02 - Matlab数值数组
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Transcript 02 - Matlab数值数组
Matlab数值数组
一、创建数值数组
二、数组操作函数
三、数组运算
四、矩阵运算
五、数组的访问和赋值
六、与数组相关的函数
七、一维数组在向量运算中的应用
八、一维数组在一元多项式运算中的应用
一、创建数值数组
数值数组(简称为数组)是Matlab中最重要的一种
内建数据类型。
二维数组（array）是由实数或复数排列成矩形而构成的
，从数据结构上看，二维数组和矩阵没有什么区别。当二维数
组带有线性变换含义时，该二维数组就是矩阵（matrix）。
一维数组是矩阵的特殊形式
• 行数组：n个元素排成一行
又称为行向量（row vector）
在Matlab中作为 1 X n 矩阵
• 列数组：m个元素排成一列
又称为列向量（column vector）
在Matlab中作为 n X1 矩阵
• 一个数：
又称为标量
在Matlab中作为 1 X1 矩阵
一般情况下，向量指列向量
Matlab中，标量和向量一般用小写字符字母表示
1、用方括号[ ]创建一维数组
• 整个数组放在方括号里
• 行数组元素用空格或逗号分隔
x = [2, pi/2, sqrt(3), 3+5i]
• 列数组元素用分号分隔
y = [2;pi;3/4;j]
• 标点符号一定要在英文状态下输入
• x = [] 生成空数组
2、用方括号[ ]创建二维数组
1 2 3
例：简单矩阵A 4 5 6 的输入步骤。
7 8 9
（1）在键盘上输入下列内容
A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
（2）按【Enter】键，指令被执行。
（3）在指令执行后，MATLAB指令窗中将显示以下结果：
A =
1
2
3 说明：直接输入矩阵时，每行元素用
空格或逗号分隔，矩阵行用分号分隔，
4
5
6
整个矩阵放在方括号里，标点符号一
7
8
9 定要在英文状态下输入。二维数组一
般用大写字母表示。
3、用方括号[ ]由一维数组创建二维数组
a = [1,3,5]
b = [2,4,6]
c = [3,5,7]
D = [a;b]
E = [b;c]
F = [D,E]
4、用冒号:创建一维数组
• x = a:b
默认 inc = 1
• x = a:inc:b
a，b必须为实数
x = [a,a+inc,a+2*inc,…]
a是数组x中的第一个元素，b不一定是数组x
的最后一个元素。
5、用linspace()函数创建一维数组
x = linspace(a,b)
x = linspace(a,b,n)
默认 n = 100
在[a,b]区间内生成 n 个数据，包括a和b在内
若a，b为实数，等效于：
x = linspace(0,pi,10)
x = linspace(1+i,100+100*i)
ba
x a:
:b
n 1
6、用logspace()函数创建一维数组
x = logspace(a,b)
默认n = 50
a
b
在 10 ,10 间生成50个数据
x = logspace(a,b,n)
a
b
在 10 ,10 间生成n个数据
x = logspace(a,pi)
a
在 10 , 间生成n个数据
7、创建特殊数组的函数
zeros(m,n)
生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)
ones(m,n)
生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵,
m=n 时可写为 ones(n)
eye(m,n)
生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵,
m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵
magic(n)
生成魔方数组，各行、列之和 = (1+2+……+n2 )/n
diag(v,k)
v是向量，diag(v,k) 产生以 v 为第k条对角线的矩阵，
k省略时，k = 0
rand(m,n)
产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n)
randn(m,n)
产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵
m=n 时简写为 randn(n)
diag(v,k)
练习：在matlab中生成二维数组
A=
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
B=
1
0
0
0
-4
0
0
0
0
2
0
0
0
-3
0
0
0
0
3
0
0
0
-2
0
0
0
0
4
0
0
0
-1
二、数组操作函数
cat(dim, A, B)
把“大小”相同的若干数组，沿“指定维”
方向，串接成高维数组 。行(dim=1), 列
(dim=2)
cat(1,A,B) 等效于[A; B]
cat(2,A,B)等效于[A, B]
diag(A,k)
A 是矩阵，则 diag(A,k) 返回A的第k条对角线
元素组成的列向量，k省略时，k = 0。
flipud(A)
以数组“水平中线”为对称轴，交换上下对
称位置上的数组元素
fliplr(A)
以数组“垂直中线”为对称轴，交换左右对
称位置上的数组元素
kron(A,B)
按Kronecker乘法规则（直积）产生“积”数
repmat(A,m,n)
按指定的“行数、列数”铺放模块数
组，以形成更大的数组
rot90(A,k)
逆时针旋转 k×90 度
在总元素数目不便的前提下，改变数
reshape(A,m,n)
组的“行数、列数”
tril(A)
保留一个矩阵的下三角部分的数据，
其余的数据用0替换
triu(A)
保留一个矩阵的上三角部分的数据，
其余的数据用0替换
练习：试写出下列matlab语句的输出结果，并在
matlab中进行验证。
a = 1:12
B = reshape(a,3,4)
C = rot90(B)
d = diag(C)
E = diag(d)
F = [tril(B);triu(B)]
G = cat(2,tril(C),triu(C))
H = repmat(a,4,1)
I = flipud(G)
J = kron(d,E)
三、数组运算
• 数组运算是Matlab软件定义的运算规则，
其目的是为了数据管理方便、操作简单、
指令形式自然和执行计算的有效。
• 无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函
数)，总认定那种运算对被运算数组中的每
个元素(Element)进行运算。
1、转置运算
A.’ 对A做转置（行→列，列→行）即AT
†
A’ 对A做共轭转置 即A
xT
若A的元素均为实数，则A.’与A’的结果相同
B = A.’
