Transcript Magnetic Fields

UNIVERSIDAD NACIONAL
Optaciano Vasquez
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA II
ELASTICIDAD: DEFORMACIONES
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
I. OBJETIVOS
• Comprender el concepto de deformación
angular y cortante.
• Comprender el uso de figura deformadas
para calcular deformaciones a partir de
desplazamientos
• Resolver ejercicios y problemas sobre la
unidad
II.INTRODUCCIÓN
• La explosión del transbordador Challenger el 28 de enero
de 1966, se le atribuyo a la fuga de combustible en el
arosello más próximo a la base del cohete sólido auxiliar.
Ello se debió al cambio dimensional, la separación en la
unión excedió el valor del diseño permisible, lo que causo
el escape del gas combustible.
II. INTRODUCCIÓN
• La presencia de esfuerzos
excesivos
en
materiales
frágiles como el estribo de
concreto
generan
deformaciones que terminan
fracturando la estructura.
• Por medio de mediciones de
la deformación unitaria, los
ingenieros pueden predecir
el esfuerzo en el material.
• En esta sección analizaremos
la naturaleza general de la
deformación y como se
determina en elementos
cargados.
III. DEFORMACIÓN
• Cuando se aplica una fuerza
a un cuerpo, ésta tiende a
cambiar de forma y tamaño
al cuerpo.
• A estos cambios se le llama
deformación.
• Esta puede ser visible o
prácticamente inadvertible si
no se usa los equipos
adecuados para detectarlos.
• En una banda de hule las
deformaciones son visibles
mientras
que
en
una
estructura las deformaciones
son pequeñas.
III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento
• El desplazamiento es una
magnitud vectorial que
permite
medir
el
movimiento
de
una
partícula. Por tanto, las
partículas adyacentes de
un cuerpo deformable
pueden desplazarse entre
sí cuando se aplican
fuerzas sobre él. En la
figura se muestra la forma
como
ocurre
la
deformación.
III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento
• Las tres partículas A, B y C antes de la aplicación de
fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en
la figura. Después de la aplicación de las fuerzas
externas el cuerpo se deforma cambiando de posición
y por tanto las nuevas posiciones de las partículas son
A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene
descrito por el vector u(A).
•La
diferencia entre las
longitudes y las orientaciones
relativas de las dos líneas en
el cuerpo son consecuencia
de
los
desplazamientos
causados por la deformación.
III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento
• La deformación de un cuerpo
puede ocurrir por dilatación (cambio
de volumen) o por distorsión
(cambio de forma)
Consideremos un cuerpo sólido
en un sistema de referencia fijo
x,y,z con un desplazamiento de uno
de sus puntos Q hacia Q’.
Las componentes del desplazamiento son u, v y w.
El desplazamiento es función de la distancia
u = f(x, y, z) y para sólidos elásticos y pequeñas
deformaciones, ui es función lineal de la posición de xi
IV. DEFORMACIÓN UNITARIA
DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL
Llamase
deformación
unitaria
al
alargamiento o contracción de un segmento
de línea por unidad de longitud.
Considere la línea AB contenido dentro del
cuerpo no deformado en la figura dirigida en
la dirección n y de longitud s.
Después de la deformación los puntos A y B
se desplazan a A’ y B’ y la línea se convierte
en curva de longitud s’.
La deformación unitaria promedio será
 prom 
 s '  s
s
IV. DEFORMACIÓN UNITARIA
DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL
A medida que el punto B se escoge cada
vez más cercano al puno A, la longitud de
la línea se vuelve cada vez más corta, de
tal modo que s 0 . De igual forma B’ se
aproxima a A’ de modo que s’0.
Por lo tanto, la deformación unitaria
normal en el punto A es la dirección n está
dada por
 
