Transcript 堆疊與佇列(2633 KB )

第四章 堆疊與佇列
課前指引
資料結構學科中，堆疊(Stack)與佇列是兩種相當典型的抽象資
料型態，也是一種有特定進出規則的線性串列應用，主要特性
是限制了資料插入與刪除的位置和方法。本章中將會介紹堆疊
與佇列的概念與特性，及在計算機領域的各種相關應用。
章節大綱
4-1 堆疊簡介
4-3 佇列
4-2 算術運算式的表示法
4-4 佇列 的相關應用
備註：可依進度點選小節
4-1 堆疊簡介
堆疊(Stack)
是一群相同資料型態的組合，並擁有後進先出
(Last In，Frist Out)的特性，所有的動作均在堆疊
頂端進行。
3
4-1 堆疊簡介
堆疊在計算機領域的應用
包括遞迴的呼叫及返回、二元樹及森林的走訪運
算、呼叫副程式及返回處理、算術式的轉換和求
值、中央處理單元(CPU)的中斷處理(Interrupt
Handling)與所謂的堆疊計算機(Stack Computer)等
等。
4
4-1 堆疊簡介
堆疊基本工作運算
在程式設計中該如何製作一個堆疊呢？因為它只
是一種抽象資料型態，不論用陣列或鏈結串列都
可以，最重要是要有「後進先出」的精神，並符
合五種基本工作運算：
5
4-1 堆疊簡介
陣列實作堆疊
以陣列結構來製作堆疊的好處是製作與設計的演
算法都相當簡單，但因為如果堆疊本身是變動的
話，陣列大小並無法事先規劃宣告，太大時浪費
空間，太小則不夠使用。
6
4-1 堆疊簡介
串列實作堆疊
鍵結串列來製作堆疊的優點是隨時可以動態改變
串列長度，能有效利用記憶體資源，不過缺點是
設計時，演算法較為複雜。
7
4-1 堆疊簡介
堆疊類別樣板實作
設計類別時，將資料型態以樣版參數取代，於使
用時再指定資料型態，這個類別稱為類別樣版（
Class Template）。
在程式中，將會依據宣告物件時所指定的資料型
態，來建立適用該資料型態的類別。
8
4-1 堆疊簡介
堆疊類別樣板實作
類別樣版的宣告格式如下：
template <class 樣版形式參數1, class 樣版形式參數2,…>
class 類別名稱
{
// 類別內敘述區塊
};
9
4-1 堆疊簡介
老鼠走迷宮(1/3)
老鼠行進時，必須遵守以下三個原則：
一次只能走一格。
遇到牆無法往前走時，則退回一步找找看是否有其他的路可以走。
走過的路不會再走第二次。
在建立走迷宮程式前，我們先來了解如何在電腦
中表現一個模擬迷宮的方式。
這時可以利用二維陣列MAZE[row][col]，並符合
以下規則：
MAZE[i][j]=1
表示[i][j]處有牆，無法通過
=0
表示[i][j]處無牆，可通行
MAZE[1][1]是入口，MAZE[m][n]是出口
10
4-1 堆疊簡介
使用10x12二維陣列的
模擬迷宮地圖表示圖
11
4-1 堆疊簡介
老鼠走迷宮(2/3)
利用鏈結串列來記錄走過的位置，並且將走過的
位置的陣列元素內容標示為2，然後將這個位置放
入堆疊再進行下一次的選擇。
下圖是以小球來代表迷宮中的老鼠：
在迷宮中搜
尋出口
終於找到
迷宮出口
12
4-1 堆疊簡介
老鼠走迷宮(3/3)
利用C++演算法來加以描述：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
if(上一格可走)
{
加入方格編號到堆疊;
往上走;
判斷是否為出口;
}
else if(下一格可走)
{
加入方格編號到堆疊;
往下走;
判斷是否為出口;
}
else if(左一格可走)
{
加入方格編號到堆疊;
13
4-1 堆疊簡介
往左走;
判斷是否為出口;
16
17
18
19
}
else if(右一格可走)
20
21
{
加入方格編號到堆疊;
往右走;
判斷是否為出口;
22
23
24
25
26
27
}
else
{
從堆疊刪除一方格編號;
