Transcript Морфологический анализ изображений

Морфологические методы
анализа изображений


Пытьев Юрий Петрович
Чуличков Алексей Иванович

МГУ имени М.В.Ломоносова,
Физический факультет

Кафедра компьютерных методов физики

Что такое методы
морфологического анализа

Методы решения задач узнавания,
классификации объектов, оценки
параметров объектов, выделения
различия в сценах по их
изображениям (сигналам). Основаны
на понятии формы сигнала.
Что такое форма

Неформально – это то, что
присутствует во всех изображениях
данной сцены или объекта не
зависимо от условий их регистрации
Что такое форма
На изображениях представлена одна и та же сцена, но яркости fi(x) ,
i=1,2, различны в каждой точке x поля зрения. Неизменна форма,
определяемая как инвариант преобразований яркости изображения,
моделирующих изменение условий его регистрации.
Пример 1
Сцены отличаются наличием предмета – на правом изображении
отсутствует бусинка в левой нижней четверти поля зрения.
Пример 2
Как узнать, где на поле зрения
расположены изображения цифры «5»?
Пример 3
Как оценить
координаты центров
и размеры
кремниевых
наноструктур?
Пример 4
Как выделить
границы областей
поля зрения,
отличающихся
цветом?
Пример 5
Дисперсия яркости
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
Положение фокуса
Как оценить
профиль поверхности
по набору изображений
с разным положением
фокуса?
Пример 6
Как совместить участки различных кривых?
Что такое морфологический
анализ
Обозначим f   L2  X  - изображение сцены
Формой изображения f   L2  X  назовем множество


V f  F  f , F    f ,
где  f – класс всех возможных преобразований яркости при изменении
условий наблюдения. Класс  f выбирается так, что множество V f
выпукло и замкнуто в L2(X). Форма изображения определяет проектор P f
на V f как решение задачи наилучшего приближения в L2(X):
для любого g  L2  X 
Pf g  g
2

 inf f ' g
2

f 'V f .
Пример
N


V f   f ( x)   ci  i ( x),ci   ,  ,i  1,...,N  .


i 1
N
g , i 
Pf g  
2 i
i 1
i
Форма изображения
Узнавание изображений
Правило узнавания: g  L2 ( X ) - предъявленное изображение. Обозначим
 - проектор на множество изображений, равных константе. Тогда
Pf g  g - то, что отличает g от f по форме, g  Pf g - то, что отличает
проекцию Pf g , имеющую форму f , от константы. Дробь
t(g) 
g  Pf g
 g  Pf g
2
2
тем меньше, чем отличие g от f по форме, и чем
больше отличие Pf g от константы; величина t (g ) не меняется при
замене g  F  g .
Узнавание изображений
Графики t (g ) при сравнении формы подвижного фрагмента изображения по
изображению ряда цифр в зависимости от сдвига фрагмента по полю зрения.
Слева – фрагмент имеет форму цифры «3», справа – форму цифры «8».
Поиск изображения буквы
«А»
График t (g ) в зависимости от
положения фрагмента изображения
буквы «А» на поле зрения.
Морфологическая
классификация изображений
Pi-проектор на форму i-го класса.
Правило классификации:
ti ( g)  t j ( g), j  i
t(g) 
g  Pf g
 g  Pf g
2
2
Морфологическая
классификация изображений
Частота правильной работы морфологического
алгоритма распознавания в зависимости от величины
отношения нормы разности зашумленного и
незашумленного изображений к норме
незашумленного изображения. Аддитивный шум.
Аддитивный шум:
20%
40%
60%
80%
100%
120
R=1
100
80
R=1
R=3
R=5
P%
5%
60
R=5
R=7
R=9
40
R=9
20
R=25
0
0
0,1
0,2
t
0,3
0,4
Выделение отличий в форме
Pf
- проектор на множество изображений,
форма которых не сложнее формы f .
P f g - наилучшее приближение изображения g
изображениями, форма которых не сложнее формы f .
g  P f g - все, что отличает g по форме от f .
Выделение отличий в форме
f
f-g
Pfg-g
g
Выделение отличий в форме
Слева направо:
Исходное изображение
Изображение с «мешающим объектом»
Область поля зрения, занятая «мешающим объектом»
Результат вычитания первого изображения из второго
Узнавание изображения
заданной формы
f – изображение (сигнал) заданной формы. V0 - форма
изображения константы.
Гипотеза
g имеет форму f и отлично от константы
Морфологический критерий:
t(g) 
g  Pf g
2
P0 g  Pf g
2 >d
Детектор края одноцветной
области
Нахождение известного
объекта на неизвестном фоне
Поиск цифры «5» на изображении календаря
Ламбертовы объекты
Определение. Объект называется ламбертовым в точке r, если яркость I(r,е,s) в этой
точке не зависит от направления наблюдения при любом характере освещения
(I(r, е, s) = I(r,s )).
Пусть на объект падает излучение с суммарным световым вектором s; представим его
в виде линейной комбинации световых векторов базовых излучений s1, s 2 , s3:
S=a1s1+a 2 s 2 +a3s3
Тогда в силу ламбертовости объекта линейной комбинации базовых световых
векторов соответствует линейная комбинация базовых изображений с теми же
коэффициентами
f(x) = a 1 f 1 (x)+a 2 f 2 (x)+a 3 f 3 (x), x  X, a i  (−∞,∞), i = 1,2,3. (13)
Естественно выбрать базовые освещения так, чтобы изображения, fi(∙), i = 1,2,3, были
линейно независимыми в линейном пространстве всех изображений. Таким образом,
множество изображений ламбертова объекта (то есть форма изображения ламбертова
объекта) целиком содержится в трехмерном подпространстве линейного пространства
изображений.
Использования свойств ламбертовости
объектов в морфологических методах








