Modelos Nucleares (II) - Departamento de Física

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El modelo de la gota líquida

1.

Una detallada teoría de la ligadura nuclear, basada en técnicas matemáticas y conceptos físicos altamente sofisticadas, ha sido desarrollada por Brueckner y colaboradores (1954-1961).

2.

Existe un modelo más crudo en el cual se ignoran los aspectos más finos de las fuerzas nucleares y se enfatiza la fuerte atracción internuclear. Fue propuesto por Weizsäcker (1935) sobre la base de una analogía, sugerida por Bohr, de la materia nuclear con una

gota de líquido

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 1

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El modelo de la gota líquida

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 2

B ave

= B/A En una gran parte de la Tabla Periódica, la energía de ligadura por nucleón es aproximadamente constante.

La densidad de masa de la materia nuclear es aproximadamente constante en la mayoría de la tabla periódica. Estas dos propiedades de la materia nuclear son muy similares a las propiedades incomprensibles.

de una gota de líquido , especificamente la constante energía de ligadura por molécula, aparte del efecto de tensión superficial, y la densidad constante de los líquidos

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Las suposiciones esenciales del modelo de gota de líquido: 1.

Un núcleo esférico consistente de materia incomprensible, tal que R ~ A 1/3 .

2.

V

pn La fuerza nuclear es idéntica para cada nucleón y en particular, no depende de si éste es un protón o un neutrón. = V pp = V nn (

V

denota el potencial nuclear)

3.

La fuerza nuclear satura.

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El modelo de la gota líquida

La energía de ligadura del núcleo.

Definición:

B

(

A

,

Z

)  [

ZM p

NM n

M

(

A

,

Z

)] c 2 (9) El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 4

El modelo de gota de líquido ̶

Fórmula de Weizsäcker

B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10) Carl Friedrich von Weizsäcker, 1993 Un físico alemán (1912-2007).

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10)

a V A

Es el “

término de volumen

” que da cuenta de la energía de ligadura de todos los nucleones como si cada uno de ellos estuviera enteramente rodeado por otros nucleones. 

a S A

2 / 3 Es el “

término de superficie

volumen de energía por el hecho de que no todos los nucleones están rodeados por otros nucleones sino que se encuentran en la superficie o cerca de ella. ” el cual corrige el término de Los nucleones en la región de la superficie no son atraídos tanto como lo son los que se encuentran en el interior del un núcleo. Un término proporcional al número de nucleones en la región de la superficie debe ser restado al término de volumen.

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10) 

a C Z

2

A

1 / 3 Es el “

término de Coulomb

nuclear. ” el cual da la contribución a la energía del núcleo debido a la energía potencial de la carga Suponiendo una esfera cargada de radio r, como se muestra en la trabajo adicional requerido para adicionar una capa de grosor dr a la esfera, puede ser calculado asumiendo la carga (4/3)πr 3 ρ figura (a).

El de la esfera original esta concentrado en el centro del caparazón [ver por lo tanto figura (b) ].

La energía potencial eléctrica del núcleo es

V Coulomb

   0 16 15

R

 2 4 3   2

r

3

R

 5      ( 3 5 4 

Z r

2

R

2

e dr

2  )  1

r

 donde  4 3

Ze

R

3 y

R

~

A

1 / 3

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10) Los tres términos que fueron discutidos previamente tienen un sentido

clásico

. Los siguientes términos, que van a ser discutidos, son

mecano cuánticos.

Estos incluyen (1) El término de asimetría.

(2) El término de paring .

(3) El término de corrección de efecto de capa.

a A

(

N

Z

) 2

A

Es el “

término de asimetría

” el cual da cuenta del hecho de que si todos los otros factores fueran iguales, los núcleos más fuertemente ligados, con un dado A, es el más cercano a tener Z = N .

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10) El

principio de exclusión de Pauli

establece que dos fermiones no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico.

Diferentes sistemas de energía debido a configuraciones asimétricas.

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1.

2.

Si Z = N , entonces ambos pozos están llenos al mismo nivel (el

nivel de Fermi

).

Si nos movemos un paso hacia arriba afuera de la situación, es decir, en la dirección de N > Z (o

Z

3.

> N ΔE ), entonces un protón debe ser cambiado a un neutrón. Todas las otras cosas estando iguales (incluyendo igual masa de protón y neutrón, este estado tiene energía mayor que el estado inicial, donde ΔE es el nivel de espaciado al nivel Fermi.