对数组A做转置运算，将运算结果赋值给变量
B，内存中数组A的内容并没有任何变化。
2、两个维数相同的数组之间的数组运算
•
•
•
•
•
•
A + B：加，对应位置的数组元素相加
A - B：减，对应位置的数组元素相减
A.*B：点乘，对应位置的数组元素相乘
A./B：右点除，对应位置的数组元素相除
A.\B：左点除
A.^B：点幂，对应位置的数组元素做幂运算
运算结果为与A、B同维的数组
3、数组的与标量 的运算
•
•
•
•
•
•
•
A + c ：A的每个元素加c
A - c： A的每个元素减c
A.*c 或 A*c：A的每个元素乘c，
A./c 或 A/c： A的每个元素除以c
A.\c 或 A\c：c除以A的每个元素
A.^c：点幂， A的每个元素做幂运算
c.^A：点幂，c做幂运算
运算结果为与A同维的数组
练习：试写出下列matlab语句的输出结果，并在
matlab中进行验证。
A = ones(3)
B = eye(3)
C = zeros(3)
D = (A+B).*(A-B)
E = (D + 1) + (D - 1)*i
F = E.’./E’ + E.’.\E’
G = B.^D + D.^B
4、函数作用在数组上的运算规则
Matlab中的很多函数都可以直接以数组作为输
入参数，函数输出也为数组。
x11
x
21
X
...
xm1
x12
x22
...
xm 2
... x1n
... x2 n
xij
... ...
... xmn
f X f xij
mn
mn
输入为行数组，则
输出也为行数组
输入为列数组，则
输出也为列数组
X x1 , x2 ,
, xn
f X f x1 , f x2 ,
y1
y
Y 2
yn
,
, f xn
f y1
f y2
f Y
f yn
输入为二维数组，则输出也为二维数组
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
f a11
a23 , f A f a21
f a
a33
31
f a12
f a22
f a32
f a13
f a23
f a33
例题：绘制 y = sin(x) 的图像
x = 0:0.1:2*pi
y = sin(x)
函数作用在一维数组上
plot(x,y)
练习：
1.、绘制 y x sin x 的图像，x 8 ,8 ;
sin x
2、绘制 y
的图像，x 8 ,8 ;
x
x sin 3t
3、绘制
的图像，t 0, 2 .
y sin 2t 4
四、矩阵运算
由m n个数aij 构成的m行n列数表
a11
a 21
A
a m 1
a12
a 22
am 2
a1n
a2n
a mn
称为维( 型)是m n的矩阵(matrix) , 简称为m n矩阵.
记为
A (a ij ) mn , Amn
或 A (a ij ),
其中 a ij 为矩阵的第i行第j列元素.
i称为行标i 1,2,, m，j称为列标j 1,2,, n.
1、方阵的行列式
n 阶行列式的定义：
D
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
(1)
( j1 j2
jn )
记
a1 j1 a2 j2
anjn Det (aij )
i a1 j a2 j anj 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；
ii 行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 j1 j2 jn
1
2
n
决定每一项的符号；
iii 表示对所有的j1 j2
jn构成的n !个排列求和
手工计算行列式是非常繁琐的，特别是高阶行列式。
Matlab中，行列式由函数 det( ) 实现。
练习：求下面的行列式
1 0
1 2
D1
2 1
1 3
2 5
1 3
0 1
4 2
1 2 2
2
2 2 2
D2 2 2 3
2
2
2 2 2
10
2、矩阵相等
定义
a11
a 21
A
a m 1
设有两个m×n矩阵
a12
a 22
am 2
a1n
a2n
a mn
b11
b21
B
bm 1
b12
b22
bm 2
b1n
b2 n
bmn
若 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等. 记作A=B
Matlab中，矩阵相等可用函数 isequal(A,B) 来判断。若两矩阵
相等，则isequal返回逻辑1（true），否则返回逻辑0(false)
3、矩阵转置、共轭转置运算
A’
A.’
矩阵共轭转置
矩阵转置
转置的运算级别比加、减、乘、除等运算高
对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵相等，
反对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵的和为零矩阵
A = [1,2;2,1]
A = [0,1;-1,0]
if ( isequal(A,A.’) == 1)
if ( isequal(A,-A.’) == 1)
disp(‘A是对称矩阵’)
else
disp(‘A不是对称矩阵’)
end
disp(‘A是反对称矩阵’)
else
disp(‘A不是反对称矩阵’)
end
4、矩阵加法
定义
设有两个m×n矩阵
a11
a 21
A
a m 1
a12
a 22
am 2
a11
a 21
矩阵 C
a m 1
b11
b21
bm 1
a1n
a2n
a mn
b11
b21
B
bm 1
a12 b12
a 22 b22
a m 2 bm 2
b12
b22
bm 2
a1n b1n
a 2 n b2 n
a mn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作 C A B aij bij
Matlab中，矩阵的加法就是 A + B
b1n
b2 n
bmn
mn
.