28730
165
69
9
6
4
4
3
Стохастические модели
m=f+,
шум ~ N(0,2I), 2 известно; f – изображение (сигнал)
заданной формы.
Гипотеза
H: ~N(a,2I),
Альтернатива
a принадлежит Vf
K: ~ N(a,2I), a не принадлежит Vf
Морфологический критерий:
║-Pf║>d.
Стохастические модели
m=f+,
 ~ N(0,2I) – нормально распределенный шум
неизвестной
дисперсии,
предполагается,
что
f
–
изображение (сигнал) заданной формы. V0 - форма
изображения константы.
Гипотеза


H : m ~ N a, 2 I , a  V f \V0

Морфологический критерий:
t(g) 
g  Pf g

K : m ~ N a, 2 I , a V0 .
Альтернатива
2
P0 g  Pf g
2
>d.
Множества, оценивающие
параметр формы
2
Мера согласия реализации  с гипотезой ~ N ( f ,  I ) , f V0 : надежность
2
2
 0 ( )  P   P0    P0   , где ~ N (, 2 I ) , P  - проекция 

0


на V0 , а  V0 - наиболее близкая к  точка множества V0 :   P0  .
Множество, оценивающее значение параметра формы  по результату
измерения =f+:
I p ( )     :      1  p.
Иными словами, в оценивающее множество попадают те и только те значения
   , для которых гипотеза f V достаточно хорошо согласуется с
результатом измерения . Параметр p в этом случае является оценкой снизу
вероятности P(0  I p ( ) f  V0 ) включения истинного значения 0 параметра
формы в оценивающее множество: чем меньше пороговые значения в (2), тем
больше вероятность P(0  I p ( ) f  V0 ) .
Множества, оценивающие параметр
формы при неизвестной дисперсии
ошибки измерений
Гипотеза


H  :  ~ N a, 2 I ,
альтернатива

a  V \ V0 ,

K :  ~ N a, 2 I , a V0 .
Морфологический критерий:


S  z  R n :      ,
  P 
2
где      P   P 

0
Надежность:
2

 H     supP          ~ N (, 2 I ),  V \ V0 ,  2  0 .
Пример
Параметры кремниевых наноструктур.
Показаны множества, оценивающие координаты центра круга
(в центре) и радиуса (справа) заданного уровня. Адекватность
модели определяется уровнем, при котором оценивающие
множества не пусты.
Форма как конус
Форма - конус в пространстве изображений:
V   f  ( f1, f 2 ,..., f n ) : f i   , , i  1,...,n, f1  f 2  ...  f n ,
где «  » означает либо «  », либо «  »
Пример
Дисперсия яркости
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
Положение фокуса
8
10
Пример
Реконструированный рельеф
поверхности царапины в
металле на контактной
площадке, оставленной
зондом. Размер поля
зрения 24х30 мкм.
Погрешность измерения
высоты рельефа
поверхности 0.1 мкм.
Высота рельефа - 3 мкм.
=0.85
Пример
Оценка параметра сдвига одного сигнала относительно другого. На верхнем рисунке – графики сигналов.
На нижнем – график оценки сдвига по локальному участку сигналов в зависимости от расположения этого
локального участка на оси абсцисс.
Пример
Морфологическое выделение особых точек на графике (максимума, минимума, перегиба)
На графике зависимостях интенсивности УФ излучения клеток водоросли от времени выделенные
точки показаны кружками
Сравнение формы изображений,
искаженных шумом



=f+,
=g+
Сравнение по форме:
F-? g=F*f
Морфологическая фильтрация
Неискаженный сигнал
Справа: зашумленный сигнал и результат фильтрации
Сверху вниз: скользящее среднее, медианная фильтрация,
морфологическая фильтрация
Морфологическая фильтрация
Слева вверху – исходное изображение, справа - результат фильтрации для
разного отношения шум-сигнал
Морфологическая фильтрация
Слева – исходное изображение, справа – изображение той же
Сцены с новым объектом
Разность двух изображений и оценка множества
точек поля зрения, занимаемого изображением
нового объекта
Морфологическая разность двух изображений и оценка множества
точек поля зрения, занимаемого изображением нового объекта
Морфологическая фильтрация
фона
а – исходный сигнал, б – пунктиром нанесен выделенный фон, в и г – то же
самое для другого сигнала.
Слева – график исходного изображения, справа - результат фильтрации фона
(отфильтрованное изображение)
Морфологическое сжатие
изображений
Морфологическое сжатие
изображений
Фрагмент изображения,
сжатого алгоритмами
(сверху вниз):
исходное изображение;
JPEG, сжатие в 57 раз;
CCITT4, сжатие в 101 раз;
морфологический метод,
сжатие в 44 раза;
морфологический метод,
сжатие в 58 раз;
морфологический метод,
сжатие в 83 раза;
морфологический метод,
сжатие в 150 раз.
Поиск области
интерлейсинга
Вверху слева – изображение, искаженное интерлейсингом, справа – точки
поля зрения, подозрительные на интерлейсинг.
Внизу слева – выделенная область интерлейсинга, справа – результат
коррекции интерлейсинга
Поиск отличий по форме
Первые два изображения отличающиеся наличием журнала на столе на
втором изображении. Третье изображение - результаты выделения отличий
сцен по цветным изображениям. Четвертое – результат выделения объекта по
полутоновым изображениям.
Спасибо за внимание



Тел. (495) 939-13-32
Тел. (495) 939-41-78
E-mail: [email protected]