lim
B  A a lo largo de n
 s '  s
s
IV. DEFORMACIÓN UNITARIA
DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL
En algunos casos se conoce la deformación
unitaria normal, por lo que se desea determinar
la longitud final del segmento corto en la
dirección n para ello se usa la relación
 s '  1     s
Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial
se alargará, mientras que si ε es negativa la
línea se acortará.
Debido a que la deformación unitaria es el
cambio de longitud por unidad de longitud,
entonces ella será una cantidad adimensional.
Por la pequeñez de esta cantidad, la
deformación unitaria normal en el SI se expresa
como (μm/m).
IV. DEFORMACIÓN UNITARIA
DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL PROMEDIO
Al dilatarse el globo de la figura, la
longitud de la línea sobre la superficie
aumenta de Lo a Lf.
La deformación unitaria normal
media se define como la razón entre el
cambio de longitud y la longitud
original. Es decir.
Cuando Lf > Lo la deformación
unitaria es positiviva y si Lf < Lo la
deformacion unitaria es negativa.
IV. DEFORMACIÓN UNITARIA
DEFORMACIÓN UNITARIA EN UNA DIMENSIÓN
 Consideremos ahora el caso en el cual los desplazamientos
están en una sola recta.
 En la figura los puntos A y B se encuentran sobre el eje x y
se mueven a A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas
de los puntos A y B cambian de xA y xB a xA + uA y xB + uB.
Entonces la deformación unitaria será
DEFROMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL
Fig. 2.1
 
P
 esfuerzo
A
 

L
Fig. 2.3
 
2P
2A
 deform ación norm al
 

L

P
Fig. 2.4
A
 
P
A
 
2
2L


L
DEFORMACION UNITARIA EN UN PUNTO DE UN
CUERPO SOMETIDO A CARGA AXIAL
• Consideremos una deformación simple, en la que la
distancia AB cambia de AB a A’B’.
• El desplazamiento u en una dimensión es función de x
• La deformación normal será
x 
L

L
( dx 
x 
A ' B ' A B
AB
u
dx )  dx
dx
dx
x 
u
dx
DEFORMACION UNITARIA EN UN CUERPO DE
SECCION VARIABLE SOMETIDO A CARGA AXIAL
• Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a
cargas externas es de sección variable como se muestra
en la figura, el esfuerzo normal varía a lo largo del
elemento por ello es necesario definir la deformación en
cierto punto Q considerando un pequeño elemento de
longitud no deformado como se ve en la figura
• Si  es el alargamiento del pequeño elemento bajo la
carga exterior dada, la deformación unitaria en estas
condiciones será
  lim
x  0

x

d
dx
DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O
CORTANTE
• La deformación unitaria angular se define como el cambio
en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea
inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por  y
su valor se mide en radianes. Para mostrar esto
consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo
de los ejes perpendiculares n y t como se muestra en la
figura. Después de la deformación las líneas rectas AB y AC
se vuelven curvas y el ángulo entre ellas es θ’
 nt 

2

lim
B  A a lo largo de n
C  A a lo largo de t
'
DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O
CORTANTE
• Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la
deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es
mayor de 90º la deformación angular es negativa.
DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O
CORTANTE
• Cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal
como se muestra en la figura, el cuerpo cambia su forma
de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se
mantiene fijo el lado superior experimenta un
desplazamiento δs
• La deformación angular promedio es
 prom  tg  
s
L
 xy ( P )  lim
L  0
 s
L

d s
dL
ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS
PEQUEÑAS
• En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo
experimenta pequeños cambios en sus dimensiones.
La aproximación de pequeñas deformaciones
simplifica en alto grado la solución de tales problemas.
El la figura se muestra un ejemplo de cómo evaluar la
deformación.
• La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el
punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ
referido a la dirección de la barra.
ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS
PEQUEÑAS
• La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite
determinar Lf, esto es
2
Lf 
 D 
 D 
2
2
L 0  D  2 L 0 D cos   L 0 1  

2


 cos 
 L0 
 L0 
• Usando la definición de deformación unitaria se tiene
 
L f  L0
L0
2

 D 
 D 
1 
  2
 cos   1
 L0 
 L0 
ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS
PEQUEÑAS
• Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia
el término cuyo exponente es 2 y si se usa el binomio de
Newton se obtiene