5、矩阵减法
设A aij
mn
, A aij
0 0
0 0
0 0
mn
a11
a
21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n
称为A的负矩阵
amn
0
0
O 0 mn
称为m n零矩阵, 矩阵的减法定义为:
0 mn
a1n a1n
a11 a11 a12 a12
a a
a
a
a
a
22
22
2n
2n
A A A ( A) 21 21
O.
a
a
a
a
a
a
m2
m2
mn
mn
m1 m1
a1n b1n
a11 b11 a12 b12
Matlab中，矩阵
a b
a22 b22
a2 n b2 n
21
21
A B A ( B )
减法就是 A - B
a
b
a
b
a
b
m
1
m
1
m
2
m
2
mn
mn
6、数与矩阵的乘法
定义 数k与矩阵A的乘积记作kA或 A k，规定为
kA kaij
m n
运算规律：
ka11
ka21
kam1
ka12
ka22
kam 2
ka1n
ka2 n
,
kamn
(i) k(A+B)=kA+kB
(ii) (k+h)A=kA+hA
(iii) k(h A)=(k h)A
(iv) 1A=A
其中A、B为m╳n 矩阵；k、h为数。
Matlab中，数与矩阵的乘法可写为：c*A 、A*c、
c.*A，A.*c，这里 * 和 .* 的结果是一样的。
7、矩阵的乘法
设矩阵
A a ij
,
B
b
ij
m s
.
s n
矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵 C c ij
mn
其中
s
,
c ij a i 1b1 j a i 2 b2 j a is bsj a ik bkj
i 1,2,, m; j 1,2,, n
k 1
记作C =AB
Matlab中，矩阵与矩阵的乘法就是 A*B
练习
4
1
1 0 3 1
求矩阵A
与B
2
2 1 0 2
1
1
1
0
3
0
3
的乘积AB。
1
4
1 1 1
1 2 1
设 A 1 1 1 , B 1 3 1 , 求 (A B)(A B)。
1 1 1
2 1 4
答案 ：
9 2 1
9 9 11
答案:
4
0
0
2 14 6
11 11 17
a1
a
2
列向量a
, 行向量b b1 , b2 ,
am m1
a与b的乘积是一个m n矩阵
a1b1
a
b
2
1
ab
amb1
a1b2
a2b2
amb2
a1bn
a2bn
ambn
, bn 1n
a1
a
2
列向量a
, 行向量b b1 , b2 ,
am m1
a与b的乘机是一个m n矩阵
a1b1
a
b
2
1
ab
am b1
a1b2
a2 b2
am b2
a1bn
a2 bn
am bn
, bn 1n .
练习：
1、在matlab中生成如下的二维数值数组
9 sin 0.0
sin 0.0 2 sin 0.0
sin 0.1 2 sin 0.1
9 sin 0.1
Y=
9 sin 6.3
sin 6.3 2 sin 6.3
2、执行绘图命令：plot( 0: 0. 1: 6. 3, Y)
3、查看绘图结果。
8、方阵的迹
由n2个数排成的n×n矩阵：
a11
a 21
a n1
a12
a 22
an2
a1n
a2n
a nn
称为n阶方阵。记作 A=(aij ), i，j=1，2，…，n 或 Ann
由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的
主对角线，主对角线元素的和称为方阵的迹，记作：
tr ( A) a11 a22
ann
Matlab中，方阵的迹用函数 trace(A) 实现，
或用sum(diag(A))来实现
9、方阵的幂
定义：设A是一个n阶方阵，k为正整数, Ak
AA
A
k个
称为A的k次幂.
A k 就是k个A连乘.显然只有方阵的幂才有意义。
规定：A0=E
(i) A k Al=A k+1
(ii) (A k)l=A k l
例如
A
2 3
其中k、l为正整数.
3
3
1
1 1
1 0 0 0 0
A
.
1 1 1 1 0 0 0 0
6
Matlab中，方阵的幂就是 A^k
练习
1 0
2
3
设A
, 求A , A
1 1
1 1 0
2
3
4
设B 0 1 1 , 求B , B , B
0 0 1
10、矩阵多项式
设：f ( x) am x am1 x
m
m 1
a1 x a0
为x的多项式，A为n阶矩阵，E为n阶单位阵，
称：f ( A) am A am1 A
m
m 1
a1 A a0 E
为关于A的矩阵多项式。
Matlab中，方阵的多项式用函数
polyvalm(p,A)实现。
例：
已知f ( x ) x 5 x 3,
2
2
A
0
1
, 求f ( A).
3
2 1 2 2 1 2 1 4 5
A
,A
0
3
0
3
0
3
0
9
4 5 2 1 1 0 3 0
f ( A) A 5 A 3 E
5
3
0 9 0 3 0 1 0 3
2
在matlab中，一个一元多项式用一个行向量
来表示的，向量元素为多项式系数的降幂排列，
其中最后一个元素代表多项式中的0幂项。
p x an x an 1 x
n
p an , an 1 ,
n 1
a2 x a1 x a0
2
, a2 , a1 , a0
2 1
p x x 5x 3，A
, 求f ( A)
0 3
2
p = [1,-5, 3]
A = [2,-1;0,3]
F = polyvalm(p,A)
11、方阵的逆
定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得
AB=BA=E，则方阵A称为可逆矩阵，简称A可逆。方阵B
称为A的逆矩阵。记为A-1.
注
(1) 这时矩阵B亦可逆,B的逆阵为A.即B-1=A.
(2)如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的.
(3)可逆矩阵也称为非退化阵,也常被称为非奇异阵;
不可逆矩阵称为退化阵,也常被称为奇异阵.
Matlab中，求方阵的逆用函数 inv(A)
实现，也可以用A-1实现，即：A^(-1)
答案
练习
1
1. A 0
0
0
2
2. A
7
1
1
,
求
A
.
4
2
0
0
0, 求A 1 .
