Transcript BAB 6 Matematika Keuangan Edisi 3

BAB 6
ANUITAS BERTUMBUH DAN
ANUITAS VARIABEL
2
Anuitas Bertumbuh
Selama ini besar angsuran diasumsikan sama yaitu A atau
PMT (dalam kalkulator finansial atau Excel).
Perbedaan antara anuitas biasa, di muka, dan ditunda
hanya pada kapan periode pertama dilakukan.
Jika besarnya angsuran tidak sama tetapi meningkat
dengan tingkat pertumbuhan yang sama, disebut anuitas
bertumbuh.
Karenanya, kita bisa mempunyai anuitas bertumbuh biasa,
anuitas bertumbuh di muka, dan anuitas bertumbuh
ditunda, tergantung pada periode pertama arus kas.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
3
Anuitas Bertumbuh
Bila besar pembayaran atau penerimaan setiap periode tidak sama, tetapi
tumbuh dan berkembang dengan tingkat pertumbuhan g yang sama
selama periode-periode tertentu, maka :
  1  g n 
 
1  
1i  


PV 
A1


ig




atau
  1  g n -1 
 
1  
1i  


PV 
A1  A0


ig




dengan i > g, dan :
i = tingkat bunga diskonto (tingkat bunga relevan)
g = tingkat pertumbuhan
n = jumlah periode
A0 = besar pembayaran atau penerimaan hari ini
A1 = besar pembayaran atau penerimaan 1 periode lagi
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
4
Contoh 6.2
Berapakah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 1.000.000
tahun depan, Rp 1.100.000 tahun berikutnya dan terus
bertumbuh sebesar 10% setiap tahun selama 10 kali jika
tingkat bunga adalah j1 = 12%?
  1  g n 
  1  10% 10 
 
 
1  
1  
1 i  
1  12%  




PV 
A1 
Rp 1.000.000


 12%  10% 
ig








P V  Rp 8.244.217,
26
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
5
Perpetuitas Bertumbuh
A1
PV 
i-g
atau
A1
PV 
 A0
i-g
dengan i > g, dan
A0 adalah arus kas hari ini
A1 adalah arus kas satu periode berikutnya
i
adalah tingkat bunga diskonto
g adalah tingkat pertumbuhan
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
6
 Perpetuitas bertumbuh sangat sering digunakan
untuk menilai harga wajar atau nilai intrinsik
suatu saham.
 Persamaan baku dalam literatur investasi untuk
menilai harga saham yang memberikan dividen
bertumbuh:
D1
P0 
k -g
dengan :
P0 = harga wajar (nilai intrinsik) saat ini
D1 = perkiraan dividen tahun depan
k = tingkat bunga diskonto
g = tingkat pertumbuhan
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
7
Contoh 6.4
Berapa harga wajar saham yang diperkirakan memberikan dividen
sebesar Rp 220 tahun depan jika tingkat bunga diskonto adalah
15% p.a. dan dividen tahun ini yang baru saja dibayar adalah Rp
200?
Jawab:
Tingkat pertumbuhan dividen :
Rp 220  Rp 200
g
 100 %  10 %
Rp 200
A1
Rp 220
PV 

i - g 15%  10%
PV  Rp 4.400
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
8
Contoh 6.6
Mana yang lebih menarik, menerima uang pensiun
sebesar Rp 120.000.000 hari ini atau Rp 2.200.000
tahun depan dan terus naik sebesar 10% setiap tahun
selama seumur hidup? Asumsikan tingkat bunga yang
relevan adalah 15% p.a.
Jawab:
Kita hanya perlu menghitung nilai sekarang dari
perpetuitas bertumbuh untuk dibandingkan dengan Rp
120.000.000. Kita memilih yang lebih besar tentunya,
karena jumlah itulah yang akan kita terima.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
9
A = Rp 2.200.000
g = 10%
i = 15% p.a.
A1
Rp 2.200.000
PV 

