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摺紙證明勾股定理II
新北市林口國中/數學輔導團
李政憲
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Origami Math in LKJH
正方形色紙
Origami Math in LKJH
向左摺出任意線段
Origami Math in LKJH
向左摺出任意線段
b
設摺進來的長度為b，
剩餘的長度為a
a
Q1：請問剩餘白色長方形
的長與寬分別為多少？
Origami Math in LKJH
將摺進來底下的角向上翻摺
b
a
Origami Math in LKJH
將摺進來底下的角向上翻摺
b
故摺起來的三角形為
等腰直角三角形
a
Q2：請問綠色長方形的面積
為多少？
Origami Math in LKJH
將摺進來的部份向外翻
b
a
Origami Math in LKJH
將摺進來的部份向外翻
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形內摺
Q3：請問摺進來的三角形面積
為多少？
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第一次摺的直角三角形
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第一次摺的直角三角形
Q4：請問兩個直角三角形所
形成的角度為多少度？
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第二次摺的直角三角形
Q5：請問兩個綠色三角形三邊
長度是否完全相同？
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第二次摺的直角三角形
同理所形成的角度
亦為90度
Q6：請問三個綠色三角形三邊
長度是否完全相同？三個
角度呢？
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右下角翻開還原
Origami Math in LKJH
右下角翻開還原
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第三次摺的直角三角形
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第三次摺的直角三角形
Q7：請問目前的四邊形是哪一
種四邊形？為什麼呢？
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第三次摺的直角三角形
Q8：請問中間白色四邊形是哪一
種四邊形？為什麼呢？
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摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第三次摺的直角三角形
Q9：請問中間四邊形的邊長與
面積分別為多少呢？
Origami Math in LKJH
摺出圖示摺痕，將直角三角形向內
摺，邊對齊第三次摺的直角三角形
設此時大正方形的邊長
為c
Q10：請列出此時正方形與四個
小三角形及中間白色小正
方形的面積關係？
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
Origami Math in LKJH
將四個直角三角形向外翻
a
b
Q11：請列出整個正方形
與四個直角三角形
及中間白色大正方
形的面積關係？
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完成另一張同樣結果色紙
(有色面朝上)
a
b
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剪去中間正方形
a
b
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剪去中間正方形
a
b
Q12：請問剪去的空白區域
面積為何？
Origami Math in LKJH
移動左下方直角三角形
a
b
剪去的空白區域面積=c2
Origami Math in LKJH
移動右下方直角三角形
a
b
剪去的空白區域面積=c2
Origami Math in LKJH
移動右下方直角三角形
a
剪去的空白區域面積=c2
b
Q13：請問目前白色部份
是由哪些形狀所組
成？面積為何？
Origami Math in LKJH
移動兩直角三角形
a
剪去的空白區域面積=c2
圖上的空白區域面積=a2+b2
b
Q14：請問目前白色部份
面積與之前白色正
方形面積的關係？
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疊上一張新色紙
a
b
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沿a、b交界處對摺後還原
a
b
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將左下角三角形摺至交界處
a
b
Q15：請問摺起來的是哪
一種三角形？面積
是多少？
Origami Math in LKJH
將右下角三角形摺至交界處
a
b
Q16：請問摺起來的是哪
一種三角形？面積
是多少？
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裁去上方兩長方形
a
b
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移出上方兩長方形
a
b
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裁去上方兩長方形
a
b
Q17：請問移出去的兩長
方形總面積是多少？
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底下兩三角形攤開還原
a
b
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底下兩三角形攤開還原
a
b
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底下兩三角形攤開還原
a
b
Q18：請問兩個三角形攤
開後是什麼形狀？
總面積是多少？
Origami Math in LKJH
左邊三角形沿底下虛線右摺後還原
a
b
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左邊三角形沿底下虛線右摺後還原
a
b
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底下三角形沿底下虛線上摺後還原
a
b
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底下三角形沿底下虛線上摺後還原
a
b
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右邊三角形沿底下虛線下摺後還原
a
b
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右邊三角形沿底下虛線下摺後還原
a
b
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分別剪下三個三角形
a
b
Q19：請問兩個粉紅色正
方形總面積是多少？
下一個動作是什麼？
Origami Math in LKJH
兩三角形互換
a
b
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兩三角形互換
a
b
Q20：請問下一個動作是
什麼？
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將右下方三角形＋梯形
與上方三角形互換
a
b
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將右下方三角形＋梯形
與上方三角形互換
a
b
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將右下方三角形＋梯形
與上方三角形互換
a
b
Q21：請問此時中間粉紅
色部份是哪一種四
邊形？面積是多少？
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參考資料：
• Pythagorean Theorem and its many
proofs：
http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml
• 畢氏定理知識網
http://web2.tcssh.tc.edu.tw/school/tcsshma
th/yang/pythagorean/
• 勾股定理.悠悠4000年的故事
Origami Math in LKJH