從堆疊中取出一方格編號;
往回走;
28
29
30
}
14
4-1 堆疊簡介
八皇后問題
這也是一種常見的堆疊應用實例。
可以將其應用在4*4的棋盤，就稱為4-皇后問題；
應用在8*8的棋盤，就稱為8-皇后問題。應用在
N*N的棋盤，就稱為N-皇后問題。
要解決N-皇后問題(在此我們以8-皇后為例)，首先
當於棋盤中置入一個新皇后，且這個位置不會被
先前放置的皇后吃掉，就將這個新皇后的位置存
入堆疊。
15
4-1 堆疊簡介
底下分別是4-皇后及8-皇后在堆疊存放的內
容及對應棋盤的其中一組解。
4皇后
8皇后
16
4-2 算術運算式的表示法
在程式中經常將變數或常數等「運算元」(Operands)
，利用系統預先定義好的「運算子」(Operators)來進
行各種算術運算(如 ＋、－、×、÷等)、邏輯判斷(如
AND、OR、NOT 等)與關係運算(如 ＞、＜、＝ 等)
，以求取一個執行結果。
對於程式中這些運算元及運算子的組合，就稱為「
運算式」。
其中=、+、*及/符號稱為運算子，而變數A、B、C
及常數10、3 都屬於運算元。
17
4-2 算術運算式的表示法
算術運算式的表示法
中序法(Infix)：運算子在兩個運算元中間，例如
A+B、(A+B)*(C+D)等都是中序表示法。
前序法(Prefix)：運算子在運算元的前面，例如
+AB、*+AB+CD等都是前序表示法。
後序法(Postfix) ：運算子在運算元的後面，例如
AB+、AB+CD+*等都是後序表示法。
18
4-2 算術運算式的表示法
中序轉為前序與後序
括號轉換法
以下是C/C++運算子中運算子的優先順序：
19
4-2 算術運算式的表示法
練習以括號把下列中序式轉成前序及後序式：
6+2*9/3+4*2-8
中序→前序(Infix→Prefix)
先把運算式依照運算子優先順序以括號括起來。
針對運算子，把括號內的運算子取代所有的左括號，以最近者
為優先。
將所有右括號去掉，即得前序式結果。
前序式：-++6/*293*428
20
4-2 算術運算式的表示法
中序→後序(infix→postfix)
先把運算式依照運算子優先順序以括號括起來。
針對運算子，把括號內的運算子取代所有的右括號，以最近者
為優先。
將所有左括號去掉，即得後序式結果。
後序式：629*3/+42*+8-
範例 4.2.1
請將中序式A/B**C+D*E-A*C，利用括號法轉換成
前序式與後序式。
21
4-2 算術運算式的表示法
解答
首先請按照前面的括號法說明，將中序式括號後，可以得
到下列式子，並移動運算子來取代左括號：
最後去掉所有右括號，可得下式：
→前序式：-+/A**BC*DE*AC
接著要轉換成後序法也一樣，將中序式分別括號完後，移
動運算子來取代右括號：
最後再去掉所有左括號，可得下式:
→後序式:ABC**/DE*+AC*-
22
4-2 算術運算式的表示法
堆疊法
中序→前序(Infix→Prefix)
由右至左讀進中序運算式的每個字元(token)。
如果讀進的字元為運算元，則直接輸出到前序式中
如果遇到'('，則彈出堆疊內的運算子，直到彈出到一個')'，兩
者互相抵銷止。
")"的優先權在堆疊內比任何運算子都小，任何運算子都可壓
過它，不過在堆疊外卻是優先權最高者。
當運算子準備進入堆疊內時，並須和堆疊頂端的運算子比較，
如果外面的運算子優先權大於或等於頂端的運算子則推入，如
果較小就彈出，直到遇到優先權較小者或堆疊為空時，就把外
面這個運算子推入。
中序式讀完後，如果運算子堆疊不是空，則將其內的運算子逐
一彈出，輸出到前序式。
23
4-2 算術運算式的表示法
以下我們將練習把中序式(A+B)*D+E/(F+A*D)+C以堆
疊法轉換成前序式。首先請右至左讀取字元，並將步驟
繪出表格如下：
24
4-2 算術運算式的表示法
中序->後序(Infix->Postfix)
