Transcript n 1
Teoría de Probabilidad
La definición de probabilidad como henos dada anteriormente es
suficiente para trabajar con espacios muestrales finitos
Axioma 1.
P( E ) 0
Axioma 2.
P( S ) 1
Axioma 3
P( E F ) P( E) P( F ) si E F
Sin embargo para espacios muestrales infinitos numerables, se hace
necesario realizar una extensión al axioma 3. En rigor:
Axioma 3` Para cualquier sucesión infinita de eventos mutuamente
excluyentes, E1, E2, ..., se tiene que
P Ei P( Ei )
i 1 i 1
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
En lo que sigue en estos apuntes, y la verdad es que será norma,
trabajaremos con problemas concretos para después generalizar. Vamos a
entregar una metodología para el cálculo de la cardinalidad de un espacio
muestral finito y cardinalidad de eventos asociados a dicho espacio
muestral.
Supongamos que tenemos una urna con M bolitas numeradas
del 1 al M
1
2
5
3
4
M-1
...
M
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
1
2
5
3
4
M-1
...
M
Supongamos que extraemos bolitas de la urna de una en una, hasta completar
n extracciones. Si este es el caso decimos que hemos extraído una muestra
ordenada de tamaño n. Es claro que debemos especificar si al extraer la
muestra se devolvían o no las bolitas a la urna.
Se dice que la muestra se hizo con reemplazo si después de cada extracción se
registra el número de la bolita y se devuelve a la urna. Ahora se dice que la
muestra se obtuvo sin reemplazo si la bola extraída no se devuelve a la urna.
Nota: si la muestra se obtiene sin reemplazo es claro que n debe ser menor o
igual a M. Y si la muestra es con reemplazo no hay restricciones para n
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
1
2
5
3
4
M-1
...
M
Cualquiera sea la forma de extracción, con o sin reemplazo, un resultado
de la extracción de tamaño n se puede escribir como:
( z1 , z2 ,
, zn )
Donde zi representa el número de la i-ésima bolita extraida.
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
1
2
5
3
4
M-1
...
M
¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n sin
reemplazo (n menor o igual a M)?
Nº resultados
para cada
extracción
Nº extracción
M
M-1
1ª
2ª
M-2
...
M – (n – 1)
nª
3ª
El número de elementos es M (M – 1) (M – 2) ... (M – n + 1)
M!
n!
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
1
2
5
3
4
M-1
...
M
¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n
con reemplazo?
Nº resultados
para cada
extracción
Nº extracción
M
M
M
1ª
2ª
3ª
El número de elementos es M M M ... M M n
...
M
nª
Teoría de Probabilidad
El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
¿Cuál es el número de subconjuntos de un conjunto?
Sea S = {1, 2, 3, ..., N} un conjunto cualquiera
¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad k podemos formar a partir de S,
para k = 0, 1, 2, ..., N?
Cada “cajita”, como antes, indica el número de opciones que puede ser
ocupado por un elemento de un determinado subconjunto de S de
tamaño k
N
N-1
1º
2º
N-2
3º
...
N–k+1
kº
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
N
N-1
1º
2º
N-2
...
N–k+1
3º
kº
El valor N! / (N-k)! nos indica el número de muestras de tamaño k, sin
reemplazo, que podemos obtener de N elementos diferentes.
Por otro lado, este número se puede obtener de la siguiente forma. Sea a(k)
el número de subconjuntos de tamaño k. Luego si para cada subconjunto de
tamaño k calculamos todas las posibles permutaciones, que es k!,
obtendremos el número de muestras de tamaño k, sin reemplazo, obtenida de
N elementos diferentes, esto es
N
N!
N!
a( k ) k !
a( k )
( N k )!
( N k )!k ! k
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
Veamos con un ejemplo el razonamiento anterior
Sea S = {a, b, c, d}, vamos a obtener en número de subconjuntos de S
de tamaño k = 3. Sea a(3) el número de subconjuntos de tamaño 3.
En particular {a, b, d} es un subconjunto de tamaño 3, y podemos
identificar a (a, b, c) como una muestra de tamaño 3 extraída de una urna
que contienen a bolitas rotuladas con a, b, c, d.
Nota: observe la diferencia conceptual entre {a, b, d} y (a, b, d)
Las formar de extraer tres bolitas rotuladas con a, b, d son 3! (tres factorial).
De manera que si a(3) es el número de subconjuntos de tamaño 3, se tendrá
que a(3) 3! es el número de muestras de tamaño 3 extraídas de 4 objetos
diferentes, que es 4!/1!, es decir:
4!
4! 4
a(3) 3! a(3)
1!
1!3! 3
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
De manera entonces que el número de subconjuntos de tamaño k, de un
subconjunto de tamaño n es
n
k
Con esto concluimos que el número de todos los subconjuntos de un conjunto
de tamaño n está dado por
n n n
a(k )
k 0
0 1 2
n
un evento imposible
n eventos de
tamaño 1
n
2n
n
“n sobre 2” eventos
de tamaño 2
un evento de
tamaño n
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
Otro problema de conteo que nos será útil es el encontar el número de
particiones de un conjunto de tamaño N, y en particular del conjunto
S = {1, 2, ..., N}. Sea k un entero positivo y sean n1, n2, .., nk enteros
positivos tales que n1 + n2 + ... + nk = N. Por una partición de S, con
respecto a k y n1, n2, .., nk, nos referimos a una divición de S en k
subconjuntos tales que el primer subconjunto tenga tamaño n1, el
segundo n2, y así sucesivamente hasta el k – ésimo subconjunto tenga
tamaño nk
Para resolver este problema nos ayudaremos con N bolitas, donde
trataremos de ubicarlas en k cajitas donde la capacidad de la i-ésima
caja es ni.
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
El número de particiones de un conjunto de tamaño N
...
N bolitas
...
n
1
( )
N
n
1
n
+
(
+
2
)
N-n
1
n
2
...
+
(
n
=N
k
N - (n + ... +n
1
n
k
)
k-1
)
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
El número de particiones de un conjunto de tamaño N
No resulta complicado demostrar que
( )(
N
n
1
) (
N-n
1
n
2
...
N - (n + ... +n
1
n
k
)
k-1
)
=
N!
n ! n ! ... n !
1
2
Que es el número de particiones de un conjunto de tamaño N, en k
subconjuntos y donde cada subconjunto tiene tamaño ni, con i = 1, ..., k; y de
tal forma que n1 + ... + nk = N
k
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El espacio probabilístico y el análisis combinatorio.
El número de particiones de un conjunto de tamaño N
N
N!
n1 !n2 ! nk ! n1n2 nk
Coeficiente multinomial
Son los coeficientes de la expansión multinomial de (a1 + a2 + ... + ak)N
a1 a2
N
N
ak
N
n1 0 n2 0
n1 n2
N
n1 n2
a1 a2
nk
nk 0 n1n2
N
nk N
aknk