Un segundo paso en la misma dirección causa que el exceso sea 2ΔE .

4.

Un siguiente paso significa mover un protón, hacia arriba, tres rangos mientras cambia de protón a neutrón y el exceso se hace 5ΔE .

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El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 10 Efecto acumulativo

N

Z

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...

1, 2 , 5, 8, 13, 18, 25, 32,....

unidad de

E

4.

5.

6.

Por lo tanto, para cambiar de N Z = 0 a N > Z , con A = N + Z permaneciendo constante,requiere una energía de ~ (N Z) 2 ΔE/8 . Esto es independiente si es tanto núcleos con Z N .

N

o

Z

el cual se vuelve más largo y significa que, si todas las otras cosas son iguales, nucleidos con Z = N tienen menos energía y están, por lo tanto, más fuertemente ligados que Los niveles de energía de una partícula en un pozo de potencial tienen un espaciado inversamente proporcional al volumen del pozo , así ΔE ~ A -1 .

Este es el término de asimetría.

a A

(

N

Z

) 2

A

(11)

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10)   Es el “

término de pairing

” el cual da cuenta del hecho de que un par de nucleones iguales esta más fuertemente ligado que un par de nucleones distintos .

1.

Para un nucleído impar

A

(

Z

par,

N

impar o

Z

impar,

N

par)

→ δ = 0

.

2.

Para un A par hay dos clases;

(a).

Z

impar,

N

impar (ii)

→ – δ (b).

Z

par,

N

par (pp)

→ + δ

 (

Z

,

A

) 

a P A

1 / 2 ,

a P

 12 MeV (12)

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10)  Es el término que da cuenta del efecto de capa nuclear cuando

Z

o

N

es algún número mágico. Este término es mucho menos importante que otros. Por lo tanto, no esta incluido en la mayoría de las aplicaciones.

Una serie favorable de valores para los coeficientes:

a V

= 15.560 MeV a

S

= 17.230MeV

a C

= 0.6970 MeV a

A

= 23.385 MeV

a P

= 12.000 MeV

(13)

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B

(

A

,

Z

) 

a V A

a S A

2 / 3 

a C Z

2

A

1 / 3 

a A

(

N

Z

) 2

A

    (10)

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4 4 Parábolas de masa y línea de estabilidad

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 15 Si hacemos una reorganización de la fórmula de Weizsäcker, se puede escribir así:  

M n

c 2 

a V

a A

a S A

1 / 3

M

(

A

,

Z

) c

2  

A

 

Z

 

Z

2        4

a A

 (

M n

M p

) c 2 ≈  4

a A

(14)

γ

= 4

a A A

+

a C A

1 / 3 Para un número A de masa fijo, esta es la ecuación de parábola con respecto a la variable Z. Debemos diferenciar la ecuación (14) y encontrar la raiz (Z 0 , usualmente no es un número entero) de la siguente ecuación (15).

Z

0 es el número nuclear óptimo de protones para un número A de masa fijo. El sistema nuclear con un número de masa A especificado, es el más estable con número de protón

Z

0 .

(15)  

Z

(

M

c 2 )  0

β

+ 2

γ Z

0 = 0

Z

0    2   1  (16) 1 4 (

A a C

/ / 2

a A

)

A

2 / 3

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Z

0    2   1 

A

1 4 (

a C

/ / 2

a A

)

A

2 / 3 (16) De la ecuación (15) los sistemas nucleares más estables con varios números de masa A están determinados por el valor de

Z

0 . Usando la relación de trazar líneas de estabilidad en el

plot

. Esto sigue exactamente la forma empírica de la

línea de estabilidad

en la figura. A = Z 0 + N somos capaces

N-Z

De la expresión (16), podemos reconocer que la desviación de la línea de estabilidad desde N = Z o Z = A/2 es causada por la competición entre

la energía de Coulomb

, que favorece

Z

0

asimetría

< A/2 , y que favorece

Z

0

la energía de

= A/2 .

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M

(

A

,

Z

) c 2  

A

 

Z

 

Z

2     (14) El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 17 Para isobaras

A-

ecuación (14) da impar , δ = 0, y la tarde que

una sola parábola

para un caso típico. Veremos más , la cual es mostrada en la figura (a) M(A,Z) > M(A, Z+1) la desintegración beta (15) (electrón) tiene lugar desde Z a Z+1 M(A,Z) > M(A, Z-1 ) La captura electrónica y tal vez la desintegración positrónica tiene lugar desde Z a Z - 1 Es claro, de la figura (a) que para nucleídos A-impar puede haber solo un isóbaro estable.