由左至右讀進中序運算式的每個字元(token)。
如果讀進的字元為運算元，則直接輸出輸出到後序式中。
如果遇到')'，則彈出堆疊內的運算子，直到彈出到一個'('，兩
者互相抵銷止。
"("的優先權在堆疊內比任何運算子都小，任何運算子都可壓
過它，不過在堆疊外卻是優先權最高者。
當運算子準備進入堆疊內時，並須和堆疊頂端的運算子比較，
如果外面的運算子優先權大於頂端的運算子則推入，如果較小
或等於就彈出，直到遇到優先權較小者或堆疊為空時，就把外
面這個運算子推入。
中序式讀完後，如果運算子堆疊不是空，則將其內的運算子逐
一彈出，輸出到後序式。
25
4-2 算術運算式的表示法
以下我們將練習把中序式(A+B)*D+E/(F+A*D)+C以堆疊法
轉換成後序式。首先請左至右讀取字元，並將步驟繪出表
格如下：
26
4-2 算術運算式的表示法
範例 4.2.2
將下面的中序法轉成前序與後序算術式：（以下
皆用堆疊法）
A/B↑C+D*E-A*C
解答
中序轉前序
27
4-2 算術運算式的表示法
中序轉後序
28
4-2 算術運算式的表示法
前序與後序轉為中序
括號轉換法
前序→中序(Prefix->Infix)
適當的以「運算子+運算元」方式括號。依次將每個運算子，
以最近為原則取代後方的右括號，最後再去掉所有左括號。例
如:將-+/A**BC*DE*AC轉為中序法，結果是A/B**C+D*EA*C：
29
4-2 算術運算式的表示法
前序與後序轉為中序
括號轉換法
後序→中序(Postfix->Infix)
適當的以「運算元+運算子」方式括號，依次將每個運算子，
以最近為原則取代前方的左括號，最後再去掉所有右括號。例
如將ABC↑/DE*+AC*-轉為中序法，結果是A/B↑C+D*E-A*C。
30
4-2 算術運算式的表示法
堆疊法
若要將前序式轉為中序式，由右至左讀進運算式的每個
字元(token)；若是要將後序式轉換成中序式，則讀取方
向改成由左至右。
辨別讀入字元，若為運算元則放入此堆疊中。
辨別讀入字元，若為運算子則從堆疊中取出兩個字元，
結合成一個基本的中序運算式(<運算元><運算子><運
算元>)後，再把結果放入堆疊。
31
4-2 算術運算式的表示法
堆疊法
在轉換過程中，前序和後序的結合方式是不同的，前序
式的順序是是<運算元2><運算子><運算元1>而後序式
是<運算元1><運算子><運算元2>，如下圖所示：
前序轉中序：<OP2><運算子><OP1>
後序轉中序：<OP1><運算子><OP2>
32
4-2 算術運算式的表示法
中序表示法求值
由中序表示法來求值，請依照以下五個步驟：
1.建立兩個堆疊，分別存放運算子及運算元。
2.讀取運算子時，必須先比較堆疊內的運算子優先權，若堆疊內
運算子的優先權較高，則先計算堆疊內運算子的值。
3.計算時，取出一個運算子及兩個運算元進行運算，運算結果直
接存回運算元堆疊中，當成一個獨立的運算元。
4.當運算式處理完畢後，一步一步清除運算子堆疊，直到堆疊空
了為止。
5.取出運算元堆疊中的值就是計算結果。
現在就以上述五個步驟，來求取中序表示法2+3*4+5的
值。
33
4-2 算術運算式的表示法
運算式必須使用兩個堆疊分別存放運算子及運算
元，並依優先順序進行運算：
步驟1
依序將運算式存入堆疊，遇到兩個運算子時比較優先權
再決定是否要先行運算：
步驟2
遇到運算子*，與堆疊中最後一個運算子+比較，優先
權較高故存入堆疊：
34
4-2 算術運算式的表示法
步驟3
遇到運算子+，與堆疊中最後一個運算子*比較，優先
權較低，故先計算運算子*的值。取出運算子*及兩個運
算元進行運算，運算完畢則存回運算元堆疊：
步驟4
把運算子+及運算元5存入堆疊，等運算式完全處理後，
開始進行清除堆疊內運算子的動作，等運算子清理完畢
結果也就完成了：
35
4-2 算術運算式的表示法
