(

r



a

)

2. Chavirement

• Si A2>A1, retour en position d’équilibre • Si A2

IV. Statique des fluides compressibles

3. Les gaz

(Emmanuel Girault)

Loi élémentaire de variation de pression atmosphérique

dp

   .

dz

   .

g

.

dz

- Loi de variation de pression dans une atmosphère isotherme

p z



p z

0 .

exp    273

T m

.



z



h

0

z

0    

p z

0 .

exp   

z



h Tm z

0   pz la pression à l’altitude z, Tm la température considéré constante à cette altitude, H 0 et p 0 l’altitude et la pression de référence.

Loi de variation de pression dans une atmosphère où la température varie linéairement

p z



z

0 ln  1 

B

(

z



z

0 ) 

K



p z

0

T z T z

0

Atmosphère-type

0 < z < 11 000 m ,

p z

 760 .( 1  22 , 6  10  6

z

) 5 , 255 mm de Hg 

z

 1 , 225 .( 1  22 , 6  10  6

z

) 4 , 255 kg/m 3 

z

1 , 225   

p z

760   0 .

81 tirée des deux équation précédentes Z > 11 000 m, 

p z z

 170 .

exp  0 , 36 .

exp 

z

 11000 

z

6330  11000 6330 mm de Hg kg/m 3 

z

0 , 36 

p z

170 ou 

z

1 , 225  1 , 31

p z

760

4. Les ballons

(Nicolas Moreau) •

Les ballons fermés :

• Ballons sondes – Rupture d’équilibre

F



V z

0 .

w

0 

P

avec

w

0 le poids volumique initial • Ballons flasques au sol à enveloppe extensible – C’est un ballon dont l’enveloppe se gonfle avec son élévation. Il possède une structure rigide pour maintenir l’enveloppe • Ballons toujours tenus à enveloppe inextensible – Ce ballon, de par son enveloppe ne peut éclater, il flotte à un altitude plus ou moins constante (variation avec le rayonnement solaire)

•

Les ballons ouverts

• Surpression dans un ballon – Lorsque l’on se positionne en deux points du ballon, on a : (

p iN



p eN

) 

p iM



p eM



h

(

w



w

' ) • Pouvoir ascensionnel – La force ascensionnelle provoquée par les surpressions, rapportée à l’unité de volume est verticale et dirigée vers le haut : –  

w

( 1   )  • Plafond – La hauteur maximale à laquelle pourra montée le ballon s’écrit :

z p



z

0  8000

T

273 2 , 3 log  

V wz

0 ( 1 

G

0  )   • Utilisation