Transcript 社会的選択

社会的選択
• 様々な個人がるとき、社会のありえる状態の
うち、社会全体、どんな状態をどんなふうに選
ぶのがいいか、考える
• 「アローの不可能性定理」 ・・・難しい
投票のパラドックス
1
2
3
x
y
z
y
z
x
単純多数決では、
xは、yに２対１で勝ち、
yは、zに２対１で勝ち
zは、xに２対１で勝つ
z
x
y
ボルダのルール
• 各人の順位の和、
小さい順
4+1+1=6,1+2+2=5,2
+4+4=10,3+3+3=9
で
y>x>w>z
wとz を除くとx>y
1
2
3
y
x
x
z
y
y
w
w
w
x
z
z
社会的選好
• 複数個人の選好の組から、選好(社会の)へ
の関数
• 選好は、反射律・推移律・完備性 を持つ二項
関係
反射律
推移律
完備性
x± x
x ± y, y ± z  x ± z
x ± y or x ± y
アローの不可能性定理
(Arrows Impossibility theorem)
•
•
•
•
以下の条件を満たす社会的選好は存在しない
(1)選択対象が3以上あるとき、
(2)全員一致を尊重し(パレート原理)
(3)どんな個人の選好の組み合わせに対しても、
社会的選択が可能で、 (定義域の非限定性)
• (4)二つの対象の社会的選好はその二つの対象に
対する各個人の選好のみによる。(非関連対象か
らの独立の条件、情報の効率性)
• (5)特定の個人の選好と完全に一致しない(非独裁
性)
選択対象が3以上あるとき
• 二つなら単純多数決がいい
定義域の非限定性
• 単峰的な選択では、投票のパラドックスは、
おこらない
• 中位投票者が勝つ
• 二次元では、投票のパラドックス
z
が起こる例は、容易に書ける。
y
x
アローの不可能性定理の解説
f :± 1  ..... ± n  ±
写像の性質
S
選択対象が3のとき
x y  z
x
y
z
x y
z
x
z
y
x z
y
y
x
z
y  z
x
y
z
x
x
y  z
z
x
y
y
x z
z
y
x
z
x y
のペアがn組与えられ
ると一つ決まる
非関連対象からの独立の条件、情報
の効率性
写像の数を大幅に減らす
T  3, n  3
13
2197
 3
 2.15548506  10
27

3
2447
 4.4342648824304  10
38
パレート原理
x ± 1 y, x ±
2
y ......, x ±
n
y x±
x ± 1 y, x ±
2
y ......, x ±
n
y
&x
i
y x
S
y
S
y
アローの定理の証明
ペア(x,y)に決定力を持つグループ
i  G , x
i
y x
S
y
決定力を持つグループ=すべてのペア(x,y)に
決定力を持つ
決定力を持つ個人の存在=独裁者の存在
領域拡大の補題
• 一つのペアについて、決定力を持つグループ
は、決定力を持つ
G :  x , y に つ い て 、 決 定 力 を 持 つ
G
a± x
NotG
a ± x, y ± b
 x
S
パレート
推移律
S
b
 x
S
b
G
S
x
a
NotG
G:(x,y)に決定力を持つ
y
 y±
 a±
y± b
領域の非限定により取れる
任意
パレートと推移律
S
b
b
非対象領域からの独立
 a
S
b
G : 任 意 の  a , b に つ い て 、 決 定 力 を 持 つ
(支配)グループ縮小の補題
• 二人以上からなる決定力を持つグループがあれば、
そのグループに含まれるより小さい決定力を持つグ
ループがある。
決定力があるGをG1とG2に分ける
x,y
xfy
xfy
any
G1
G2
Other
x
S
y,z
any
zfy
any
z,x
xfz
any
any
領域の非限定だ
けでなく、ここで
対象が3つ以上
あることを使う
z  G1は 、 x , zに 決 定 力 を 持 つ
 G1は 、 決 定 力 を 持 つ
z±
S
x z±
S
x
S
領域拡大の
Lemma使う
y
Gが支配力を持つ＋
推移律
 G 2は 、 z , y  に 決 定 力 を 持 ち 決 定 力 を 持 つ
アローの定理の証明
パレートにより、全員は、支配力を持つので、
(支配)グループ縮小の補題を繰り返すと一人まで落ちる。