Transcript ASINTOTI - Liceo Cavalieri

ASINTOTI
CONCETTO DI ASINTOTO
La retta r si dice ASINTOTO per la curva C del piano
cartesiano se la distanza tra un punto P(x,y) della retta
e la curva C tende a zero al tendere all’infinito di una
delle due coordinate di P
COS’E’ LA DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA?
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE
Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta
r di equazione y=L è ASINTOTO ORIZZONTALE per
la curva C se:
Lim f ( x)  L
x 
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE
Infatti, se f(x) tende ad L, allora la distanza tra la
curva e la retta, pari a |f(x)-L|, tende a zero, secondo
la definizione di asintoto
f(x)
y=f(x)
|f(x)-L|
L
y=L
ASINTOTI
OSSERVAZIONE
Si potrebbe obiettare che quella presa non è la
distanza tra la curva e la retta, che infatti risulta
essere PH e non PA.
A
f(x)
H
|f(x)-L|
L
P
ASINTOTI
OSSERVAZIONE
Risulta però evidente che:
PA>PH>0
E se PA tende a zero anche PH vi deve tendere per il
teorema del confronto
A
f(x)
H
|f(x)-L|
L
P
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO E SINISTRO
Più in particolare, se x tende a più infinito si parla di
asintoto orizzontale destro, mentre se x tende a meno
infinito si parla di asintoto orizzontale sinistro
ASINTOTI
ASINTOTO VERTICALE
Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta
r di equazione x=Xo è ASINTOTO VERTICALE per la
curva C se:
Lim f (x)  
x X o
ASINTOTI
ASINTOTO VERTICALE
Infatti, in questo caso la
distanza tra la curva e la
retta è |x-Xo|; e se al
tendere di x a Xo la y
tende all’infinito, è anche
vero che al tendere
all’infinito di y x tende a
Xo, cioè la distanza |xXo| tende a zero,
secondo la definizione di
asintoto
f(x)
Xo
x
ASINTOTI
ASINTOTO VERTICALE
Infatti, in questo caso la
distanza tra la curva e la
retta è |x-Xo|; e se al
tendere di x a Xo la y
tende all’infinito, è anche
vero che al tendere
all’infinito di y x tende a
Xo, cioè la distanza |xXo| tende a zero,
secondo la definizione di
asintoto
f(x)
Xo
x
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
Un asintoto che non sia né orizzontale né verticale si
dice OBLIQUO
y=f(x)
f(x)
P
mx+q
A
x
y=mx+q
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
Posto che l’equazione dell’asintoto sia
y=mx+q
allora la distanza AP sarà:
AP | yP  y A || f ( x)  (mx q) |
f(x)
P
mx+q
A
x
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
Poiché AP tende a zero al tendere di x all’infinito, per
definizione di asintoto, allora
Lim( f ( x )  mx  q )  0
x 
ovvero:
Lim f ( x)  Lim(mx  q )
x 
x 
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
Dividendo entrambi i membri per x
f ( x)
q
Lim
 Lim(m  )
x 
x 
x
x
e poiché q/∞=0 si ottiene il risultato finale:
f ( x)
Lim
m
x 
x
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
Per determinare q basta considerare ancora
l’equazione:
Lim( f ( x )  mx  q )  0
x 
e portare q a sinistra (siccome q è costante non serve
scrivere limite)
Lim( f ( x)  mx )  q
x 
ASINTOTI
ASINTOTO obliquo
In conclusione: se esistono e sono finiti i due limiti:
f ( x)
m  Lim
x 
x
q  Lim( f ( x)  mx )
x 
allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo per la
funzione f(x)
ASINTOTI
DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA
La distanza d tra un punto P e una curva C è la
lunghezza del minore di tutti i segmenti tracciati dal
punto alla curva
P
H
TORNA
d = PH