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M

(

A

,

Z

) c 2  

A

 

Z

 

Z

2     (14) El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 18 Para isobaras A-par , dos parábolas son generadas por la ecuación (14), difiriendo en masa por Un caso típico esta dado en la figura (b).

Dependiendo de la curvatura de las parábolas y de la 2δ . separación 2δ , pueden haber varios isóbaros estables par-par. unen por lo que

y positrónica la

Figura (b) muestra que para ciertos nucleidos impar-impar ambas condiciones (15) se

desintegración electrónica

para los nucleídos idénticos es posible y de hecho ocurren.

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  

decay (

Z

,

A

)

(

Z

1 ,

A

)

e

  

e

  

decay (

Z

,

A

)

(

Z

1 ,

A

)

e

  

e

EC ( electron capture)

e

 

(

Z

,

A

)

(

Z

1 ,

A

)

 

e

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 19 Tres tipos de desintegración β-.

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4 5 Las implicaciones de la fórmula semi empírica de masa.

1.

El término de volumen de binding

a V A

en la fórmula de masa significa que cada nucleón interactúa solo con sus vecinos más cercanos y que la densidad constante es equivalente a que la separación entre los vecinos más cercanos no cambia con A. Todo esto significa

saturación de la fuerza nuclear y que ésta es de corto rango.

2.

La densidad nuclear de nucleones es aproximadamente 1 cada 7 fermis cúbicos, tal que la separación promedio es de 1.9 fm . Por lo tanto, el rango debe ser 1-2 fm .

R

R

0

A

1 3

R

0  1 .

2

fm

1 fermi = 10 -15 m

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El modelo de la gota líquida

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El modelo de gas de Fermi es una aplicación mecano cuántica, cuantitativa, del modelo de potencial medio discutido previamente. Le permite a uno dar cuenta semi-cuantitativamente de varios términos en la fórmula de Bethe-Weizsäker. En este modelo, los nucleídos están considerados como si estuvieran compuestos por dos gases de fermiones, un gas de neutrones y un gas de protones . Las partículas no interactúan, pero están confinadas a una esfera que posee las dimensiones del núcleo. Las interacciones aparecen implícitamente por la suposición de que el nucleón esta confinado en la esfera. El modelo de gota de líquido esta basado en la saturación de fuerzas nucleares y uno relaciona la energía del sistema con sus propiedades geométricas. El modelo de Fermi está basado en los efectos de estadística cuántica en la energía de los fermiones confinados. El modelo de Fermi provee un medio para calcular las constantes a V , a S y a A en la fórmula de Bethe-Weizsäker, directamente de la densidad ρ de la materia nuclear. El éxito semi-cuantitativo justifica adicionalmente a esta fórmula.

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 22

El modelo de gas de Fermi esta basado en el hecho de que una partícula de spin ½, confinada en un volumen V, solo puede ocupar un número discreto de estados. En el intervalo de momento d 3 p, el número de estados es

dN

 ( 2

s

 1 )

Vd

3

p

( 2   ) 3 ( 1 )

con s= 1/2. Este número va a ser derivado luego para una caja cúbica, pero es, en efecto, generalmente verdadero. Corresponde a una densidad en el espacio de fases de 2 estados por 2πħ 3 de volumen en el espacio de fases.

Ahora ponemos N partículas en el volumen. En el estado fundamental , las partículas llenan los niveles más bajos de “single –particle”, es decir, aquellos hasta un momento máximo llamado “momento de Fermi” ,p F , correspondiente a una energía máxima,

F

p F

2 2

m

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 23

El momento de Fermi esta determinado por

N

p

 

p F dN

Vp

3

F

3  2  3

Esto determina la energía de Fermi:

F

  2 ( 3  2

n

) 2 3 2

m

( 2 ) ( 3 )

donde n es el número de partículas por unidad de volumen (n = N/V).

