Transcript 機率也是一種數學模式

高一下數學選必修複習
北一女中
2014. 6. 18
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數學歸納法
排列組合
機率
統計
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數學歸納法
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Outline
有限觀察與無窮歸納
歸納的程序與證明
形式主義與直覺主義
數學是一種邏輯形式，人的認知則是感官直覺!
這兩種並不互相衝突: 從形式悟出內涵可以昇
華成為直覺；一成不變的直覺也終將變成形式!
推薦一部好的女性電影: Emma Thompson 的
Sense and Sensibility
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排列組合
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有相同物的排列
• 最簡單的model 就是一件事，要嘛發生(+)，要嘛不
發生(-). (可以將前者想成紅球，後者白球)。
• 比如電話交換機，每一秒鐘可能有電話撥進來(+)，
也可能什麼事都不發生(-)。
• 連續觀察 n 次，該事情發生m次(有 m 通電話撥進
來)的情形有幾種? (m 個紅球，n-m 個白球的排列
數) C(n,m)。
• 這也就是二項式展開的公式，是最基本隨機過程
Binomial Processes 的基礎!
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有相同物的排列
• 當有許多種的相同東西去排列，比如在高速公路上
監控車流量，只管 Audi 及 Benz 兩種車。
• 每一秒鐘可能有一部 Audi (A) 通過，也可能是一輛
Benz (B)，也可能是以上皆非 (C)。
• 連續觀察 n 次，發生 (A) 車 a 次，(B) 車 b 次，(C)
車 c 次的情形是:
• 先把 (A) + (B) 是為一類，則 n 次觀察中， Audi 和
Benz 共出現 a+b 次的情形是 C(n,c). 但是在 Audi
和 Benz 共出現 a+b 次的情形下再細分，Audi 出現
a 次的情形有 C(a+b,a).
• 利用乘法原理，C(n,c)*C(a+b,a) = (n!)/(a!)(b!)(c!)
就是答案!
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有相同物的排列
• 這種 reduction 的過程，就是一種數學歸納法原理!
• 這個問題，同時也是 compound Poisson
Processes 的最基礎!
• 可以用來解釋交通塞車現象，天空中星雲的分布，
甚至是麵包內餡或餅乾塗層的問題!
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機率
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機率是一種數學模式
• 數學模式簡單說是對自然現象或人為系統的一種量
化描述.
• 上學期妳們學過的山洞問題，靠線性函數來描述車
流量與行車速度的關係，結果顯示有可能開挖山洞
之後，平均行車速度卻是增加的! 這是數學模式對交
通建設與公共政策制定的一個重要的例子!
• 這學期妳們學過的飛行員排班為問題，靠排列組合
與線性規劃來求得空服人員的最佳排班組合，也是
數學模式對運輸服務與管理的一個實際例子。
• 這些都牽涉到量化一個觀測主體或系統的概念.
機率是一種數學模式
• 機率也是一種數學模式, 比如丟擲一個銅板3次, 描
述一檔股票3天交易日可能的漲跌組合(all possible
outcomes), 並評估資產變化的期望值.
• 事實上，丟銅板是最重要的一個機率模型! 從固定時
間丟銅板算正面出現總次數的二項次過程(Binomial
Processes)，連續時間丟銅板的普松過程(Poisson
Processes)，銅板出現正面的機率和上一次、也僅
和上一次結果有關的的馬可夫鏈(Markov Chain)，
以及連續版本的馬可夫過程(比如 Brownian
Processes)，都是丟銅板模型的變奏型態(Variant)。
• 這些都是衍生性金融商品選擇權定價的數學模式原
理!
丟一個銅板
• 丟擲一個銅板, 我看到了結果, 但你們都沒看到. 請問
這個銅板出現正面的機率是多少?
• 從我的角度來說, 這個丟銅板的實驗已經是確定性的
結果.
• 你們會認為銅板出現正面的機會是 ½, 這個數學機率
模式描述的是你的未知, 而不是銅板投擲結果的未定.
• 換句話說, “你” 才是這個丟一次銅板數學模式(銅板
出現正面的機會是 ½) 所要描述的觀測主體, 而不是
已經確定結果的銅板.
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同一事情, 不同看法
• 丟擲一個銅板20次, 全數為正面, 請問第 21 次投擲這
枚銅板, 出現正面的機率有多高?
• 有人認為這是獨立事件, 因此機率還是 ½.
• 有人認為這枚銅板有詐, 因此機率是 1.
• 數學好的人, 學過大數法則, 知道長期而言, 公正的銅
板出現正面和出現反面的次數應該要很接近.
• 因為前面 20次都是出現正面, 接下來出現反面的機率
應該很高. 所以接下來又丟出正面的機率應該遠小於
於 ½.