D
  1 
cos   ..........  ...   1
L0


• Simplificando la ecuación anterior se obtiene
 peq 
D cos 
L0
EJEMPLO 01
• La viga rígida es soportada por un pasador en A y los
alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P
produce un desplazamiento de 10 mm hacia abajo,
determine la deformación normal e los alambres CD y DE.
(b) si la máxima deformación normal en cada alambre es
0,02. Determine el máximo desplazamiento vertical de la
carga P.
Solución 01
• Por semejanza de triángulos
• Definición de deformación unitaria
Solución 01
• Usando ambos elementos alcanzan la deformación
máxima se tiene
• Como 1 > 2; el elemento BD falla primero, entonces es
el elemento CE el que controla la deformación
EJEMPLO 02
• Los desplazamientos en la dirección x de las
placas rígidas debido a set de fuerzas aplicadas
esta dado por:
Determine las deformaciones axiales en las
barras AB, BC y CD
SOLUCIÓN 02
• Las deformaciones en cada uno de los elementos se
determina en la forma
EJEMPLO 03
• Una barra de ebonita se fija a una barra rígida, la
cual se mueve hacia la derecha cuando se le
aplica la carga mostrada en la figura. Determine
la deformación angular promedio en el punto A
SOLUCIÓN 03
• El punto B se mueve al punto B1, como se
muestra en la figura: Entonces se tiene
EJEMPLO 04
• Dos barras están unidas a un rodillo que se desliza
en una ranura, como se muestra en la figura.
Determine la deformación en la barra AP: (a)
mediante el cálculo de la longitud deformada de AP
sin aproximaciones a pequeñas deformaciones, (b)
usando deformaciones pequeñas y (c) usando el
método vectorial.
SOLUCIÓN 04: Método I
• Consider que P se mueve a P1, como se muestra en la
figura. El ángulo APP1 es de 145°. Al aplicar la ley del
coseno se tiene.
• La deformación unitaria será
SOLUCIÓN 04: Método II
• Se necesita la componente de PP1 en la dirección de AP.
Luego de trazar una perpendicular de P1 a la línea en la
dirección de AP se calcula en la forma siguiente
• La eformación unitaria normal será.
• O también se expresa como
SOLUCIÓN 04: Método III
• Considere que los vectores unitarios en las direcciones x e
y so i y j. Determinamos el vector unitario en la dirección
de AP y el vector de cambio dimensional D. Es decir
• La deformación en la dirección de AP será
• La deformación unitaria será
EJEMPLO 05
• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura,
el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18
mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación
axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la
deformación axial en la barra A
Solución 05
• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura,
el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18
mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación
axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la
deformación axial en la barra A
Solución 05
• Teniendo en cuenta la deformación de la barra B, su
cambio dimensional será
• Los puntos D y E de la placa después de la carga se
desplazan a D1 y E1 como se muestra en la figura
Solución 05
• Debido a que la aplicación de la carga produce un
desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento de
E será.
• Como la placa rígida se mueve sin rotación se tiene
• El desplazamiento de A es
• La deformación unitaria será
EJEMPLO 06
• La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con
líneas punteadas en la figura. Si en esta configuración
horizontal, las líneas horizontales sobre la placa
permanecen horizontales. Determine: (a) la deformación
unitaria normal promedio a lo largo del lado AC y BD y (b)
la deformación unitaria cortante promedio de la placa
relativa a los ejes x e y en A, B, C y D
Solución 06
• Las longitudes iniciales y finales de AC y BD
Solución 06
• Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las
correspondientes deformaciones angulares serán
Ejemplo 07
• Parte del varillaje de mando
de un avión consiste en un
miembro rígido CBD y en un
cable flexible AB. Si se
aplica una fuerza al extremo
D del miembro y ocasiona
una rotación del elemento
de  = 0,3 °deformación
unitaria normal en el cable
0,0035 mm/mm. Determine
el esfuerzo normal medio
en el cable. Originalmente
el cable no se encuentra
estirado
SOLUCIÓN 07
Ejemplo 08
• La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando no está
sometida a carga, mientras que las barras A y B no están
sujetas a deformación. Cuando se aplica la carga P, se
