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DISEQUAZIONI
•Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado
•Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili
•Disequazioni con valori assoluti
•Disequazioni irrazionali
Classe III
a.s. 2012/2013
Prof.ssa Rita Schettino
Disequazioni
PREMESSA
• Le slides seguenti danno appunti operativi per
risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate
nella copertina
• Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività
delle disequazioni lineari o delle disequazioni
fratte o dei sistemi di disequazioni che sono
reperibili in altre presentazioni sulla
medesima pagina
prof.ssa R. Schettino
2
Disequazioni
Segno di un trinomio di 2° grado
• Studiare il segno di un trinomio significa determinare
quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un
risultato nullo o positivo o negativo
• Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o
gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo
o negativo
• Si comprende quindi che questa problematica rientra nel
determinare valori di una incognita per cui si verifichi la
uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la
sua negatività
• Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o
disequazioni (nel caso della positività o della negatività)
prof.ssa R. Schettino
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Disequazioni
Segno di un trinomio di 2° grado
2
ax
bx c
• Dato quindi un trinomio di 2° grado
(scritto ovviamente in forma normale) si tratta di
determinare i valori reali di x per cui:
a) Il trinomio sia uguale a zero ax 2 bx c 0
(equazione di 2° grado)
2
ax
bx c 0
b) Il trinomio sia positivo
(disequazione di 2° grado)
c) Il trinomio sia negativo
ax 2 bx c 0
(disequazione di 2° grado)
N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può
richiedersi anche o il cui significato è noto.
prof.ssa R. Schettino
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Forma normale :
ax bx c 0 oppure ax bx c 0
2
2
con a > 0
• Si risolvono seguendo due passi:
a) Risoluzione dell’equazione associata
b) Determinazione degli intervalli delle soluzioni
prof.ssa R. Schettino
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• La dimostrazione di quanto segue fa parte del
corso in aula, qui ricordiamo le regole:
• L’equazione associata può ammettere
1) Due soluzioni reali e distinte x1 x2
2) Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2
3) Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2 C
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
formanormale ax bx c
2
a>0
• >0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• <0 x1 x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• Soluzioni: valori esterni
all’intervallo delle radici x1 e x2
• Soluzioni: tutti i numeri reali tranne
x1
• Soluzioni: tutti i numeri reali
• Soluzioni: valori interni all’intervallo
delle radici x1 e x2
• Nessuna soluzione
• Nessuna soluzione
N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la
ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2°
GRADO
prof.ssa R. Schettino
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti valgono nel caso a>0
• Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i
coefficienti e il verso della disequazione e
riportarsi al caso precedente
• Oppure si determinano comunque le radici
dell’equazioni associata e le regole per gli
intervalli delle soluzioni della disequazione
sono all’incontrario delle precedenti
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
a<0
• >0 x1 x2
• Soluzioni: valori interni all’intervallo
delle radici: x1<x<x2
x1 = x2
• Nessun valore reale
x1 e x2 complesse
• Nessun valore reale
• Soluzioni: valori esterni all’intervallo
delle radici: x<x1, x>x2
• <0 x1 x2
x1 = x2
• Soluzioni: tutti i valori reali tranne
x1=x2
x1 e x2 complesse
• Tutti i numeri reali
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Notiamo che (da memorizzare benissimo!):
Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE
SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE
Bisogna guardare sia il segno del primo coefficiente
(a) sia il segno del trinomio
Bisogna guardare la natura delle radici della
equazione associata: a seconda se sono distinte,
coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di
soluzioni
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti si possono riassumere così:
• Dopo aver determinato le radici dell’equazione
associata si ha:
Se le radici sono distinte
Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori
esterni
Discordanza tra a e il segno : valori interni
Se le radici sono coincidenti
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato
tranne x1
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
Se le radici sono complesse
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
•
N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE
AL SECONDO
• Le disequazioni algebriche di grado superiore al
secondo si risolvono riconducendole a disequazioni
di 2° grado
• Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni
di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono,
sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado.
• Es. x 4 2 x 2 0 Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema
2 x 6 3 x 3 2 0 È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado
e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado
14x 4 2 2 x 2 1 0 È biquadratica quindi si svolge con le regole delle
disequazioni di 2° grado, per due volte
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN
NUMERO REALE (v. a.)
a
se a 0
• a =
- a se a < 0
vale a dire: è il numero
stesso se questo è 0, è il
suo opposto se è < 0.
Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il
valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento
(a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0.
Ricordiamo inoltre che a k k a k e che a k a k a k
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il
valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il
v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente
l’incognita?
• Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la
rappresentazione grafica degli intervalli di positività o
negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel
caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio)
x 2 5x 6 0
• Es.
x3 x
x 3 x 2 2x 0
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti
dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono
più di uno per cui bisogna considerare vari casi.
• Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni:
l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché
nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così
com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto
cambiato di segno perché l’argomento è
negativo.
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono
presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi
possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione
grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo.
• Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea
continua per indicare la positività dell’argomento, la linea
tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si
ha:
-3
0
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Quindi si risolvono in questo esempio tre casi:
• Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti
sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad
entrambi i segni
• Nell’intervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto
cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo
segno
• Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti
sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il
loro segno
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del
1° es.