• 勇氣遠見 與 鐵齒白目 其實僅僅一線之隔!
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同一事情, 不同看法
• 明天會不會下雨, 時間到了老天爺自然就會做決定.
上帝從不擲骰子, 擲茭問卦的, 是那些希望預知的人.
• 自然界的現象本質上沒有所謂的隨機(random)或確
定性(deterministic)之分別.
• 事實上, 要用隨機的數學模式或是確定性的數學模式
去描述一個現象純然視觀測者自己的知識, 背景和目
的而定.
• 數字或許是客觀的, 但解讀永遠是主觀!
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機率是處理訊息的學科
• 丟一個硬幣兩次，其樣本空間為
S={(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)}
• 事件 A = {(+,+), (+,-)}: 隨便從 S 中拿一個樣本點，
妳不會被告知是哪一個樣本點被取到，但是將會被
告知 A 事件是否發生!
• 我拿到 (+,+) (妳不知道)，但是告訴妳 A 事件發生
• 我拿到 (-,+) (妳不知道)，但告訴妳 A 事件沒發生
• 我拿到 (-,-) (妳不知道)，但告訴妳 A 事件沒發生
• 我拿到 (+,-) (妳不知道)，但是告訴妳 A 事件發生
• 所以，集合 A 的訊息其實就是 第一次投出正面! 但
是A事件的訊息不夠充分告訴妳二次投擲的結果!
機率是處理訊息的學科
• 丟一個硬幣兩次，其樣本空間為
S={(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)}
• 事件 B = {(+,-), (-,+)}: 隨便從 S 中拿一個樣本點，
妳不會被告知是哪一個樣本點被取到，但是將會被
告知 B 事件是否發生!
• 我拿到 (+,+) (妳不知道)，但告訴妳 B 事件沒發生
• 我拿到 (-,+) (妳不知道)，但告訴妳 B 事件發生
• 我拿到 (-,-) (妳不知道)，但告訴妳 B 事件沒發生
• 我拿到 (+,-) (妳不知道)，但是告訴妳 B 事件發生
• 所以，集合 B 的訊息其實就是 一正一反! 但訊息不
夠充分到告訴妳 + 先出現還是 – 先出現!
機率是處理訊息的學科
• 所以，我們會說
{(+,+)} 比 {(+,+), (+,-)} 包含更精確的訊息，而
{(+,+), (+,-)} 又比 {(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)} 更精確。
• 事實上，{(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)} 被稱為 contains
no information at all!
• 而我們稱 A={(+,+), (+,-)} 和 A’={(-,+), (-,-)} 所透露
的訊息一樣多。因為若知 A 事件發生，則 A’ 必定
不發生! 而 A 若不發生，A’ 必定發生。
獨立
• 那訊息 A = {(+,+), (+,-)} 和 訊息 B = {(+,-), (-,+)} 互
為獨立嗎?
• 如果已經知道A事件發生，也就是已知第一次投擲
的結果是 +，那麼 B 發生的機率 (也就是一正一反)
的機率，妳認為是多少?
• 妳當然可以列出條件機率的公式去計算，但是光由
概念上，妳馬上可以得知
p(B|A)=第二次丟到反面的機率!
• 因為是丟同一個銅板，所以兩次出現正面的機率都
是 p, 反面都是 q, 那訊息 A 和 訊息 B 是獨立嗎?
( p(B|A)=p(B)?)
獨立
• 先不急著算，假設這銅板不公正，q=0.99，則樣本
點中最可能出現的是 (-,-)。 而一正一反 p(B) 出現
的機率其實還是蠻低的 (0.01*0.99*2=0.198) !
• 但如果已知 A 發生，最不容易出現的正面第一次
就投出來了，請問這會不會讓妳覺得 B 要發生幾
乎是一件篤定的事 (p(B|A)=0.99)?
• 也就是，在銅板不公正時，訊息 A 和 B 不是獨立
的，而是相互影響的!
• 只有當 p=q=0.5, 這兩個訊息才是互相獨立!
機率
• 機率既然是一個比率, 那也是一種斜率的概念.
• 機率高, 代表所關心的事件蠻可能發生的, 某種程度
來說, 代表那個事件產生的``效率高’’ !
• 比如說, 明天台積電股價漲3元的機率是10%, 維持
平盤的機率是60%, 下跌2元的機率是30%. 那麼台
積電明天股價走勢的預測是 10%*3 + 60% * 0 +
30%*(-2) = - 0.3 元.
• 這個數字, 不就是 (10%, 60%, 30%) 和 (3, 0, -2)
的內積嗎?! 可見, 機率的確是一種斜率的概念!
7% 或 14% 到底是麼感覺?