encuentra que la deformación unitaria axial en la barra B es
de 0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria
axial en la barra A y (b) La deformación unitaria axial en la
barra A si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión
entre las barras A y B.
Ejemplo 09
• Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, como se
muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras
verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la
carga P, la deformación unitaria axial en la varilla BF es de
400 μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en la
varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la varilla CE si
hay un espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C
antes de aplicar la carga.
•
Ejemplo 10
• La carga P produce una deformación unitaria axial en el
poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg.
Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla A
de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial
en la varilla A de aleación de aluminio si hay un espacio
libre de 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del
espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.
Ejemplo 08
• La carga P produce una deformación unitaria axial en el
poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine:
(a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio
C. (b) La deformación unitaria axial en la varilla C de
aleación de aluminio si existe un espacio libre de 0,10 mm
en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm
en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm
entre B y D antes de aplicar la carga P
UNIVERSIDAD NACIONAL
Optaciano Vasquez
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA II
ELASTICIDAD:
PROPIEDADES MECANICAS DE MATERIALES
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
I. OBJETIVOS
• Comprender la descripción cualitativa y
cuantitativa de las propiedades mecánicas de los
materiales.
• Aprender la lógica para relacionar el cambio
dimensional con las fuerzas externas
II. INTRODUCCIÓN
• Las propiedades mecánicas de los materiales
deben conocerse para que los ingenieros puedan
relacionar las deformaciones con los esfuerzos.
• Para esto es necesario desarrollar ensayos como
por ejemplo de tracción, de compresión, de
torsión, de impacto, de flexión.
• En esta sección se describirán los ensayos de
tracción mostrando los diagramas esfuerzo
deformación.
II. ENSAYOS DE TENSIÓN
• La resistencia de un material depende de su capacidad
para soportar carga sin deformación excesiva.
• Esta propiedad inherente al material se determina
experimentalmente.
• Para evaluar la resistencia se han diseñado varios tipos
de ensayos en la cual el material se somete a cargas
estáticas, cargas cíclicas, de duración prolongada o
producida por impulsos.
• Cada una de las pruebas se encuentra estandarizada.
• En Estados Unidos la ASTM ha publicado normas para
llevar a cabo estos ensayos.
• Una de las más importantes es el ENSAYO DE TENSIÓN
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
• Permiten determinar varias propiedades mecánicas.
• Usan la relación esfuerzo normal medio y deformación
unitaria de materiales como: metal, cerámica,
polimeros, compuestos.
• Para su realización se usa probetas estandarizadas
como se muestra.
• Antes del ensayo se marcan con un punzón dos marcas
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
• Las marcas se colocan alejadas de los extremos debido
a que la distribución de esfuerzos es compleja en los
extremos.
• Se toman medidas tanto de Ao y de la longitud
calibrada Lo
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
• Para realizar los ensayos se usan máquinas de tracción
como la mostrada en la figura
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
• Las probetas son instaladas como se muestra en la
figura
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
II. ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN:
• Durante la prueba y en intervalos frecuentes se registra la
carga P. También se miden el alargamiento  =L– Lo entre
las marca con extensómetro. Esta deformación se usa para
determinar la deformación unitaria normal
IV. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
• A partir de los datos del ensayo de tracción o
compresión se obtiene la curva esfuerzo normal () –
deformación unitaria ().
• El esfuerzo nominal o de ingeniería se obtiene
dividiendo la carga aplicada P entre el área inicial Ao de
la sección original
 
