Transcript 7. Kelahiran-Kematian

7. RANTAI MARKOV
WAKTU KONTINU
(Kelahiran&Kematian Murni)
Prostok-7-firda
1
Definisi
 X (t ) , t  0 proses stokastik dengan waktu
kontinu dan ruang keadaan diskrit S .
Misal
Jika untuk i, j  S ,
P  X (t  s)  j | X (s)  i, X (u)  x(u), 0  u  s
 P  X (t  s)  j | X (s)  i
 s, t  0,
maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu.
Prostok-7-firda
2
7.1 Proses Kelahiran Murni
Definisi 1 (Shunji Osaki)
Jika proses menghitung N (t ), t  0 adalah
rantai Markov dengan peluang transisi stasioner
dan memenuhi:
1. N (0)  0
2. P( N (t  h)  N (t )  1| N (t )  k )  k h  o(h)
3. P( N (t  h)  N (t )  2 | N (t )  k )  o(h)
maka proses dinamakan proses kelahiran murni
dengan parameter k , k  0,1, 2,...
Prostok-7-firda
3
N (t )
4
3
2
1
t
Realisasi proses kelahiran murni sebagai
proses menghitung.
Prostok-7-firda
4
Tulis peluang transisi stasioner:
Pij (t )  PN (t )  j | N (0)  i (i, j  0,1,2,...)
merupakan peluang transisi dari state i ke state j.
Dengan kondisi awal N (0)  0, maka
Pk (t )  PN (t )  k | N (0)  0 (k  0,1,2,...)
(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang
terjadi pada interval (0,t].
Prostok-7-firda
5
Untuk k = 0,
P0 t  h  PN (t  h)  0
 PN (t )  0, N (t  h)  N (t )  0
 PN (t )  0PN (t  h)  N (t )  0
kenaikan
bebas
kenaikan
stasioner
 P0 (t ) P0 (h)
 P0 (t )(1  0 h  o(h))
Sifat (2),(3)
 P0 (t )  0 hP0 (t )  o(h)
Prostok-7-firda
6
Dari bentuk
P0 t  h  P0 (t )  0 hP0 (t )  o(h)
diperoleh :
P0 (t  h)  P0 (t )
P0 '  t   lim
h 0
h
o( h)
 lim  0 P0 (t ) 
h 0
h
P0 '(t )  0 P0 (t )  P0 (t )  Cet .
Dengan syarat awal P0 (0)  1 P0 (t )
Prostok-7-firda
0t
e
.
7
Untuk k  1,
Pk t  h  PN (t  h)  k 
 P  N (t )  k , N (t  h)  N (t )  0 
 P  N (t )  k  1, N (t  h)  N (t )  1
 P  N (t )  k  2, N (t  h)  N (t )  2 
 P( N (t )  k ) P( N (h)  0)  P( N (t )  k 1) P( N (h)  1)
 P( N (t )  k  2) P( N (h)  2)
 Pk (t ) P0 (h)  Pk 1 (t ) P1 (h)  o(h)
 Pk (t )(1  k h  o(h))  Pk 1 (t )(k 1h  o(h))  o(h)
Prostok-7-firda
8
atau
Pk t  h  (1  k h)Pk (t )  k 1hPk 1 (t )  o(h)
Dari sini diperoleh :
Pk (t  h)  Pk (t )
P 'k  t   lim
 k Pk (t )  k 1 Pk 1 (t )
h0
h
PDB linear
Atau ditulis,
P 'k (t )  k Pk (t )  k 1 Pk 1 (t )
Pk (t )  k 1e
 k t
 k x

  e Pk 1 ( x)dx  , k  1, 2,... (*)
0

t
Prostok-7-firda
9
Jika i   j untuk i  j maka persamaan (*)
memberikan hasil
(1)
0t
P0 (t )  e
.
 1
1
 0t
 1t 
(2) P1 (t )  0 
e 
e .
0  1
 1  0

Pk (t )  P N (t )  k | X (0)  0


 0t
 k t
P
(
t
)



...

B
e

...