步驟5
取出一個運算子及兩個運算元進行運算，運算完畢存入
運算元堆疊：
完成
取出一個運算子及兩個運算元進行運算，運算完畢存入
運算元堆疊，直到運算子堆疊空了為止。
36
4-2 算術運算式的表示法
前序法的求值運算
實作前序運算式+*23*45如何使用堆疊來運算的步
驟：
步驟1
從堆疊中取出元素：
步驟2
從堆疊中取出元素，遇到運算子則進行運算，結果存回
運算元堆疊：
37
4-2 算術運算式的表示法
步驟3
從堆疊中取出元素：
步驟4
從堆疊中取出元素，遇到運算子則從運算元取出兩個運
算元進行運算，運算結果存回運算元堆疊：
完成
把堆疊中最後一個運算子取出，從運算元取出兩個運算
元進行運算，運算結果存回運算元堆疊。最後取出運算
元堆疊中的值即為運算結果。
38
4-2 算術運算式的表示法
後序法的求值運算
實作後序表示法23*45*+的求值運算：
步驟1
直接讀取運算式，遇到運算子則進行運算：
放入2及3後取回*，這時取回堆疊內兩個運算元進行運算，完
畢後放回堆疊中。
2*3=6
39
4-2 算術運算式的表示法
步驟2
接著放入4及5遇到運算子*，取回兩個運算元進行運算
，運算完後放回堆疊中：
4*5=20
完成
最後取回運算子，重複上述步驟。
6+20=26
40
4-3 佇列
佇列
是一種「先進先出」（First In, First Out）的資料
結構，和堆疊一樣都是一種有序串列的抽象資料
型態。
佇列的兩端都會有資料進出的動作，所以必須記
錄佇列的前端與後端，如下圖所示使用front與rear
這兩個註標來模擬佇列的運作：
41
4-3 佇列
佇列基本工作運算
五種基本工作運算：
42
4-3 佇列
陣列實作佇列
與堆疊不同之處是需要擁有兩種基本動作加入與
刪除，而且使用front與rear兩個註標來分別指向佇
列的前端與尾端，缺點是陣列大小並無法事先規
劃宣告。
43
4-3 佇列
陣列實作佇列
首先我們需要宣告一個有限容量的陣列，並以下
列圖示說明：
#define MAXSIZE 4
int queue[MAXSIZE]; /* 佇列大小為4 */
int front=-1;
int rear=-1;
44
4-3 佇列
1.當開始時，我們將front與rear都預設為-1，
當front=rear時，則為空佇列。
2.加入dataA，front=-1，rear=0，每加入一
個元素，將rear值加1：
45
4-3 佇列
3.加入dataB、dataC，front=-1，rear=2：
4.取出dataA，front=0，rear=2，每取出一
個元素，將front值加1：
46
4-3 佇列
5.加入dataD，front=0，rear=3，此時當
rear=MAXSIZE-1，表示佇列已滿。
6. 取出dataB，front=1，rear=3
47
4-4 佇列的相關應用
佇列在電腦領域的應用相當廣泛，如：
1. 如在圖形的走訪的先廣後深搜尋法(BFS)，就是利用佇
列。
2. 可用於計算機的模擬(simulation)；在模擬過程中，由於
各種事件(event)的輸入時間不一定，可以利用佇列來反應
真實狀況。
3. 可作為CPU 的工作排程(Job Scheduling)。利用佇列來處
理，可達到先到先做的要求。
4. 例如「線上同時週邊作業系統」的應用，也就是讓輸出
入的資料先在高速磁碟機中完成， 也就是把磁碟當成一個
大型的工作緩衝區(buffer)，如此可讓輸出入動作快速完成
，也縮短了反應的時間，接下來將磁碟資料輸出到列表機
是由系統軟體主動負責，這也是應用了佇列的工作原理。
48
4-4 佇列的相關應用
環狀佇列
是一種環形結構的佇列，它仍是以一種Q(0:n-1)的線性一
維陣列，同時Q(0)為Q(n-1)的下一個元素，可以用來解決
無法判斷佇列是否滿溢的問題。
指標front永遠以逆時鐘方向指向佇列中第一個元素的前