• 當然, 只要機率不是百分之百, 事情就有可能
不會如預期般的發生. 那的確不是一種確定
性的狀況.
• 但是, 妳真的了解什麼叫不確定性嗎?
• 7% 或 14% 到底是麼代表什麼意義?
統一發票
• 統一發票每兩個月開獎1次. 每次開出4個頭獎.
• 最小獎是如果中頭獎末3碼, 得200元獎金.
7% 或 14% 到底是麼感覺?
• 60 張發票至少對中一張的機率有 21.4%，
我幾乎都對不中，顯然 21.4% 要實際上發生
還是很不容易!
• 如果生下一個畸形兒的機率是 7% - 14%，
這代表比 60 張統一發票要中獎的機率還要
低很多，那我要不要賭賭看?
統一發票(機率)所帶來的人生準則
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人生任何攸關勝負的事, 絕對避不開風險.
沒有人喜歡輸的感覺. 但是, 我們不能因此只做
十拿九穩的事.
當負面機率有 7成 或 8成時, 就不要心存僥倖!
當機會有 7成 或 8成把握時, 就得勇敢去嘗試!
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統一發票(機率)所帶來的人生準則
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這社會上成功且令人尊敬的人太少! 所以詢問周
遭的人要如何才能成功, 通常沒有太多參考價值.
機率在這裡的意義是, 當大家做什麼, 妳也跟著
做什麼的話, 毫無意外的, 當大多數不成功的人
得到什麼時, 妳也幾乎拿不到什麼不一樣的東西.
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統一發票
• 統一發票我對了將近 30年. 就中過一次 1000元. 中
一次的機率是 萬分之一.
• 但是, 最幸運的一次, 是以約80張發票, 對中 4張 200
元的發票. 這機率約
百萬分之一有多小??
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一般認為地球歷史有45億年. 最古老的埃及中國
文明距今4千年, 這個比例就是將近百萬分之一.
如果把地球歷史45億年縮為1年, 那麼1 分鐘大約
等於地球歷史的 8752 年. 百萬分之一大約就是一
年的最後30秒!
夏朝就是在12月31日23時59分30秒之後才發生.
恐龍大約在12月13日出現, 12月24日中午還沒來
的及過聖誕夜就滅絕了.
當我們跨年倒數時, 相當於我們從魏晉南北朝開始
倒數, 每一兩秒就過一個朝代, 從隋, 唐, 五代十國,
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宋, 元, 明, 清, 到現在.
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統計
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數據標準化
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數據標準化是數據挖掘 (Data Mining)的最基本工作
。不同的評鑑指標通常有不同的量化標準和單位，要
進行對比前，通常要先經過數據標準化的處理。
什麼是 Data Mining?
比如: 銀行希望從大量交易的數據中，過濾出存在資
金問題的客戶；
廣告主面對五花八門的促銷宣傳選項，希望知道什麼
季節該主打什麼樣的廣告。
一個真實的案例是，美國 Target 百貨公司，透過對
消費紀錄的交叉比對，推斷出可能懷孕婦女的族群，
並對該族群重點式推薦並促銷孕婦產品大獲成功，包
括讓一個家長獲悉女兒隱瞞懷孕的消息!
Z 分數 與 T 分數
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一個數據的 z 分數，就是將該筆數據減去整體數據
的平均值，再除以標準差。
z 分數的排序保持原本數據的順序。
全體數據的 z 分數平均值為 0，標準差為 1。
T 分數 = 10 Z + 50。全體數據的 T 分數平均值為
50，標準差為 10。換言之，T 分數差 10 分代表差
一個標準差，這是我們考試院以及許多政府機關招
聘人員的採計標準!
Z 分數 與 T 分數
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比如，某項考試採計筆試(滿分 100)和口試 (滿分 5
分)兩項成績。
兩項成績直接相加顯然不合適，因為筆試總分比口
試高 20 倍，相加會造成口試不具效度，等於白考!
數據標準化在此有許多做法，比如把口試先加權，
再和筆試相加!
採用 T 分數可以將兩項成績都調成平均值 50 分，
標準差 10，使得兩項成績在相加前具有相同的統計
特徵!
有那些問題?
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某次考試考數學與自然兩科，共 5 名考生，
錄取兩名。
數學原始成績: 0, 2, 4, 30, 90
自然原始成績: 75, 56, 73, 60, 50 (按數學成
績排列)
請問妳覺得，哪兩位同學該被錄取?
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使用 T 分數
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數學原始成績: 0, 2, 4, 30, 90
自然原始成績: 75, 56, 73, 60, 50 (按數
學成績排列)
數學 T 分數 : 42.6, 43.2, 43.8, 51.4, 69
自然 T 分數 : 62.6, 43, 60.5, 47.1, 36.9
兩科 T 總和: 105.2, 86.2, 104.3, 98.5, 105.9
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使用 T 分數
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不只如此，T 分數的最低分會破 0，最高分會破百!
