Transcript 摺紙證明勾股定理III(385 KB )

AMA Working Group in NCTU
摺紙證明勾股定理II
新北市林口國中/數學輔導團
交大AMA團隊 李政憲
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Origami Math in LKJH
正方形色紙
Origami Math in LKJH
向左摺出任意線段形成長方形
設左邊的長度為a，
右邊的長度為b
a
b
Origami Math in LKJH
向左摺出任意線段形成長方形
b
a
則摺進來的長度為b，
剩餘的長度為a
Q1：請問剩餘白色長方形
的長與寬分別為多少？
長：a+b
寬：a-b
a+b
a-b
Origami Math in LKJH
將摺進來底下的角向上翻摺
b
a
Origami Math in LKJH
將摺進來底下的角向上翻摺
b
故摺起來的三角形為
等腰直角三角形
Q2：請問綠色長方形的面積
為多少？
a
a
ab
Origami Math in LKJH
將摺進來的部份向外翻
b
a
Origami Math in LKJH
將摺進來的部份向外翻
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺
Q3：請問摺進來的三角形
面積為多少？
b
a
ab
2
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對
齊第一次摺的直角三角形
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對
齊第一次摺的直角三角形
o
o
x
Q4：請問兩個直角三角形所
形成的角度為多少度？
x
x
90o
o
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對
齊第二次摺的直角三角形
Q5：請問兩個綠色三角形的
三邊長度是否完全相同？
為什麼呢？
o
是
o
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對
齊第二次摺的直角三角形
同理所形成的角度
亦為90度
Q6：請問兩個綠色三角形的
三邊長度是否完全相同？
三個角度呢？
是
角度均相同
Origami Math in LKJH
右下角翻開還原
Origami Math in LKJH
右下角翻開還原
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
Q7：請問目前整個四邊形是
哪種四邊形？為什麼呢？
正方形
四邊等長且
四個角為直角
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
Q8：請問中間白色四邊形是
哪種四邊形？為什麼呢？
正方形
四邊等長且
四個角為直角
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
Q9：請問白色四邊形的邊長
與面積分別為多少呢？
b
a-b
a-b
邊長
a b
面積
a  b2
a
b
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
Q10：請列出此時正方形與
四個小三角形及中間
白色正方形面積關係？
設此時正方形的邊長
為c
ab
a  b    4  c 2
2
2
a-b
a 2  2ab  b2  2ab  c 2
a 2  b2  c 2
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
a
b
Q11：請列出整個正方形
與四個直角三角形
及中間白色正方形
的面積關係？
ab
a  b    4  c 2
2
2
a 2  2ab  b 2  2ab  c 2
a 2  b2  c 2
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，
邊對齊第三次摺的直角三角形
設此時正方形的邊長
為c
Q12：請問此時正方形總面積
與減少部份總面積各為
多少？
b
a
c2
ab
 4  2ab
2
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
E
a
B
b
A
C
D
Origami Math in LKJH
分別過A、D兩點摺出與邊長的垂線後還原
E
a
B
b
Q13：請問圖中與△ABE
全等的不同三角形
共有幾組？
A
五組
C
D
Origami Math in LKJH
沿B點向下剪至F點
E
a
A
B
b
F
C
D
Origami Math in LKJH
將矩形AFBE沿AF邊後翻
E
a
A
B
b
F
C
D
Origami Math in LKJH
將矩形AFBE沿AF邊後翻
E
a
A
B
b
Q14：請問目前減少的總
面積為多少？
ab
 2  ab
2
F
C
D
Origami Math in LKJH
將矩形AHDG沿DG邊後翻
B
A
b
G
F
C
H
D
Origami Math in LKJH
將矩形AHDG沿DG邊後翻
B
A
b
Q15：請問目前減少的總
面積為多少？
G
ab
 4  2ab
2
F
C
H
D
Origami Math in LKJH
將矩形AHDG沿DG邊後翻
E
A
a
B
b
Q16：請問目前剩下的總
面積為多少？
G
F
a 2  b2
C
H
D
a
Origami Math in LKJH
將兩圖翻開對照
B
b
b
Q17：請問兩者減少的總
面積各為多少？
G
F
a
均為
2ab
C
D
a
Origami Math in LKJH
將兩圖翻開對照
B b
Q18：請問兩者剩下的總
面積各為多少？
b
G
a 2  b2
c2 = F
a
C
D
a
Origami Math in LKJH
參考資料：
• Pythagorean Theorem and its many proofs：
http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml
• Origami Proof of the Pythagorean Theorem :
http://www.youtube.com/watch?v=z6lL83wl31E
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