Transcript La storia delle coniche

Le coniche
Storia e applicazioni
Di Anna Brambilla 3°E
Apollonio di Perga
Keplero
Galileo
Newton
Menecmo
Le coniche
Applicazioni
moderne
Applicazioni
nell’arte
Cartesio
Pascal
Fermat
Ellisse
L'ellisse è il luogo dei punti del piano le
cui distanze dai due fuochi hanno
somma costante, uguale a 2a, dove a
rappresenta il semiasse maggiore.
L’ombra
dell’ellisse
proiettata
con un
pallone e
una torcia
Equazione dell’ellisse:
Circonferenza
Scelti un punto C del piano ed un numero reale
positivo r, si definisce circonferenza di centro C
e raggio r il luogo geometrico dei punti del
piano aventi distanza da C uguale a r.
Equazione della circonferenza:
L’ombra della circonferenza proiettata con un
pallone e una torcia.
Parabola
La parabola è il luogo dei punti del piano
le cui distanze da un fuoco e dalla
relativa direttrice hanno rapporto
costante uguale ad e (l’eccentricità della
parabola).
Equazione della parabola:
y = ax2 + bx + c
L’ombra della parabola proiettata con un
pallone e una torcia
Iperbole
L'iperbole è il luogo dei punti le cui
distanze dai due fuochi hanno
differenza costante in valore
assoluto, uguale a 2a (dove a indica
il semiasse traverso).
Equazione dell’iperbole:
L’ombra dell’iperbole proiettata
con un pallone e una torcia.
Menecmo
380 a. C. circa Asia Minore- 320 a. C. circa
Menecmo è famoso per aver scopeto le coniche.
Le scoprì casualmente cercando di risolvere il
Questo problema è uno di
problema della duplicazione del cubo.
classici problemi
dell’antichità.
Si tratta di trovare il lato di
un cubo che abbia il volume
doppio rispetto a quello di un
cubo dato.
Sezioni coniche
Menecmo fu il primo a mostrare che ellisse, parabola ed iperbole si potevano
ottenere mediante la sezione di un cono con un piano. Menecmo utilizzava
però un piano perpendicolare alla generatrice del cono, facendo variare la
generatrice del cono stessa.
Se l’angolo al
vertice del
cono è
ottusangolo, si
ottiene
l'amblitome
(iperbole).
Se il triangolo
per l’asse è
isoscele e
acutangolo, si
ottiene
l'oxitome
(ellisse).
Se il triangolo
per l’asse è
rettangolo
isoscele, si
ottiene
l'ortotome
(parabola).
Apollonio di Perga
262 a C Perga - 190 a C Alessandria
Apollonio è passato alla storia come Grande
Geometra. La sua opera più famosa sono Le
coniche. È anche conosciuto per il cerchio di
Apollonio.
Cono a doppia falda
Apollonio dimostrò che
non era necessario
prendere sezioni
perpendicolari a un
elemento del cono, che
da un unico cono si
potevano ottenere tutte
le sezioni coniche.
Inoltre affermò che il
cono non doveva essere
necessariamente retto e
sostituì il cono con una
falda di Menecmo, con il
cono a doppia falda.
Le coniche:
La prima edizione delle coniche è stata scritta a
Pergamo. Era composta da 8 libri. I primi 4
contengono informazioni sulle coniche che
erano già note a Euclide. I libri dal 5 al 7
introducono nuovi aspetti e sono giunti a noi
attraverso gli arabi. L’ultimo è stato perduto.
Apollonio, nelle Coniche,
introdusse i termini:
Ellisse = mancanza;
parabola = mettere accanto;
iperbole = andare oltre.
Applicazione delle coniche all’arte: i
romani
I Romani usavano le coniche, in particolare l’ellisse, per le piante
degli anfiteatri.
L’anfiteatro di Pompei, il più antico
anfiteatro in pietra ha la pianta a
forma di ellisse.
L’anfiteatro Flavio, noto col nome di
Colosseo, ha anch’esso la pianta a forma
di ellisse.