La energía (cinética) total ε del sistema es:

 

p

 

p F p

2 2

m

 3 5

N

F

( 4 )

En un sistema con A = Z + N nucleones, la densidad de neutrones y protones es respectivamente n 0 (N/A) y n 0 (Z/A), donde n 0 ≈ 0,15 fm -3 es la densidad de nucleones. La energía cinética total es entonces:

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 24   

Z

 

N

 3 5   

Z

 2 2

m

3  2

Zn A

0 2 3 

N

 2 2

m

3  2

Nn

En la aproximación Z ~N ~ A/2, este valor de la densidad nuclear corresponde a una energía Fermi para protones y neutrones de :

A

0 

F

35

MeV

que corresponde a un momento y a un número onda:

p F

265

MeV c k F

p F

  1 , 33

fm

 1 2 3    ( 5 ) ( 6 ) ( 7 )

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 25

Energías de volumen y superficie

De hecho, el número de estados (1) está ligeramente sobreestimado ya que corresponde al límite continuo V de onda y niveles de energía son:

∞ en donde la diferencia de energía entre niveles se anula. Para convencernos, examinamos la estimación al número de niveles en la caja cúbica de dimensiones lineales a. Las funciones

n

1 ,

n

2 ,

n

3 (

x

,

y

,

z

)  8

a

3

sen n

1 

x a sen n

2 

y a sen

n

3 

z a E

E n

1 ,

n

2 ,

n

3  2  2  2

ma

2 

n

1 2 

n

2 2 

n

3 2 

con n i > 0, y uno cuenta el número de estados tal que E ≤ E 0 , E 0 fijo, que corresponde al volumen de un octavo de esfera en el espacio (n 1 ,n 2 ,n 3 ).

( 8 ) ( 9 )

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 26

En esta cuenta, no se debería tener en cuenta los tres planos n 1 =0, n 2 =0 y n 3 =0 para los cuales la función de onda es cero, lo que no corresponde a una situación física. Cuando el número de estados bajo consideración es muy grande, como en mecánica estadística, esta corrección es insignificante. Sin embargo, acá no es insignificante. El exceso correspondiente en (2) puede ser calculado de una manera análoga a (1), se obtiene

dN

 ( 2

s

 1 )

Sd

2

p

( 2   ) 2 

N

 2

p F

8  

S

2 

m

F

4   2

S

( 10 )

Donde S es el área externa del volumen (S= 6a 2 para un cubo, S= 4πr 0 2 una esfera).

La expresión (2), luego de la corrección de este efecto, es para

N

Vp F

3 3  2  3 

Sp F

2 4   2 ( 11 )

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 27 

La energía correspondiente es

p

0

F

 2 2

p m dN

(

p

) 

V

 5 

F

2

p F

3  2 

S

F

8  

p

2

F

2 ( 12 )

El primer término es energía de volumen, el segundo término es una corrección de superficie, o un término de tensión superficial.

Para el primer orden en S/V la energía cinética por partícula es

N

 3 

F

5   1  

S

 8

Vp F

 ...

  ( 13 )

En la aproximación Z ~N ~ A/2, la energía cinética es

E c

a

0

A

a s A

2 3

con

a

0  3 5 

F

 21

MeV a s

 3 5 

F

3   8

r

0

p F

 16 , 1

MeV

( 14 ) ( 15 )

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 28

El segundo término es el coeficiente de superficie en la fórmula de Bethe Weizsäcker, en buena concordancia con el valor experimental. La energía media por partícula es la suma a V = a 0 +U de a 0 y de una energía potencial U, la que puede ser determinada experimentalmente por dispersión de neutrones por núcleos . Experimentos dan U~ -40MeV, esto es

a V

 19

MeV

( 16 )

En razonable concordancia el valor experimental.

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El modelo de gas de Fermi.

El núcleo y sus radiaciones Clase 18 Curso 2011 Página 29

La energía de asimetría.

Consideramos ahora el sistema de dos gases de Fermi, con N neutrones y Z protones adentro de una misma esfera de radio R. La energía total de los dos gases (5) es

E

 3 

F

5   

N

2

N A

2 3 

Z

2

Z A

2 3    ( 17 )

Donde despreciamos la energía superficial. Expandiendo esta expresión en potencias del exceso de neutrones Δ = N – Z, obtenemos, para el primer orden Δ/A,

E

 3 5 

F

 

F

3 (

N

Z

) 2

A

 ...

( 18 )

Esta es precisamente la forma de la energía de asimetría en la fórmula de Bethe-Weizsäker. Sin embargo, el valor numérico del coeficiente a a ~12 MeV es la mitad del valor empírico. Este defecto viene de hecho de que el modelo de Fermi es muy simple y no contiene suficientes detalles sobre las interacciones nucleares.