P
A0
• De igual forma se determina la deformación unitaria
dividiendo el cambio en la longitud y la longitud inicial
L0
 
Li  L 0
L0


L0
IV. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
• La curva esfuerzo deformación es mostrada en la figura
IV. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
• Este diagrama es importante porque
determinar varias propiedades mecánicas.
permite
• Dos diagramas esfuerzo-deformación no son nunca
iguales para un mismo material, ya que depende de
entre otras variables como la composición del material,
de las imperfecciones, de la velocidad de carga, de la
temperatura del ensayo de la manera en que es
fabricado.
IV. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
• Ahora describimos las características de la curva
esfuerzo deformación de un acero.
IV. DIAGRAMA -: COMPORTAMIENTO ELÁSTICO.
• La muestra retorna a su forma original cuando se le
suspende la carga aplicada.
• La curva en general es una recta
• Aquí se distinguen dos puntos: (a) el límite de
proporcionalidad y (b) el límite elástico,
IV. DIAGRAMA -:FLUENCIA.
• Un ligero aumento mas allá del límite elástico produce
un colapso del material y éste se deforma
permanentemente.
• Este comportamiento se llama fluencia, siendo el
esfuerzo que lo origina se llama esfuerzo de fluencia y
la deformación se llama deformación de fluencia.
IV. DIAGRAMA -:Endurecimiento por deformación.
• Cuando finaliza la fluencia del material el incremento de
carga produce in incremento en el esfuerzo dando lugar
a una curvatura que se va aplanando hasta alcanzar el
esfuerzo último. La elevación de la curva se llama
endurecimiento por deformación. A lo lago de la prueba
y mientras la probeta se está cargando, el área de su
sección disminuye uniformemente en toda su longitud
IV. DIAGRAMA -:
Formación del cuello
• En el esfuerzo último, el área de la sección transversal
comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta.
• Este fenómeno es causado por planos de deslizamientos
que se forma dentro del material causadas por esfuerzos
cortantes
• Como resultado aparece una estricción “cuello”. El diagrama
esfuerzo deformación se curva hacia abajo hasta que se
produce la ruptura en el punto de esfuerzo de fractura
IV. DIAGRAMA - REAL :
• Si en lugar de usar el área y la longitud inicial en la
determinación del esfuerzo y la deformación se usan el área
y las longitudes instantáneas los esfuerzos y deformaciones
son reales y la curva es una curva esfuerzo-deformación
real.
• En la figura este diagrama es representada por la línea
punteada.
IV. DIAGRAMA - REAL :
• Aun cuando los diagramas esfuerzo-deformación son
diferentes en diseño de ingeniería se usa solamente el rango
elástico siempre que el material sea rígido y las
deformaciones sean pequeñas. Los conceptos anteriores en
el diagrama mostrado para el acero dulce
IV. DIAGRAMA - MATERIALES DUCTILES
• Material dúctil es aquel que experimenta deformaciones
unitarias grandes antes de la rotura (acero dulce).
• En ingeniería la utilidad de estos materiales es amplia por su
capacidad grande de absorber energía y que experimentan
deformaciones grandes antes de la rotura.
• Una manera de especificar la ductilidad es reportar su
porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de
área. Es decir
Elongación 
l f  l0
(100% )
l0
R educción of area 
A0  A f
(100% )
A0
• Aquí Ao es el área inicial y Af es el área de fractura
IV. DIAGRAMA - MATERIALES DUCTILES
• Entre otros materiales que siguen la tendencia del acero son
el latón, el molibdeno y el zinc.
• Sin embargo, en la mayoría de metales no se presenta una
fluencia mas allá de la zona elástica. Uno de estos
materiales es ele aluminio.
• Para determinar el esfuerzo de fluencia se usa el método de
desviación. Normalmente se usa la deformación del 0,2%
IV. DIAGRAMA - MATERIALES DUCTILES
• En las figuras se muestra el diagrama esfuerzodeformación para un plomero el cual exhibe un
comportamiento elástico no lineal
IV. DIAGRAMA - MATERIALES FRAGILES
• Materiales frágiles son aquello que exhiben poca o
ninguna fluencia, destacan entre otros la fundición
gris, el concreto, etc.
IV. DIAGRAMA - MATERIALES FRAGILES
• En la figura se muestra la curva esfuerzo-deformación
para la fundición gris de ella se observa que el esfuerzo
de fractura bajo tensión es 22 ksi. Sin embargo el
esfuerzo de fractura a compresión es mucho mayor
IV. DIAGRAMA - MATERIALES FRAGILES
• En la figura se muestra la curva esfuerzo-deformación
para el concreto el cual tiene baja resistencia a la
tensión. Las características del diagrama dependen de
la mezcla del concreto (arena, agua, grava, cemento).
Por ella se refuerza con varillas de acero
LEY DE HOOKE
• La mayor parte de materiales de ingeniería exhiben un
comportamiento lineal entre el esfuerzo y la deformación
dentro del rango elástico.
• Por tanto un aumento en el esfuerzo causa un aumento
proporcional en la deformación unitaria.
• Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en resortes
y se llama Ley de Hooke.
• Matemáticamente se expresa
• Donde E es la constante de proporcionalidad y se llama
MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE YOUNG
RAZÓN DE POSSON
 Cuando un cuerpo deformable se somete a fuerzas axiales
de tensión, no solo se alarga sino que también se contrae
lateralmente. Ocurre lo contrario cuando la fuerza es de
compresión.
 Las deformaciones axial y lateral son
razón de Poisson es
 long 

L
y lat

'
r
. La
RAZÓN DE POSSON
 El signo menos ya que el alargamiento produce una
deformación positiva y la contracción una deformación
negativa.
 La razón de Poisson es adimensional y su valrs oscila entre
0,5    0