i-g
15% 10%
P V  Rp 44.000.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
10
Anuitas Variabel
 Anuitas yang hampir sama dengan anuitas
bertumbuh.
 Perbedaan:
- Anuitas bertumbuh, tingkat pertumbuhan
dinyatakan dalam persentase
- Anuitas variabel, besar pertumbuhan dinyatakan
dalam nilai nominal, misal Rp 1.000.000
 Persamaan:
Baik anuitas bertumbuh maupun anuitas variabel,
tingkat pertumbuhan dan besar pertumbuhan,
walaupun jarang dapat pula negatif seperti -10% atau –
Rp 100.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
11
Aplikasi Anuitas Variabel
Anuitas variabel dapat digunakan untuk:
 Seorang pengusaha yang menginginkan
pelunasan utangnya dengan angsuran yang
menurun setiap periodenya.
 Seorang karyawan yang merasa lebih nyaman
dengan angsuran KPR yang meningkat,
mengikuti kenaikan gajinya.
 Menilai obligasi yang pokok utangnya
diangsur sama besar setiap periodenya
bersama bunga periodik, sehingga jumlah
pembayaran mengalami penurunan.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
12
Contoh 6.7
Utang sebesar Rp 60.000.000 berbunga 10% dilunasi dengan 3
kali angsuran tahunan. Pelunasan pokok utang dalam setiap
angsuran adalah sama besar yaitu 1/3 atau Rp 20.000.000.
Buatlah skedul pelunasan utang di atas.
Jawab:
Biaya bunga tahun pertama = 10% x Rp 60 juta = Rp 6 juta
Angsuran pertama = Rp 20 juta + Rp 6 juta = Rp 26 juta
Saldo utang setelah angsuran pertama
= Rp 60 juta – Rp 20 juta = Rp 40 juta
Biaya bunga tahun kedua = 10% x Rp 40 juta = Rp 4 juta
Angsuran kedua = Rp 20 juta + Rp 4 juta = Rp 24 juta
Saldo utang setelah angsuran kedua = Rp 20 juta
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
Biaya bunga tahun kedua = 10% x Rp 20 juta = Rp 2 juta
13
Biaya bunga tahun kedua = 10% x Rp 20 juta = Rp 2 juta
Angsuran ketiga = Rp 20 juta + Rp 2 juta = Rp 22 juta
Besar angsuran
Tahun 1
Rp 26 juta
Tahun 2
Rp 24 juta
-Rp 2 juta
Tahun 3
Rp 22 juta
-Rp 2 juta
Skedul pelunasan utang dalam contoh di atas memenuhi anuitas variabel
dengan:
n=3
 tingkat bunga (i) = 10%
 nilai awal (a1) = Rp 26 juta
 perbedaan nominal (d) sebesar -Rp 2 juta.
 Angsuran terakhir mengandung bunga Rp 2 juta, angsuran kedua
mengandung bunga dua kalinya, dan yang pertama bunganya tiga kali
lipatnya.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
14
Perbedaan yang konstan seperti contoh di atas adalah kunci
untuk membuktikan bahwa nilai sekarang adalah Rp 60 juta
yaitu:
(Rp 22 juta – Rp 2 juta) + (Rp 24 juta – 2 x Rp 2 juta) + (Rp 26
juta – 3 x Rp 2 juta) = 3 x Rp 20 juta.
Jadi, PV = -n.d/i = -3.(-Rp 2 juta/10%) = 3 (Rp 20 juta) = Rp
60 juta.
dengan: n = banyaknya anuitas
d = perbedaan nominal (difference)
i = tingkat diskon
Kesulitannya adalah untuk arus kas yang tidak sesederhana
seperti ini, kita perlu membagi arus kas menjadi dua seri yaitu
seri 1 dan seri 2.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
15
Contoh 6.10
Dengan menggunakan seri 1 dan 2, hitunglah nilai sekarang
dari anuitas variabel berikut jika diketahui tingkat bunga 5%.
Tahun
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Arus Kas
Rp 2.000.000
Rp 1.950.000
Rp 1.900.000
Rp 1.850.000
Rp 1.800.000
Rp 1.750.000
Rp 1.700.000
Rp 1.650.000
Rp 1.600.000
Rp 1.550.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
16
Jawab:
d = -Rp 50.000
n = 10
i = 5%
a1 = Rp 2.000.000
Besar arus kas untuk seri 1 adalah
= Rp 2.000.000 +
 Rp 50.000


5%


+ 10 (-Rp 50.000)
= Rp 2.000.000 – Rp 1.000.000 – Rp 500.000
= Rp 500.000
PV seri 1 ini dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan anuitas biasa.
Sisanya adalah arus kas untuk seri 2. PV seri 2 dapat dihitung seperti contoh 6.7
–n.d/i).
yaitu (
Berdasarkan hasil ini, kita dapat menyusun skedul seri 1 dan seri 2 dari arus kas di
atas menjadi:
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
17
Tahun
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Arus kas
Rp 2.000.000
Rp 1.950.000
Rp 1.900.000
Rp 1.850.000
Rp 1.800.000
Rp 1.750.000
Rp 1.700.000
Rp 1.650.000
Rp 1.600.000
Rp 1.550.000
Seri 1
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Rp 500.000
Seri 2
Rp 1.500.000
Rp 1.450.000
Rp 1.400.000
Rp 1.350.000
Rp 1.300.000
Rp 1.250.000
Rp 1.200.000
Rp 1.150.000
Rp 1.100.000
Rp 1.050.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
18
PV Anuitas Variabel = PV Seri 1 + PV Seri 2
PV
PV
PV
 1  (1  5%) 10