3
1
1. A1 0
0
4
1
2. A
7
0 0
1
0
2
1
0
3
1
2
1 2 3
2
设A 2 2 1 , B
5
3 4 3
求矩阵 X 使满足 AXB = C
1
1
2
,
C
3
3
3
0,
1
若A-1，B-1存在，则由A-1左乘上式，B-1右乘上式，有：
A-1AXBB-1=A-1CB-1, （A-1A）X（BB-1 ） =A-1CB-1,
即 X = A-1CB-1.
1
3
1
A
2
1
2
3 1
5
1
3
, B
,
2
5 2
1 1
3
1
3
1
1
X A CB
2
1
2
1 3
1 1
2 1
3 1
3 1
5
.
3
2
0
0
2
10
4
5 2
5 2
2
3 1
0 2
10 4
1 1
3
练习
2 x1 x2 x3 4
1、用逆矩阵解方程组 3 x1 4 x2 2 x3 11
3x 2 x 4 x 11
2
3
1
1 4 2 0 3 1
2、解矩阵方程
X
1 2 1 1 0 1
答案
3
1. X 1
1
1 1
2. X 1
0
4
练习
五、数组的访问和赋值
1、引用一维数组中的单个元素
x = 1:5
k=2
a = x(k)
引用数组 x 中的第 k 个元素，将其赋值给变量 a
Matlab中数组元素的下标从 1 开始
b = x(end)
end是数组x的最后一个元素的下标
引用数组 x 中的最后一个元素，将其赋值给变量 b
c = x(8) 会出现什么结果？
2、一维数组中单个元素的赋值
x = 1:5
a = 1.5
k=3
x(k) = 0
将 0 赋值给数组 x 中的第 k 个元素
x(end) = a
将 a 赋值给数组 x 中的最后一个元素
x(8) = 6.5 会出现什么结果？
3、引用一维数组中的子数组
x = linspace(1,5)
a = x([2,5,9])
x = linspace(1,5)
s = [2,5,9]
a = x(s)
引用一维数组x中的第2、5、9个元素，
将其赋值给变量 a
b = x(end:-1:1)
c = x(1:2:end)
d = x(2:2:end)
b=? c=?d=?
4、给一维数组中的子数组赋值
x = linspace(1,5)
x([1,4]) = [2,7]
x = linspace(1,5)
s = [1,4]
a = [2,7]
x(s) = a
将2、7分别赋值给x的第1、4个元素
练习：
已知一维数组x和y：
x [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] [1, 0, 1, 2,3]，
y [ y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ] [3, 2,1, 1, 2]
在matlab生成下面的二维数组：
x1
x2
x3
x4
x
5
1 x12
2
2 x2
2
3 x3
2
4 x4
2
5 x5
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
y1 /1 x1 y5
y2 / 2 x2 y4
y3 / 3 x3 y3
y4 / 4 x4 y2
y5 / 5 x5 y1
5、二维数组单个元素的访问和赋值
（1） A(r,c)：“全下标”标识：
即指出是“第几行，第几列”的元素
（2）A(ind)：“单下标”标识： Linear Index
只用一个下标来指明元素在数组中的位置：
把二维数组的所有列，按先左后右的次序，首尾相接排
成“一维长列”，然后，自上往下对元素位置进行标号。
（3）“单下标”与“全下标”的转化：
全下标→单下标： ind = sub2ind(siz,r,c)
单下标→全下标： [r,c] = ind2sub(siz,ind)
A = magic(6)
a = A(2,3)
b = A(16)
A(5,3) = 0
A(14) = 8
ind = sub2ind(size(A),2,3)
[a, b] = ind2sub(size(A),19)
6、二维数组的子数组 的引用和赋值
（1）使用“双下标”方式
A(r,:)
由A的“r行”和“全部列”上的元素组
成
A(:,c)
由A的“全部行”和“c列”上的元素组
成
A(r,c)
由A的“r行”和“c列”上的元素组成
对子数组A(r,c)进行赋值：B的“行、列
A(r,c) = B
”必须与A(r,c)的“行、列”相同
（2）使用“单下标”方式
A(:)
A(s)
A(:) = D(:)
A(s) = B
由A的各列按自左到右的次序，首尾相接而生成
的“一维长列”数组
引用A中由一维数组s指定的元素。s若是行（或
列），则A(s)就是长度相同的行（或列）
全元素赋值方式。结果：保持A的“行宽、列长
”不变。条件：A、D两个数组的总元素相等，
但“行宽、列长”不一定相同
对A的部分元素重新赋值。结果：保持A的“行
宽、列长”不变。条件：s单下标数组的长度必
须与“一维数组”B的长度相等，但是s、B不一
定同是“行数组”或“列数组”
(3)子数组 引用和赋值的应用
A. 矩阵初等变换
①对调矩阵的两行(列), 记作ri rj (ci c j );
Matlab中：A([i,j],:) = A([j,i],:)
②以数k 0乘某一行(列)中的所有元素, 记作ri k (ci k );
Matlab中：A(i,:) = k*A(i,:)
③把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应
的元素上去, 记作 ri krj (ci kc j ).