Applicazione delle coniche all’arte: il
rinascimento
Le coniche acquistano grande importanza
nell’arte, in particolare nel periodo del
rinascimento e del barocco. La linea curva
prevale sulla linea retta. Nel Barocco ha
particolare importanza l’uso dell’ellisse.
Pianta ellittica della chiesa di S.
Andrea al Quirinale
Applicazione delle coniche all’arte:
scultura e pittura
Modigliani
Donna con cravatta nera
Il volto della scultura è contenuto in
un’ellisse.
Il volto
della donna
dipinta è
contornato
da una
parabola
Domenico Rambelli
Testa di Mitya Ciarlantini
Keplero
27 Dicembre 1571 a Weil der Stadt - 15 Novembre
1630 a Regensburg
Frequentò l’università di Tubinga dove studiò
principalmente teologia e filosofia, ma anche
astronomia e matematica. E' famoso soprattutto per le
cosiddette leggi di Keplero ed è grazie a queste che
viene considerato il fondatore della fisica astronomica.
Keplero formulò per le coniche un principio di
continuità.
Per lui i diversi tipi di coniche formavano un unico
insieme, senza interruzioni.
Le leggi di Keplero
I Legge: i pianeti si muovono in semplici
orbite ellittiche delle quali il Sole occupa
uno dei due fuochi.
II Legge: La linea retta che congiunge il pianeta
con il sole forma aree uguali in tempi uguali,
mentre il pianeta descrive la sua orbita.
III Legge: Detti T1 e T2 i periodi necessari a due
pianeti per compiere le loro orbite ed R1 e
R2 le rispettive distanze medie fra i pianeti e il
Sole, T1²/T2² = R1³/ R2³.
L’orbita di Marte
secondo Keplero.
Le prime due si trovano nell'opera Astronomia Nova (Praga,
1609). La terza apparve nell'opera Armonices mundi (1619).
Galileo Galilei
1564 - 1642
Galileo intraprese importanti studi sui vari
tipi di moto. Si soffermò in particolare sul
moto parabolico e circolare.
Galileo dimostrò
che la traiettoria
del moto di un
proiettile è una
parabola.
Isaac Newton
1642 - 1727
Newton intraprese numerosi studi sul moto
orbitale dei pianeti. In particolare dimostrò che
la forza necessaria a far percorrere a un corpo
un’orbita ellittica deve variare come l’inverso
del quadrato della distanza.
Newton costruì un telescopio usando specchi
parabolici e specchi ellittici (sostituì poi lo specchio
ellittico con uno iperbolico).
Cartesio
(René Descartes)
1596 - 1650
Cercando di risolvere il problema di Pappo
nell’opera Geometrie, Cartesio scoprì l’equazione
generica di una conica passante per l’origine.
L’equazione generica di una conica
passante per l’origine :
Problema di Pappo
con 4 rette.
Pierre de Fermat
1601 - 1665
Fermat sapeva rappresentare curve matematiche
tramite equazioni prima di Cartesio. Dimostrò che
l’equazione generica di una conica è un equazione di
secondo grado in x e y.
Fermat si occupò del problema delle tangenti ad una
curva data e lo risolse in modo diverso da Cartesio.
problema delle tangenti
Blaise Pascal
1623 - 1662
Scrive il “Saggio sulle sezioni coniche” in cui
formulò il teorema di Pascal.
Questo afferma che i sei vertici di un esagramma
giacciono su una conica se e solo se i punti
d’intersezione delle tre coppie di lati opposti
giacciono su una stessa retta.
Teorema di Pascal
Applicazioni delle coniche
Specchi sferici
Il fuoco F rappresenta la sorgente
luminosa. I raggi riflessi escono
parallelamente e, dopo aver colpito la
superficie, si concentrano nel fuoco.
Antenna parabolica
Gli specchi sferici sono poi sostituiti da
specchi a sezione parabolica.
Sitografia:
www.db.unibo.it
www.dti.unimi.it
www.unife.it
www.itg-rondani.it
www.electroyou.it
www.museo.unimo.it
www.wikipedia.org
www.atuttascuola.it
www.liceartcs.it
www.itis-molinari.eu