5%


  10 (Rp 50.000) 
Rp 500.000 

5
%



=
= Rp 3.860.867,5 + Rp 10.000.000
= Rp 13.860.867,5
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
19
Persamaan Seri 1 dan Seri 2
Persamaan umum untuk mencari besar anuitas atau A
dalam seri 1 adalah :
d
A
= a1   nd
i
dengan
a1 =
d =
i =
n =
besar pembayaran periode 1
perbedaan nominal antarperiode
tingkat diskonto per periode
jumlah periode pembayaran
persamaan untuk mencari PV seri 2 adalah :
PV Seri 2 =  nd
i
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
20
Persamaan Anuitas Variabel
PV =
 1  (1  i)  n

i




d

  nd
 a 1   nd 
i
i


atau
PV
n


nd
1

(
1

i
)
= 
 A 

i
i


Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
21
Anuitas Variabel Meningkat
Jika d > 0, pembagian arus kas menjadi seri 1 dan seri 2 masih
dapat dilakukan.
Contoh 6.12
Hitunglah nilai sekarang dari pembayaran uang pensiun Rp 30
juta tahun depan yang meningkat sebesar Rp 2 juta setiap
tahunnya selama 10 kali jika diketahui tingkat diskonto yang
relevan adalah 8% p.a.
Jawab :
i
=
n
=
d
=
a1
=
8%
10
Rp 2 juta
Rp 30 juta
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
22
A = a 1  d  nd
i
= Rp 30 juta +
= Rp 75 juta
PV
=
=
 1  (1  i)  n

i

 Rp 2 jut a 


8
%





A
+ 10 (Rp 2 juta)
nd
i
10Rp 2 juta 
 1  (1  8%) 10 

Rp
75
juta


8%
8%


Rp 503.256.105 – Rp 250.000.000
= Rp 253.256.105
=
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
23
Aplikasi Pada Valuasi Obligasi
 Arus pembayaran kas sebuah obligasi melibatkan dua
tingkat bunga yaitu :
a. kupon
b. yield
 Pola pelunasan utang obligasi ada dua.
a. Obligasi yang hanya membayar kupon secara
periodik dan utang pokok sebesar nilai nominal saat
jatuh tempo.
b. Obligasi yang mengangsur pokok utang sama besar
setiap
periodik,
bersamaan
dengan
bunga
terutangnya.
Utang obligasi kelompok kedua akan mengalami
penurunan setiap periodenya, dan pembayaran
bunga periodik pun semakin mengecil dari periode ke
periode.
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
24
Contoh 6.13
Sebuah korporasi mengeluarkan obligasi bernilai US$
100.000 dengan kupon 4%. Utang obligasi ini akan dilunasi
dalam 20 pembayaran sama besar, masing-masing $ 5.000
pada akhir setiap tahun, bersamaan dengan pembayaran
bunga terutangnya. Hitunglah harga wajar obligasi jika
investor mengharapkan yield sebesar 10% untuk obligasi ini.
Jawab :
n
= 20
i
= 10%
d
= 4% x $ 5.000 = $ 200
a1
= $ 5.000 + 4% ($ 100.000) = $ 9.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
25
Tahun
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pelunasan Pokok
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
Biaya Bunga
$ 4.000
$ 3.800
$ 3.600
$ 3.400
$ 3.200
$ 3.000
$ 2.800
$ 2.600
$ 2.400
$ 2.200
Total
$ 9.000
$ 8.800
$ 8.600
$ 8.400
$ 8.200
$ 8.000
$ 7.800
$ 7.600
$ 7.400
$ 7.200
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
26
Tahun
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Pelunasan Pokok
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
$ 5.000
Biaya Bunga
$ 2.000
$ 1.800
$ 1.600
$ 1.400
$ 1.200
$ 1.000
$ 800
$ 600
$ 400
$ 200
Total
$ 7.000
$ 6.800
$ 6.600
$ 6.400
$ 6.200
$ 6.000
$ 5.800
$ 5.600
$ 5.400
$ 5.200
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
27
PV
=
=
 1  (1  i)  n

i

nd

  a 1  d  nd  
i
i


 1  (1  10%) 20

10%

 1  1,120

 0,1
 200
 20 ( 200 )

 20 (200)  
  9.000 
10%
10 %



3.000

PV
=
PV
= 65.540,69
+ 40.000
Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010