Matlab中：A(i,:) =A(i,:) + k*A(j,:)
练习：用matlab实现下面的矩阵初等变换
r2r3
r32r1
r43r1
~
r3r4
r42r3
~
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 02 6
0
行阶梯形矩阵
r1r2 1 1 2 1 4
r32 2 1 1 1 2
~
r22
r35r2
r43r2
~
r1r2
r2r3
~
2 3
3 6
1 1
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1 1 2
9 7 9
2 1 4
1 1 0
0 2 6
0 1 3
1 0 4
1 0 3
0 1 3
0 0 0
行最简形矩阵
B. 用克莱姆法则解线性方程组
如果 n 元线性方程组:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1 22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
的系数行列式:
D
a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann
Dn
, xn
D
, n 是把系数
行列式 D 中第 j 列的元素换成
方程组的常数项 b1 , b2 ,
, bn 所
构成的 n 阶行列式，即：
0
则方程组有唯一解：
D1
D2
x1 , x2
,
D
D
其中D j j 1, 2,
Dj
a11
a1, j 1
b1
a1, j 1
a1n
a21
a2, j 1 b2
a2, j 1
a2 n
an1
an , j 1 bn
an , j 1
ann
练习：用克莱姆法则解方程组
2 x1
2 x
1
3
x
1
x1
2 x2
6 x 4 2
x 2 2 x3 4 x 4 2
x 2 4 x3 4 x 4 3
x 2 x3 8 x 4 2
六、与数组相关的函数
1、函数的输入参数为一维数组x（x为行或列）
max(x)
返回x中的最大值
[a,b] = max(x) 返回x的最大值(a)及最大值在x中的位置(b)
返回一向量，元素为x,y相同位置上的较大值
max(x,y)
min(x)
[c,d]= min(x)
min(x,y)
返回x中的最小值
返回x的最小值(c)及最小值在x中的位置
返回一向量，元素为x,y相同位置上的较小值
mean(x)
返回x的平均值
median(x)
返回x中元素的中值
std(x)
计算x中的数值的标准差
sum(x)
计算x的所有元素的和
cumsum(x)
返回一个包含x的元素的累加和的向量，
其大小与x相同
prod(x)
计算x的元素的积
cumprod(x)
返回一个包含x的元素的累乘积的向量，
其大小与x相同
sort(x)
返回x中的元素按升序排序的向量
length(x)
返回数组的长度(行数或列数的较大值)
numel(x)
返回数组元素的个数
2、函数的输入参数为二维数组
cmax = max(A)
返回cmax为一个行数组，元素为A中每个列的最大值
rmax = max(A,[],2)
返回rmax为一个列数组，元素为A中每个行的最大值
[cmax,index] = max(A)
返回A中每个列的最大值及其位置,cmax,index为行数组
[rmax,index] = max(A,[],2)
返回A中每个行的最大值及其位置，rmax,index为列数组
max(A,B)
返回一个二维数组，元素为A,B相同位置上的较大值
min(A)，min(A,[],2)
[c,d]= min(A)，[c,d]= min(A,[],2)，min(A,B)
mean(A)
mean(A,2)
返回A中每个列向量的平均值
返回A中每个行向量的平均值
median(A)
median(A,2)
std(A)
std(A,flag)
std(A,flag,dim)
std(A,0,2)
返回A中每个列向量的中值
返回A中每个行向量的中值
返回A中每个列向量的标准差
返回A中每个行向量的标准差
n
1 s
dim=1，列
dim=2，行
x x
i 1
i
flag 0
n 1
n
2 s
2
xi x
i 1
n
2
flag 1
sum(A)
sum(A,2)
计算A中每个列向量的元素的和
计算A中每个行向量的元素的和
cumsum(A)
cumsum(A,2)
A中每个列向量的累加和，维数与A相同
A中每个行向量的累加和，维数与A相同
prod(A)
prod(A,2)
计算A中每个列向量的元素的积
计算A中每个行向量的元素的积
cumprod(A)
cumprod(A,2)
A中每个列向量的累乘积，维数与A相同
A中每个行向量的累乘积，维数与A相同
sort(A)
sort(A,dim)
sort(…,mode)
dim： 1 列 , 2 行
mode： ‘ascend’ 升序(default)
‘descend‘ 降序
sort(A)
对A中列向量进行升序排序
sort(A,’descend’)
对A中列向量进行降序排序
sort(A,2)
对A中行向量进行升序排序
sort(A,2,’descend’) 对A中行向量进行降序排序
当只有一个输出参数时，size函数返
回的是一个行向量，该行向量的第一
sz=size(A)
个元素是数组的行数，第二个元素是
数组的列数。
当有两输出参数时，size函数将数组
[r,c]=size(A) 的行数返回到第一个输出变量，将数
组的列数返回到第二个输出变量。
r=size(A,1)
返回数组 A 的行数
c=size(A,2)
返回数组 A 的列数
length(A)
返回数组的长度(行数或列数的较大值)
numel(A)
返回数组元素的个数
例题：数组相关函数的应用
以线性拟合为例
测得铜导线在温度Ti下的电阻为Ri，编写一个M脚本文
件，用matlab提供的数组函数对数据进行线性拟合，求出斜率
、截距和相关系数。
n
1
2
3
T(℃)
19.1
25.0
30.1
R(Ω)
76.30
77.80
79.25
Yˆ b0 b1 X
4
5
6
36.0
40.0
45.1
80.80
82.35
83.90
b0 Y b1 X
7
50.0
85.10
n