• N. B. gli esempi presentano disequazioni; è
implicito che per le equazioni valgono le
stesse identiche procedure
• Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI
DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
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RIASSUMIAMO
Disequazioni
1. Si pongono tutti gli argomenti dei v. a. 0
2. Si rappresentano gli intervalli ottenuti sulla
retta reale, indicando con linea continua le
soluzioni e con linea discontinua le parti
rimanenti
3. Si procede con il primo caso relativo al primo
intervallo sulla retta, sciogliendo i v. a. a
seconda del loro segno (con il medesimo segno
se la linea è continua, con il segno cambiato se
la linea è discontinua)
4. Si arriva quindi ad una equazione o
disequazione senza v. a. che si risolve secondo
le regole consuete ottenendo le soluzioni
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Disequazioni
5. Queste soluzioni ottenute al punto 4 vanno
intersecate con l’intervallo che si sta
considerando nel presente 1° caso e così
termina la risoluzione del 1° caso
6. Si passa poi al 2° caso considerando il 2°
intervallo della retta fatta al punto 2 e si
sciolgono i v. a. tenendo presenti le linee
continue (stesso segno) e quelle discontinue
(segno opposto), ottenendo una seconda
equazione o disequazione
7. Le soluzioni del punto 6 si intersecano con
l’intervallo che si sta considerando e così via
fino all’esaurimento degli intervalli della retta
del punto 2
8. Le soluzioni dell’equazione o
disequazione data sono l’UNIONE delle
soluzioni ottenute nei punti precedenti
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Disequazioni
ULTERIORI CONSIDERAZIONI
• Quando si devono risolvere disequazioni del
tipo A( x) k si può procedere più rapidamente
risolvendo il sistema di disequazioni k A( x) k
(perché é un sistema?)
• Quando si devono risolvere disequazioni del
tipo A( x) k si può procedere risolvendo
A( x) k , A( x) k e unire le soluzioni delle due
disequazioni
• Le regole precedenti sono generali, queste
ultime valgono solo in questi casi
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Una disequazione si dice IRRAZIONALE se
l’incognita compare nel radicando di un
radicale
• È quindi del tipo n A( x) B( x) o n A( x) B( x)
• Può anche contenere più di un radicale, può
anche avere un numero reale al 2° membro
• Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali:
n
A( x) 0 se n è pari
A( x)
se n è dispari
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con
indice dispari (le più semplici)
• Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n
(indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali
non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui
soluzioni sono quelle della disequazione data
• Ciò perché a (o )b a n (o )bn con n dispari a e b
si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari,
con l’elevamento a potenza
n
n
a
(o
)b
a
(o
)b
con
n
pari
a
e
b
• Ricordiamo che
• Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il
verso della disequazione solo se le basi sono positive
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice
è pari
A( x) B( x) A( x ) 0
• Cominciamo col tipo
• È equivalente al sistema
B( x) 0
2
• Esaminiamo il sistema:
A
(
x
)
B
( x)
• A( x) 0 per l’esistenza del radicale (Dominio)
• B( x) 0 perché, dovendo essere maggiore del
radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo
• A( x) B 2 ( x) elevando al quadrato entrambi i membri della
disequazione (che sono positivi per le condizioni
precedenti)
• Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
A( x) B( x)
• Esaminiamo il tipo
• È equivalente all’unione dei due sistemi
A( x) 0
B( x) 0
2
B
(
x
)
0
A
(
x
)
B
( x)
• Esaminiamo il 1° :A( x) 0 per l’esistenza del radicale (Dominio)
• B( x) 0 perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione,
minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0
• Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la
disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo,
B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è
nella disequazione data
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Esaminiamo il 2°: B( x) 0 perché B(x) può essere anche
positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale
• A( x) B 2 ( x) perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i
membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri
della disequazione data e non cambia ilverso della
disequazione
• Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio A( x) 0
perché viene ad essere implicita nella seconda condizione,
dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva
• Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
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Disequazioni
ESEMPI
x 2 3 1 6 x 2 12x
7
x 1
1
x 1
x 2 3 x 3 1
5
È di indice dispari (si elevano i due membri alla
terza potenza)
È di indice dispari e contiene una disequazione
fratta
È dello steso tipo del primo esempio
x 100
2
x 1
È dello stesso tipo del secondo esempio
x 5x 6 x 1 0
È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed
A( x) B( x)
è del tipo
È di indice pari ed è del tipo A( x) B( x)
2
x 2 1
x 4 4x
x2 x
x2 4
x 1
2x 1
2 x 1 13
x 1
6
Sono di indice pari e contengono due radicali: si
imposta il sistema formato dalle condizioni dei
domini e dall’elevamento alla seconda dei due
membri
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Disequazioni
CONCLUSIONI
• Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di
qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella
tipologia giusta
• La risoluzione deve essere logica, secondo le regole
di ciascuna tipologia
• Le equazioni e disequazioni possono essere miste,
cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno
risolte con estrema attenzione procedendo per gradi
• Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro
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