B
e
,k 1
(3) k
0 1
k 1
0, k
k ,k
dimana
Prostok-7-firda
10
B0,k
1

,
 1  0  ... k  0 
Bi ,k 
Bk ,k
1
 0  i  ... i1  i  i1  i  ... k  i 
,
1

.
 0  k  ...  k 1  k 
Prostok-7-firda
11
Teorema 1
Untuk proses kelahiran murni N (t ), t  0 dengan
parameter k , k  0,1,2,...,
Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran)
X k 1  k  0,1,2,...
saling bebas dan berdistribusi eksponensial
dengan parameter k  mean  1/ k .
Prostok-7-firda
12
Teorema 2
Untuk proses kelahiran murni N (t ), t  0 dengan
parameter k , k  0,1,2,...,

 P (t )  1  t  0,
k 0
k

jika dan hanya jika
1

k 0
 .
k
Prostok-7-firda
13
7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni
1. Proses Poisson yang mempunyai laju
kelahiran konstan, n   , n  0.
Dalam hal ini,
k  t
 t  e
Pk (t ) 
, k  0,1, 2,...
k!
dimana,
  laju kelahiran per unit waktu
E ( N (t ))  t  jumlah kelahiran yang diperkirakan
E ( X (t ))  1/   rata  rata kelahiran
Prostok-7-firda
14
Contoh
Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte
kelahiran mengikuti proses Poisson dengan
laju 5,5 akte/jam.
Tentukan:
a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.
b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan
peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah
dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama.
c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara
pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari
½ jam.
Prostok-7-firda
15
Misal
N (t )  Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t.
a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.
5,5
5,5
e
 
0
P0 (1)  P( N (1)  0) 
0!
 e5,5 .
b. P  N (3)  N  2  35  25  P  N (1)  10
 5,5
10
P10 (1) 
e5,5
10!
.
Prostok-7-firda
16
c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X(t)
P( X k  t )  1  P( X k  t )  1  P( N (t )  0)  1  et
P( X 5  0,5)  1  P( X 5  0,5)
 1  P( N (0,5)  0)
 1  e 5,5(0,5)
1  e2,75 .
Prostok-7-firda
17
Contoh
Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0
yang mempunyai parameter
0  1, 1  3, 2  2.
Tentukan Pk (t ), k  0,1, 2
Jawab:
Untuk k=0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12.
P0 (t )  e
0t
e
1.t
t
e .
Prostok-7-firda
18
 1
1
 0t
 1t 
P1 (t )  0 
e 
e .
0  1
 1  0

1 3t 
 1 t
 1
e 
e .
1 3
 3 1

1 t
  e  e 3 t  .
2
1
  P0 (t )  e3t  .
2
Prostok-7-firda
19
Untuk k=2, gunakan persamaan (3) slide 12,

P2 (t )  0 1 B0,2 e
 0t
 B1,2 e
 1t
 B2,2 e
 2t

dimana
B0,2 
B1,2
1
 1  0  2  0 
1
1

 ,
(3  1)(2  1) 2
1
1


 ,
 0  1  2  1  (1  3)(2  3) 2
B2,2 
1
1
 0  2  1  2 
1

 1.
(1  2)(3  2)
Prostok-7-firda
20
Sehingga,
 1 t 1 3t
2t 
P2 (t )  1(3)  e  e  e 
2
2

3 t
  e  e 3t  2e 2t 
2
Prostok-7-firda
21
2. Proses Yule
Jika N (t ) menyatakan jumlah populasi pada
saat t, maka
N (t ), t  0 adalah proses kelahiran murni
dengan laju n  n , n  0.
Prostok-7-firda
22
Soal latihan
1. Sebuah proses kelahiran murni dengan
N(0)=0 yang mempunyai parameter
0  2, 1  3, 2  1, 3  4.
Tentukan Pk (t ), k  0,1, 2, 3.
Prostok-7-firda
23
2. Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang
mempunyai parameter kelahiran k    k 
untuk k=0, 1, 2,… dimana  merupakan
kelajuan imigrasi dalam populasi dan β
sebagai kelajuan kelahiran individu.
Asumsikan bahwa N(0)=0,
Tentukan P2 (t ).
Prostok-7-firda
24
Contoh Proses Kelahiran Murni
Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial
dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit.
Tentukan :
a)Rata-rata kelahiran per tahun.
b)Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari.
c) Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir
periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui
bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam
pertama.
d)Asumsikan pegawai memasukkan data akte
kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte
kelahiran. Berapa peluang pegawai akan
memasukkan sekumpulan data baru setiap jam.
Prostok-7-firda
25
Jawab :
Misal N (t ) menyatakan banyaknya kelahiran.
X (t ) menyatakan waktu antar kelahiran.
X (t )
EXP( )  E( X (t )) 
1