b1
X
i 1
i
X Yi Y
n
Xi X
n
X
2
i 1
n
r
(X
i 1
n
(X
i 1
i
i
i 1
n
X)
i 1
n
(Y Y )
i 1
i
X Yi
Xi X
X )(Yi Y )
2
i
2
2
附：直线拟合（直线回归）模型的数学知识
Y与X具有统计
关系而且是线性
其中，(X
建立
回归模型
Yi=β0+β1Xi+εi
(i=1,2,···,n)
i,Yj)表示(X,Y)的第i个观测值，
β0 ,β1为参数，β0+β1Xi为反映统计关系直线的分量，
εi为反映在统计关系直线周围散布的随机分量，
εi～N (0,σ2)， εi 服从正态分布
Yi=β0+β1Xi+εi
β0和β1均未知
根据样本数据
对 β 0和 β 1
进行估计
β0和β1的估计
值为b0和b1
建立一元线性回归方程
Yˆ b0 b1 X
一般而言，所求的b0和b1应能使每个样本观测点
(Xi,Yi)与回归直线之间的偏差尽可能小。
越小越好
一元线性回归方程
Y与X之间
为线性关系
最小
二乘法
least square method
选出一条最能反
映Y与X之间关系
规律的直线
n
令
Q Yi b0 b1 X i
2
i 1
Q达到最小值
b0和b1称为最小二乘估计量
微积分中
极值的必要条件
n
Q
2 Yi b0 b1 X i 0
b0
i 1
n
Q
2 Yi b0 b1 X i X i 0
b1
i 1
n
b1
X
i 1
i
X Yi Y
n
X
i 1
i
X
2
n
X
i 1
n
X
i 1
X Yi
i
i
X
2
b0 Y b1 X
残差
residuals
ei Yi Yˆi Yi b0 b1 X i
代表观测点对于回归线的误差
确定系数
coefficient of determination
残差越小，各观测值聚集在回归
直线周围的紧密程度就越大，说
明直线与观测值的拟合越好，定
义确定系数(COD)为：
n
n
可以证明： Yi Y Yi Yˆi
2
i 1
i 1
n
所以：R 2 1
i 1
n
Y Y
i 1
0 R2 1
Yi Yˆi
i
R2
i 1
n
i 1
n
2
i 1
i
2
i
n
1
2
e
i
i 1
n
Y Y
i 1
2
i
Y Y
Yˆ Y
2
2
Yˆ Y
n
2
i
一般情况下，R 2的值越大，拟合的越好
2
直线拟合的相关系数
Correlation coefficient
ˆ
Y
Y
n
r R2 1
i 1
n
i
i
Y Y
i 1
r与斜率取相同的符号
1 r 1
r 1: 完全正相关
r 1: 完全负相关
r 0 : 无线性关系
i
2
2
七、一维数组在向量运算中的应用
在Matlab中，三维空间里的
三维向量（或点）:
a ax i a y j az k
b bxi by j bz k
c cx i c y j cz k
可表示为行向量
（或列向量）：
a ax , a y , az
b bx , by , bz
c cx , c y , cz
1、向量的模（长度）
a ax i a y j az k
a a a a
2
x
2
y
2
z
a = [4,3,1]
d = sqrt(sum(a.*a))
或：
d = sqrt(sum(a.^2))
2、两点之间的距离
两点：A ax , a y , az ，B bx , by , bz
AB a - b
ax bx ay by az bz
2
a = [4,3,1]
b = [5,2,3]
AB = sqrt(sum((a - b).^2))
2
2
3、向量的方向角与方向余弦，单位向量
a ax i a y j az k
ax a y az
cos ，cos , cos , ,
a a a
ay
az
a ax
e0 i
j k cos ，
cos , cos
a
a
a
a
a = [4,3,1]
d = sqrt(sum(a.^2))
e0 = a./d
4、向量的线性运算
a + b ax bx i a y by j az bz k
a - b ax bx i a y by j az bz k
a ax i a y j az k
直接利用matlab的数组运算规则即可进行运算
a = [4,3,1]
b = [5,2,3]
c = 1.6
p=a+b
s=a–b
d = c*a
5、两向量的数量积（内积/点积/点乘）
Matlab中提供了 dot() 函数实现两向量的数量积
a ax i a y j az k
b bxi by j bz k
a • b a b cos axbx a y by az bz
a a a a
2
x
2
y
2
z
= sqrt(dot(a,a))
= dot(a,b)
6、两个向量之间的夹角
axbx a y by az bz
a •b
cos
a b
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
tmp = dot(a,b)/sqrt(dot(a,a))/sqrt(dot(b,b))
theta = acos(tmp)
7、两向量的向量积（叉乘）
Matlab中提供了 cross() 函数实现两向量的向量积
a axi a y j az k
b bx i by j bz k
i
a b ax
bx
j
ay
bx
k
az = cross(a,b)
bz
8、向量的混合积：
a ax i a y j az k
b bx i by j bz k
c cx i c y j cz k
ax
abc a b c bx
ay
by
az
bz
cx
cy
cz
= dot(cross(a,b),c)
上机练习：
1. 设a 3i j 2k , b i 2 j k , 求
1 a b及a b
2 2a 3b及a 2b
3 a、b的夹角的余弦
2. 已知三点M 1,1,1 、A 2, 2,1 和B 2,1, 2 , 求AMB
/ 3
3.以A(1,2,3)，B(2,0,5)，C(4,2,-1)为顶点的三角形
的面积。
1
S AB AC 7.0711
2
4.求以A(0,0,2)，B(3,0,5)，C(1,1,0)，D(4,1,2)为
顶点的四面体的体积。
1
V AB AC AD 0.500
6
八、一维数组在一元多项式运算中的应用
p x an x an1x
n
n1