舉例: 全班60人，1人考0分，59人考 100 分，則 0
分同學的 T 分數是 -26.82，100 分的 T 分數為 51.3
全班 60 人，0 分有 20 人，1 分 10 人，2 分 10 人
，3 分 10 人，4 分 9 人，98 分 1 人，則最高分的 T
分數為 126.3
若全班 60 人，0 分以及 100 分各 1 人，50 分 58 人
，最低分 T 分數 -4.67；T 分數最高為 104.76；其餘
58 人 T 分數為 50。
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輻射與癌症
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輻射就是原子核爆炸飛濺的碎片，儘管這些碎片的速
度接近光速，但是非常微小。微小到當他射進妳的體
內時，很可能僅僅破壞某個分子，或某段基因，但是
不會撕裂妳的心臟!
但是，當為數眾多的分子被巨量輻射破壞時，妳就會
因為輻射中毒或輻射傷害而很快(數小時內)死亡。
就算較輕的輻射傷害，也會誘發癌症!
我們知道機率有多高嗎?
輻射與癌症
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人體接受輻射劑量單位為 侖目(rem)。牙齒照一次 X
光大約接受 0.01 rem 的輻射劑量。
照射 100 rem 的劑量，人體反應很輕微，很多人沒
什麼感覺。
罹患癌症所做的放射線治療，會讓妳毛髮脫落、食慾
不振，這大約有 200 rem.
300 rem的劑量就不是普通人可以承受的了。約半數
的人在這個劑量下活不了多久。
1000 rem 的劑量不管是誰都活不了 1 小時。
輻射與癌症
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在 2001 年，出版在 The Proceedings of National
Academy of Sciences of the United States 的一
篇論文: Significance analysis of microarrays
applied to the ionizing radiation response (將近
被引用 10000 次)，對於輻射的危險有一些定量的看
法，引起眾多討論。
下面的函數圖形來自線性迴歸分析，直線的斜率是
0.04 (百分點/ rem). 也就是每 100 rem 的輻射劑量(
預估)會增加 4% 的癌症死亡率! (當然有一些誤差)
輻射與癌症
這線性迴歸告訴我們什麼?
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廣島和長崎原子彈爆炸，約 10 萬人生還，這群生
還者顯然受到顯著輻射照射，有人多有人少，但經
過統計推估這群生還者平均每人受到 20 rem 的劑
量!
按照線性回歸，這些人平均會多出 0.8% 的致癌機
率，我們預期會多出 100,000 * 0.8%=800 個因此
次核爆所增加的罹癌死亡病例!
這數據是不是太少了?
這線性迴歸告訴我們什麼?
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的確!
這數據和統計推論引起廣大爭議!
爭議來自這些統計數據的誤差、採樣及分析!
爭議同樣來自線性迴歸! (真的是 “線性”嗎?)
斜率 0.04 的直線，每 100 rem 增加 4% 的癌症死
亡率，要 2500 rem 的劑量才會 “確定 (100%)” 因
輻射引發癌症而死亡!
但是，在這個劑量底下，所有人早就瞬間死光光，
哪有時間得癌症慢慢死?
這線性迴歸告訴我們什麼?
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但是，這數據同樣不乏擁護者!
理由一: 這是我們科學工具能夠拿到的最好數據和分
析，有一定的可信度!
理由二: 癌症本來就不是罕見疾病! 就算沒有核爆，
全世界平均約 25% 的人本來就會死於癌症，這會使
得因核爆的額外癌症致死率偏低!
理由三: 這麼低的癌症額外致死率並不是代表輻射很
安全! 而是因為暴露在核爆的輻射塵下，儘管真的因
此罹癌，很多人最後還是死於其他因素，例如酗酒，
心臟病，糖尿病，車禍，甚至，莫名其妙的意外!!
但是，沒有爭議的是
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人類的科技，真的沒有大家認為的那麼厲害! (否
則，那麼一大台的飛機，那會說不見就不見!)
流行性的熱門議題(比如能源危機、全球暖化、永
續發展、非核家園、服貿)幾乎各個有爭議! (在這
些議題上，妳可以有個人信仰或信念，但是就是
不能信仰科學! 因為科學的本質是質疑)
學習科學的角度, 動機, 和面向, 都必須夠切身, 夠
近代, 夠深入，夠批判! 否則, 有些人學不上手, 有
些人上手了以後完全不會用, 有人會用了但是變的
偏執.
我們必須同理心!
祝 期末考順利 !!
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