 12 menit .
a) rata-rata kelahiran per tahun  E  N (t )
1
   60  24  120 kelahiran per hari.
12
t  1tahun  365 hari
 E  N (t )  t  120  365  43.800
Jadi rata-rata kelahiran
bayi 43.800 bayi/tahun.26
Prostok-7-firda
b) Peluang tidak ada kelahiran perhari
 t

t
e
 
k
Pk (t ) 
k!
, k  0,1, 2,...
t  1, k  0,   120
120
120
e
 
0
 P0 (1) 
0!
e
120
 0.
Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran.
Prostok-7-firda
27
c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir
periode (3jam), dengan diketahui ada
40 akte di 2 jam pertama.
P  N (3)  N (2)  50  40 ,   12/ menit  5/ jam
 P  N (1)  10   P10 (1) 
5
5
e
 
 
10
e 
10!
,  5
10

10!
 0,01813.
Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir
kira kira 1,8%. Prostok-7-firda
28
d) Jika data akte di entri setelah terkumpul
5 data akte, berapa peluang pegawai akan
mengentri sekumpulan data baru setiap jam?
 Minimal 5 data akte  k=0,1,2,3,4,5
P  N (t )  5  1  P  N (t )  5
 1  P0 (1)  P1 (1)  P2 (1)  P3 (1)  P4 (1)
0
1
2
3
4


5
5
5
5
5
5
 1  e        0,559.
 0! 1! 2! 3! 4! 
Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiap
jam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akte
adalah 60%.
Prostok-7-firda
29
7.3 Proses Kematian Murni
Definisi 1 (Shunji Osaki)
Jika proses stokastik  X (t ), t  0 adalah
rantai Markov dengan peluang transisi stasioner,
ruang keadaan k , k  0,1, 2,..., n , memenuhi:
1. X (0)  n
2. P( X (t  h)  X (t )  1| X (t )  k )  k h  o(h)
3. P( X (t  h)  X (t )  2 | X (t )  k )  o(h)
maka proses dinamakan proses kematian murni
dengan parameter k , k  1, 2,..., n.
Prostok-7-firda
30
X (t )
4
3
2
1
t
Realisasi proses kematian murni
Prostok-7-firda
31
Tulis peluang transisi dengan kondisi awal X (0)  n,
Pk (t )  P N (t )  k | X (0)  n (k  0,1, 2,...)
(menyatakan peluang bahwa ada k unit yang
tersisa pada interval (0,t].
Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan
Kolmogorov diperoleh:
Pn' (t )  n Pn (t )
Pk ' (t )  k Pk (t )  k 1 Pk 1 (t ) (k  1, 2,..., n  1)
P0' (t )  1 P1 (t )
Prostok-7-firda
32
Khusus jika k   (k  1, 2,..., n) , Pn (0)  1,
Pk (0)  0 (k  1, 2,..., n  1), maka
  t  e  t
Pk (t ) 
 n  k !
nk
, (k  1, 2,..., n)
dan
n
n
k 1
k 1
P0 (t )  1   Pk (t )  1  
n 1
1 
k 0
 t 
k
e
 t 
nk
e t
 n  k !
 t
k!
Prostok-7-firda
33
Jika parameter kematian k berbeda untuk setiap k,
artinya k   j  k  j, maka
PN (t )  e
 N t
Untuk n  N ,
Pn (t )  P  X (t )  n | X (0)  N
 n1 n 2 ...N  An,n e nt  ...  AN ,n e N t 
dimana
Ak ,n 
(  N  k )...( k 1
1
 k )(k 1  k )...(n  k )
Prostok-7-firda
34
7.4 Contoh Kematian Murni
1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18
lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata
toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari,
dengan permintaan yang mengikuti distribusi
Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin,
pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan
selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir
pekan akan dibuang.
Prostok-7-firda
35
• Tentukan:
a)Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5
lusin.
b)Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari
c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari
kedua
d)Peluang tidak ada mawar yang terjual selama
hari pertama
Prostok-7-firda
36
Jawab:
 N  banyak mawar di awal pekan = 18 lusin
   laju permintaan = 3 per hari
•Peluang n unit yang tersisa selama periode t :
Pn (t ) 
 t 
N n
e t
 N  n !
n
P0 (t )  1  
k 1
 t 
, (n  1, 2,..., N )
N n
e t
 N  n !
Prostok-7-firda
37
a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin
P  N (t )  5  Pn5 (t )
 P0 (t )  P1 (t )  P2 (t )  P3 (t )  P4 (t )  P5 (t )
18
1 
 3t 
18 n
e
3t
18  n !
18 n 3t
18 3t
  e
1 
n 6 18  n  !
n 1
5