a2 x a1x a0
2
借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事
情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。
一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用
中如对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多
项式；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。多项式函
数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数，从理论上讲
，它可以表示绝大多数复杂函数。在许多计算机的计算和编程
中，很多函数值如sin(x),cos(x)等的计算都是先将函数进行Tailor
展开为多项式进行逼近计算的，并且都能达到很高的精度。
1、多项式的表示和创建
在matlab中，一个一元多项式用一个行向量
来表示的，向量元素为多项式系数的降幂排列，
其中最后一个元素代表多项式中的0幂项。
p x an x an 1 x
n
p an , an 1 ,
n 1
a2 x a1 x a0
2
, a2 , a1 , a0
p x x 12x 25x 116
4
3
p = [1,-12,0,25,116]
2、多项式的符号表示
poly2sym() 把系数向量表示的多项式转为符号表示
poly2sym(p)
poly2sym(p,’v’)
用默认字符’x’来表示多项式的变量
用字符‘v’来表示多项式的便量
p = [1,-12,0,25,116]
px = poly2sym(p)
pt = poly2sym(p,’t’)
3、计算多项式的值
y = polyval(p,x)
计算多项式p在x处的值，x
可以是标量，或数值数组
p x 12 x 25 x 116
4
3
1 求x 2.3时，p的值；
3，
7时，p的值。
2 求x分别为 1，
p = [1,-12,0,25,116];
x1 = 2.3;
x2 = [-1,3,7];
p1 = polyval(p,x1);
p2 = polyval(p,x2);
4、求多项式的根
r = roots(p)
此函数返回多项式p的根组成的向量
p = [1,-12,0,25,116]
r = roots(p)
多项式和多项式的根都是用向量表示的，
为加以区别，多项式的根表示成列向量。
对于系数为实数的多项式，如果其根出现
复数，则复数必是成对出现的。
5、由根创建相应的多项式
p = poly(r)
r = [1;2;-1;3;7]
p = poly(r)
r是一个向量，构造一个多项式，其根为r
由根构造多项式时，所得到
的多项式的第一项为1
由于matlab在进行数据处理时存在截断误差，因此，poly函数的返回
值有可能在该出现0的位置出现了一个非常接近0的数，有时还会使某些系数
带有一个很小的虚部。因此建议对poly函数的输出结果再进行一次处理，从而
消除有可能出现的数据错误。例如，可以通过比较将绝对值极小的数强制置0，
或利用real函数将实部从结果中提取出来，取消错误虚部的影响。
练习
求下列多项式的根及 x 0,
时多项式的值
3
5
7
x
x
x
1 x
3! 5! 7!
x2 x4 x6
2 1
2! 4! 6!
,
,
,
6 4 3 2
,
6、多项式的加法和减法
Matlab没有专门的函数执行多项式加法（减法）
如果两个多项式的阶次相同，其系数向量的长度相等，
多项式的加法就是将两个多项式向量直接相加（相减）。
当两个多项式的阶次不同时，其系数向量的长度也不同，
这时需要先将低阶多项式的系数向量前边补上足够的0，
以便使它和高阶多项式具有相同的长度，然后再执行加
法（减法）运算。
练习：
已知：f x 1.35 0.668 x 0.436 x 2 0.69552 x3
g x 2.3 0.453x 2.342 x3
求：f x g x , f x g x
7、多项式的乘法
w = conv(u,v) 此函数返回多项式u和v的乘积
多项式的乘法就是多项式系数向量之间的卷积（convolution）
y1 x 2 x 3x 4 , y2 x 4 x 9 x 16
3
2
3
2
y y1 y2 ?
y1 = [1,2,3,4]
y2 = [1,4,9,16]
y = conv(y1,y2)
y = poly2sym(y)
如果要执行多个多项式之间的乘法运算，需要重复使用conv()函数
b1
b2
b3
a1 a1b1
a1b2
a1b3
a2 a2 b1
a2 b2
a2 b3
a3 a3b1
a3b2
a3b3
长度为m的向量a和长度为n的向量b的卷积定义为：
k
w ( k ) a ( j ) b( k 1 j )
j 1
式中向量w的长度为k m n 1
w 1 a1b1 , w 2 a1b2 a2 b1 ,
练习：利用多项式乘法完成下面的计算
数学物理方法（陆全康 赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P87
8、多项式的除法
[q,r] = deconv(b,a )
q：用来存储b/a的商多项式，
r：用来存储b/a的余数多项式
此函数表示多项式b除以多项式a得到商多项式q和
余数多项式r，如果r的元素全部为0，则表示多项式b可
以整除多项式a。
多项式的除法就是多项式系数向量之间进行解卷积运算
余数通常都与除数和被除数中较长的那个向量等
长，因此r的前面一般有若干个0
练习
求有理分式R
3x
3
x x 5
3
2
3
2
x
2
x
2
5
x
2
x
1
的商多项式和余多项式
9、多项式的微分（求导）
polyder( )
多项式微分
k = polyder(p)
求多项式p的微分多项式
k = polyder(a,b)
求a x b的微分
[q,d] = polyder(b,a)：求有理分式b/a的微分
q：分子多项式
d：分母多项式
10、多项式的积分
q = polyint(p,k)
q = polyint(p)
对多项式p积分，k为积分常数
对多项式p积分，积分常数为0