一個位置，rear則指向佇列目前的最後位置。一開始
front和rear均預設為-1，表示為空佇列，也就是說如果
front=rear則為空佇列。另外有：
rear(rear+1) mod n
front(front+1) mod n
49
4-4 佇列的相關應用
上述方式僅允許佇列最多只能存放n-1個資料(亦即
犠牲最後一個空間)，當rear指標的下一個是front
的位置時，就認定佇列已滿，無法再將資料加入
，如下圖便是填滿的環狀佇列外觀：
50
4-4 佇列的相關應用
底下將整個過程以下圖來說明。
51
4-4 佇列的相關應用
52
4-4 佇列的相關應用
而當rear=front時，則可代表佇列已空。所以在
enqueue和dequeue的兩種工作定義和原先佇列工作
定義的演算法就有不同之處了。必須改寫如下：
/* 環狀佇列的加入演算法 */
viod AddQ (int item)
{
rear=(rear+1)%MAX_SIZE;
if (front==rear )
printf(“%s”, "佇列已滿! ");
else
queue[rear]=item;
}
/* 環形佇列的刪除演算法 */
void dequeue(int item)
{
if (front==rear)
printf(“%s”, "佇列是空的!");
else
{
front=(front+1)%MAX_SIZE;
item=Queue[front];
}
}
53
4-4 佇列的相關應用
範例 4.4.2
上述環形佇列演算法中，造成了任何時候佇列中
最多只允許MAX_SIZE-1個元素。有沒有方法可
以改進呢?試說明之與寫出修正後演算法。
解答
只要多使用一個旗標TAG來判斷，當TAG==1時表示，
佇列是滿的；TAG==0時，表示佇列是空的。修正後演
算法如下：
54
4-4 佇列的相關應用
/* 環狀佇列的加入修正演算法
*/
viod AddQ (int item)
{
rear=(rear+1)%MAX_SIZE;
if(front==rear && TAG==1)
printf(“%s”, "佇列已滿! ");
else
queue[rear]=item;
if(front==rear)
TAG=1;
}
/* 環形佇列的刪除修正演算法 */
void dequeue(int item)
{
if(rear==front && TAG==0)
printf(“%s”, "佇列是空的!");
else
{
front=(front+1)%MAX_SIZE;
item=Queue[front];
if (front==rear)
TAG=0;
}
}
55
4-4 佇列的相關應用
雙向佇列
為一有序串列，加入與刪除可在佇列的任意一端
進行， 請看下圖：
通常在一般的應用上，雙向佇列的應用可以區分
為兩種：第一種是資料只能從一端加入，但可從
兩端取出，另一種則是可由兩端加入，但由一端
取出。
56
4-4 佇列的相關應用
優先佇列
為一種不必遵守佇列特性－FIFO(先進先出)的有
序串列，其中的每一個元素都賦予一個優先權
(Priority)，加入元素時可任意加入，但有最高優
先權者(Highest Priority Out First, HPOF)則最先輸
出。
例如假設有4個行程P1,P2,P3,P4，其在很短的時間
內先後到達等待佇列，每個行程所執行時間如下
表所示：
57
4-4 佇列的相關應用
在此設定每個P1、P2、P3、P4的優先次序值分別
為2,8,6,4(此處假設數值越小其優先權越低；數值
越大其優先權越高)，以下就是以甘特圖(Gantt
Chart)繪出優先權排程(Priority Scheduling, PS)的排
班情況：
以PS方法排班所繪出的甘特圖如下：
58
本章結束
Q&A討論時間
59