 3t 
i 1
Prostok-7-firda
18i
e3t
18  i !
38
Pn5 (1)  3,116  10
4
Pn5 (2)  9,3213  103
Pn5 (3)  0,124768
Pn5 (4)  0, 4243
Pn5 (5)  0, 7323
Pn5 (6)  0, 9085
Pn5 (7)  0, 9754
Prostok-7-firda
39
b) Peluang persediaan habis dalam waktu
3 hari
Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari
adalah 0,00608
40
c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir
hari kedua
Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui
µt=6
n
0
1
Pn(2)
3,932x10-5
1,1796x10-4
…
18
2,4787x10-3
Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di
akhir hari kedua
Prostok-7-firda
41
d) Peluang tidak ada mawar yang terjual
pada hari pertama
Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual
pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%).
Prostok-7-firda
42
Contoh Proses Kematian Murni
2. Suatu proses kematian murni dimulai dari X(0)=3,
dengan parameter kematian
0  0, 1  3, 2  2, 3  5.
Tentukan Pn (t ), untuk n  0,1, 2,3.
Prostok-7-firda
43
Jawab:
 untuk n=0,
P0 (t )  P  X (t )  0 | X (0)  3
 0t
 3t
 1t
 2 t

 1 2 3  A0,0 e
 A1,0 e  A2,0 e
 A3,0 e 
dimana:
1
A0,0 
( 3  0 )( 2  0 )( 1  0 )
1
1


(5  0)(2  0)(3  0) 30
Prostok-7-firda
44
1
1
1
A1,0 


( 3  1 )( 2  1 )( 0  1 ) 2(1)(3) 6
A2,0
1
1
1



( 3  2 )( 1  2 )( 0  2 ) 3.1.(2)
6
A3,0
1
1
1



( 2  3 )( 1  3 )( 0  3 ) (3)(2)(5)
30
Jadi
1 5t 
 1 0t 1 3t 1 2t
P0 (t )  3.2.5  e  e  e  e 
6
6
30
 30

 1  5e3t  5e2t  e5t
Prostok-7-firda
45
 untuk n=1,
P1 (t )  P  X (t )  1| X (0)  3
 2 3  A1,1e
 1t
 A2,1e
 2t
 A3,1e
 3t

dimana:
1
1
1
A1,1 

 .
( 3  1 )( 2  1 ) 2(1)
2
1
1 1
A2,1 

 .
( 3  2 )( 1  2 ) 3.1 3
Prostok-7-firda
46
1
1
1
A3,1 

 .
( 2  3 )( 1  3 ) (3)(2) 6
Jadi
 1 3t 1 2t 1 5t 
P1 (t )  2.5   e  e  e 
3
6
 2

 5e
3t
10 2t 10 5t
 e  e
3
6
Prostok-7-firda
47
 untuk n=2,
P2 (t )  P  X (t )  2 | X (0)  3
 3  A2,2 e
 2 t
 A3,2 e
 3t

dimana:
A2,2
1
1

 .
( 3   2 ) 3
A3,2
1
1

 .
(  2  3 )
3
Prostok-7-firda
48
Jadi
 1 2t 1 5t 
P2 (t )  5  e  e 
3
3

 untuk n=3,
P3 (t )  P  X (t )  3| X (0)  3
e
 3t
5t
e .
Prostok-7-firda
49
PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN
Definisi (Shunji Osaki)


Jika proses stokastik X (t ), t  0 adalah
rantai Markov dengan peluang transisi stasioner ,
dan memenuhi:
1. X (0)  i
2. P( X (t  h)  X (t )  1| X (t )  k )  k h  o(h)
3. P( X (t  h)  X (t )  1| X (t )  k )  k h  o(h)
4. P(dua atau lebih kejadian terjadi pada (t , t  h) | X (t )  k )  o(h)
maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian
dengan parameter {k , k 1 , k  0,1, 2,3,....}
50
X (t )
4
3
2
1
t
Realisasi proses kelahiran dan kematian
Prostok-7-firda
51
Misal
Pij (t )  PN (t )  j | N (0)  i (i, j  0,1,2,...)
merupakan peluang transisi dari state i ke state j .
Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov
Pi 0 t  h  P  X (t  h)  0 | X (0)  i 
 Pi 0 (t ) P  X (t  h)  X (t )  0 | X (t )  0 
 Pi1 (t ) P  X (t  h)  X (t )  1| X (t )  1