p = [1,6,20,48,69,72,44]
h = polyder(p)
q = polyint(h,44)
11、部分分式展开（留数计算）
b x bs x s
如果多项式a x 不含重根，则
= t
a x at x
b x
r
r
1 2
a x x p1 x p2
p1 , p2 ,
r1 , r2 ,
b1 x b0
可以写成：
a1 x a0
rn
k x ，其中：
x pn
, pn 称为极点,
, rn 称为留数,
[r,p,k] = residue(b,a)
k x 称为直项，
留数和极点的个数n满足：
n length a 1 length r length p
如果b x 的次数小于a x 的次数，则直项的系数向量的系数为空，
否则，它们之间满足：
length k length b length a 1
如果a x 含有m重根p j
rj
x pj
rj 1
x p
j
2
p j m 1 , 则展开的这m项应该写成：
rj m 1
x p
m
j
p j为极点，
rj为极点p j 对应的留数。
若已知r,p,k的值， residue()函数还可以求出分
子多项式b(x)和分母多项式a(x)，调用格式为：
[b,a] = residue(r,p,k)
2x 1
分解为部分分式
2
x 5x 6
2x 1
2x 1
A
B
解：设 2
x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
2x 1
怎么求 2
dx
x 5x 6
例：将
方法1：上式两端去分母后，得：
2 x 1 A( x 3) B( x 2) １
或： 2 x 1 ( A B) x (3 A 2 B)
比较上式两端同次幂的系数，得：
A B 2
，从而解得：A 3 , B 5
(3 A 2 B) 1
方法2：在恒等式 1中，依次代入某些特殊值，从而求出待定常数，
例如，在恒等式 1中：
令x 2，得A 3 令x 3，得B 5
2x 1
3
5
2
x 5x 6 x 2 x 3
b=[2,-1]
a=[1,-5,6]
[r,p,k]=residue(b,a)
1
例题：将
分解为部分分式
2
x( x 1)
1
A
B
C
解：设
2
x x 1 ( x 1) 2
x( x 1)
有重根的例子
上式两端去分母，得：
1 A( x 1) 2 Bx(1 x) Cx
令x 0，得A 1，令x 1，得B 1
再令x 1，得C 1，因此，得
1
1
1
1
2
x x 1 ( x 1) 2
x( x 1)
练习：用residue函数确定A、B、C的值。
练习：用residue函
数求解本题。
12、多项式拟合
p = polyfit(x,y,n)
多项式曲线拟合（最小二乘法）
n=1就是进行线性拟合
p p1 , p2 ,
, pn , pn 1
p x p1 x p2 x
n
n 1
pn x pn 1
x
0
0.2
0.6
1
1.3
1.6
1.7
1.8
1.9
2.2
2.3
2.5
2.6
2.9
y
0
-2.5
-4
-5.7
-3.5
-2
-1
2
3.5
4
7
7.5
9.9
10.9
x
y
3.1
3.4
3.8
4.1
4.4
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.3
11.9
13.5
13
11.9
9
6.5
4
1.5
0
-2.5
-5
某同学实验测得数据如表所示，
设y和x之间满足：
y b0 b1 x b2 x 2
bk x k。
分别就k 3和k 4两种情况，
1. 用polyfit函数对表中的数据进行
多项式拟合，求出b0 , b1 , b2 ,
, bk；
n
2. 计算R 2 1
2
ˆ
(
y
y
)
i i
i 1
n
2
(
y
y
)
i
；
i 1
3. 绘制数据的散点图和拟合曲线。
多项式拟合时的注意事项
从数学原理上，n+1个数据点可以惟一定义一个n次曲线（或n
阶多项式）。
在进行曲线拟合时对多项式阶次的选择是任意的。
虽然高阶的多项式可以更准确地拟合数据（仅指该曲线与给定
的数据之间的均方误差最小），但在进行曲线拟合时，并不需
要采用太高阶的多项式，这主要基于以下原因：
1、越是高阶的多项式其数值特性越差，计算起来也越耗时；
2、随着多项式阶次的升高，拟合的曲线变的越来越不平滑，通常会出现用
户不愿意看到的局部波形；
3、由于数据本身的近似性，因此在进行数据拟合时没有必要仅仅考虑使拟
合的曲线无限接近数据点，而要在曲线的阶次合均方误差之间综合考虑，
因为越是高阶的多项式在物理实现时越困难。
多项式拟合的数学知识
给定数据点： xi , yi
i 1, 2, ，m,
求一多项式函数pn x a0 a1 x a2 x 2
n
an x n ak x k , n m 1
k 0
2
n
k
使得: I pn xi yi ak xi yi min
i 1
i 1 k 0
满足 1 式的pn x 称为最小二乘拟合多项式。
m
2
m
1
特别地，当n 1时，称为线性拟合或直线拟合。
2
n
k
显然I ak xi yi 为a0 , a1 , , an的多元函数.
i 1 k 0
因此上述问题即为求I I a0 , a1 , , an 的极值问题。
m
由多元函数求极值的必要条件，得：
m
I
n
j
k
2 ak xi yi xi 0,
a j
i 1 k 0
j 0,1,
,n
2
整理 2 式可得：
m
m jk
j
x
a
=
x
yi ,
j 0,1, , n
i
k
i
k 0 i 1
i 1
3 是关于a0 , a1 , , an的线性方程组，用矩阵表示为：
n
m
m
m 0 0 m 01
0 n
0
x
x
x
x
y
i
i
i
i i
i 1
i 1
i 1
a0 i 1
m
m
m
m
1 0
11
1 n
1
xi
xi a1 xi yi
xi
i 1
i 1
i 1
i 1
m
an m
m
m
nn
x n 0 x n 1
x n y
x
i
i
i 1 i
i 1 i i
i 1
i 1
式 3 或式 4 称为正规方程组或法方程组。
3
4
可以证明，方程组 4 的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
练习：根据(4)式，编写matlab程序，实现前面的多项式拟合