Transcript Funzioni

Funzioni
Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una
legge che associa a ciascun elemento di A uno e un solo
elemento di B. L'insieme di partenza A è il dominio della
funzione; l'insieme di arrivo B il codominio. In simboli, una
funzione f di dominio A e codominio B verrà indicata con
f:A→B. Se la funzione f manda l'elemento a appartenente ad
A nell'elemento b appartenente a B, scriveremo b = f(a), e
diremo che b è immagine di a tramite f. L'insieme degli
elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A è
l'immagine di f, e viene indicata con Im f oppure con f(A);
f(A) = {b Є B | b = f(a) per qualche a Є A}
Oppure in modo più compatto:
f(A) ={f(a) Є B \ a Є A}
b = f(a)
Variabile
dipendente
Variabile
indipendente
Mentre a può essere qualsiasi elemento
del dominio e dunque variabile
indipendente, l’ elemento b del
codominio è determinato univocamente
da a e da f e pertanto è la variabile
dipendente.
Esempi:

Il lancio di un dado genera sei eventi e se il
dado non è truccato tutti hanno la stessa
probabilità. La probabilità è un numero tra 0
e 1 . Dunque una prova aleatoria da luogo ad
una funzione che associa ad ogni evento un
numero reale compreso tra 0 e 1
Numeri
reali
da 0 a 1
Dominio
1
/
6
Codominio

Si consideri l’ insieme dei bambini (A) e l’
insieme delle donne (B). Mediante la
funzione mamma (f) è possibile associare
ad ogni bambino la donna che lo ha
generato. Ma se consideriamo come
insieme di partenza le mamme e come
insieme di arrivo i bambini questa è anch’
essa una funzione ?
f:{mamme}→ {bambini}
?

L’ andamento della popolazione italiana
dall’ unità di Italia ad oggi è una funzione
che presenta come dominio gli anni dal
1861 ai giorni nostri e come codominio la
popolazione italiana in ciascun anno.
Ovviamente questa funzione non è
trasformazione algebrica del dominio ma è
ottenuta osservando empiricamente la
popolazione italiana nel trascorrere degli
anni.
Funzioni suriettive, iniettive e biettive, :
dominio A: l'insieme su cui una funzione è definita
codominio B: l'insieme di valori che una funzione può assumere
immagine: l'insieme di valori che una funzione assume, ovvero gli
elementi b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del
dominio A tale che f(a)=b
funzione suriettiva: quando l'immagine coincide col codominio, cioè
per ogni elemento b del codominio per i quali esiste almeno un
elemento a del dominio A tale che f(a)=b
funzione iniettiva: quando elementi distinti del dominio hanno
un'immagine distinta, cioè ogni elemento del codominio corrisponde a un
solo o a nessun elemento del dominio.
una funzione allo stesso tempo iniettiva e suriettiva è biettiva
funzione biettiva: o corrispondenza biunivoca, è una funzione che a
ogni elemento del dominio A corrisponde uno e un solo elemento del
codominio B, e a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento
di A.




Funzioni biiettive posseggono l’ inversa:
Si considera la seguente funzione biiettiva:
f: A→B. Chiameremo funzione inversa:
f—1(B) = A
Ovvero:
f ( B )  a  A / f ( a )  B
1
ESEMPI
SURIETTIVE




A={bambini}; B = {mamme} ; ƒ: "essere figlio di"
Ogni mamma (per definizione!) lo è di qualche bambino . Un figlio
purtroppo può essere orfano di madre ma se si ha una mamma questa è unica,
non esiste una mamma che non abbia un figlio (non stiamo qui a precisare le
tragedie che possono capitare..).
INIETTIVE




A: {donne}; B: {uomini}; ƒ: (in un paese monogamico) “essere sposata con"
Ogni uomo (elemento del codominio) può essere sposato con una o nessuna donna
(elemento del dominio),
non accade mai che due donne (elementi del dominio) siano sposate con lo stesso
uomo (elemento del codominio).
Ovviamente stiamo parlando di paesi monogami.
BIIETTIVE
codice fiscale (fare esempio)
Gran parte del nostro corso si occuperà di funzioni reali di una variabile reale ovvero
di funzioni f con dominio costituito da numeri reali se non da tutti i numeri reali e un
codominio costituito dai numeri reali, dunque:
f : AR B R
Per queste funzioni è dunque essenziale stabilire i valori che definiscono il dominio
della funzione. Il dominio della funzione viene chiamato Campo di Esistenza.
Esempio: la funzione :
1
y
x
Dunque il suo Campo di Esistenza è:
La funzione:
y  x2  1
è definita per tutti i reali ad eccezione di 0.
R / 0
ha come Campo di Esistenza :
R /  1  x  1