  Pik (t ) P  X (t  h)  X (t )  k | X (t )  k 
k 2
 Pi 0 (t )[1  0h  o(h)]  Pi1 (t )[1h  o(h)]  o(h)
Prostok-7-firda
52
Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta
mengambil h  0 diperoleh
Pi 0' (t )  0 Pi 0 (t )  1Pi1 (t )
Secara umum
Pij t  h  P  X (t  h)  j | X (0)  i 
 Pij (t ) P  X (t  h)  X (t )  0 | X (t )  j 
 Pij 1 (t ) P  X (t  h)  X (t )  1| X (t )  j  1
 Pij 1 (t ) P  X (t  h)  X (t )  1| X (t )  j  1



k 1
k  j 1, k  j 1
Pik (t ) P  X (t  h)  X (t )  j  k | X (t )  k 
 Pi, j 1 (t )[ j 1h  o(h)]  Pij (t )[1 ( j   j )h  o(h)]  Pi, j 1(t )[ j 1h  o(h)]  o(h)
53
 j 1h  o(h)
1 ( j   j )h  o(h)
o(h)
j+1
j
j
i
j-1
o(h)
0
t
t+h
 j 1h  o(h)
Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta
mengambil h  0 diperoleh
Pij' (t )   j 1Pi , j 1 (t )  ( j   j )Pij (t )   j 1Pi , j 1 (t ), j  1,2,...
Prostok-7-firda
54
Blok Diagram Proses Kelahiran dan Kematian
0
1
 j 1
Pi1 (t )
Pio (t )
1
j
Pij (t )
2
j
 j 1
Contoh : Proses pertumbuhan linear
k  k, k 1  (k  1), k  0,1, 2,....
Sehingga
Pi 0' (t )  1Pi1 (t )
Pij' (t )  ( j 1) Pi , j 1 (t )  (  ) jPij (t )  ( j  1) Pi , j 1 (t ), j  1,2,...
Prostok-7-firda
55
Nilai rata-rata pada saat t

M (t )  E ( X (t ))   jPij (t )
j 0
jika persamaan Pij' (t )dikalikan dgn j pada kedua ruas
dan dijumlahkan terhadap j diperoleh
M '(t )  (   ) M (t )
(*)
Dengan nilai awal M(0) = i , dgn asumsi X(0) = i
M (t )  ie(  )t
jika t  
 0, (   )

lim M (t )   i, (   )
t 
 , (    )

56
Bukti (*)
Pij' (t )  ( j 1) Pi , j 1 (t )  (  ) jPij (t )  ( j  1) Pi , j 1 (t )
jika persamaan Pij' (t )dikalikan dgn j pada kedua ruas
dan dijumlahkan terhadap j diperoleh


 jP (t )   j ( j  1) P
'
ij
j 0
j 0
i , j 1


j 0
j 0
(t )   j (   ) jPij (t )   j ( j  1)  Pi , j 1 (t )
Nyatakan suku pertama dalam Pij(t)
Misal k  j  1  j  k  1


j 0


k 0
k 0
j ( j  1) Pi , j 1 (t )   (k  1) k Pik (t )   (k 2   k ) Pik (t )

  ( j 2   j ) Pij (t )
j 0
Prostok-7-firda
57
Nyatakan suku ketiga dalam Pij(t)
Misal k  j  1  j  k  1


j 0


k 1
k 0
j ( j  1)  Pi , j 1 (t )   (k  1)k  Pik (t )   (k 2   k  ) Pik (t )

  ( j 2   j ) Pij (t )
j 0
sehingga


 jP (t )   j ( j  1) P
j 0
'
ij
j 0
i, j


j 0
j 0
(t )   j (   ) jPij (t )   j ( j  1)  Pi , j (t )



j 0
j 0
j 0
  j Pi , j (t )   j Pi , j (t )  (   ) jPij (t )
atau
M '(t )  (   ) M (t )
58
Distribusi
Prostok-7-firda
59