Transcript Modélisation unifiée des aspects électriques et mécaniques des

Elec 2311
Semaine 1bis (2011)
Modèles de type « circuit »
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Deux types de modèles
Modèles « circuit » : une coordonnée au plus (le temps)
utilisation plus rapide et simple
impossibilité de tenir compte des dimensions géométriques
Modèles « champ » : jusqu ’à 4 coordonnées (t, x , y et z )
lents et compliqués, mais incontournables pour la conception
Utilisation simultanée des deux types de modèles
on profite des avantages des deux types
nécessité de règles de correspondance explicites
Conseil : quand deux modèles sont utilisés, bien distinguer (y
compris dans les documents) les parties de l ’étude utilisant l ’un
ou l ’autre des modèles, ainsi que les parties effectuant la mise en
correspondance.
Nous avons vu lors du premier cours que l’évaluation des
performances peut nécessiter un grand nombre d’analyses
du dispositif pour chaque jeu de paramètres constructifs.
Faire la simulation en utilisant un modèle champ
serait en général trop long
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Dans ce cas, on a intérêt à utiliser pour chaque jeu de
paramètres constructifs un (ou quelques) calcul de champ
pour déterminer les paramètres d’un modèle circuit, qui est
ensuite le seul utilisé pour la simulation.
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Modèles « circuit » vus l’an passé
Circuits équivalents en T
d ’un transformateur
d’une machine asynchrone
Circuits équivalents en T
d ’une machine synchrone à
pôles lisses
Circuit équivalent
d’une machine DC
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Ces circuits ne sont valides qu’en régime permanent.
Les trois premiers supposent en outre que la machine est à
couplage sinusoïdal et pôles lisses.
Avec les mêmes hypothèses, il est facile d’obtenir le
circuit équivalent d’une machine synchrone à aimants : il
suffit de considérer un courant if / a constant.
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Le modèle thermique d’une machine peut lui aussi
être présenté sous la forme d’un circuit équivalent
En modélisant les pertes Joule par deux éléments (une source de courant de
valeur fixée et une résistance négative), on peut utiliser les méthodes
d’analyse de la théorie des circuits linéaires (par exemple pour calculer les
deux constantes de temps), ce qui n’aurait pas été le cas avec une source de
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courant dépendant de la température.
Questions à se poser ?
Pourquoi un circuit équivalent plutôt qu’un ensemble
d’équation ?
Ces circuits sont-ils suffisants en conception de dispositif ?
Transitoires électriques
Machines à pôles saillants
Couplage non sinusoïdal
….
Comment calculer les paramètres de ces circuits ?
Pour y répondre, commençons par nous demander ce
qu’est un circuit !
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Qu’est-ce qu’un circuit ?
Circuit = façon de présenter un système d’équations
Possible seulement si ce système a une forme
appropriée
Structure préalable : graphe orienté
Premier volet : i et grandeurs associées (q et j)
Second volet : u et grandeurs associées (y et e)
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L ’essentiel de la théorie des
circuits
Les deux lois de Kirchhoff
Il existe une relation purement algébrique entre les
tensions d ’une part, entre les courants d ’autre part
Conséquence : théorème de Tellegen
S ui ii = 0
plus que la simple conservation de la puissance.
Il est important que le modèle respecte les axiomes des
circuits pour pouvoir profiter des théorèmes de la théorie
des circuits, notamment la conservation de la puissance.
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Formalisme de la théorie des circuits
Puisque l ’on va devoir établir une correspondance avec un
modèle « champ », il est bon d ’adopter un formalisme
semblable à celui de l ’électromagnétisme de Maxwell.
Premier volet d ’équations d ’évolution
loi de nœuds de Kirchhoff
i = dq / dt + j
Second volet d ’équations d ’évolution
loi des mailles de Kirchhoff
u = dy / dt + e
Relations constitutives : différentes pour chaque
élément : résistance, inductance, capacité…...
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+ structure préalable
La principale raison pour laquelle j’introduis ce
formalisme est qu’il permet la mise en correspondance des
modèles « champs » et des modèles « circuits ».
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Ce formalisme est aussi utile pour analyser des
circuits, notamment les circuits non linéaires.
Exemple à traiter sous forme d’exercice : calculer le
courant obtenu après un temps fixé dans une
inductance pure non linéaire soumise à une tension
constante.
Vaut-il mieux spécifier l’inductance par une
fonction L(i) ou y(i) ?
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Méthodes Lagrangiennes en
théorie des circuits
On peut condenser l ’information relative à un dispositif
inductif dans une seule fonction, la coénergie wcm .
Avantages (vu l ’an passé au cours ELEC 1310) :
 moins de paramètres dans le cas d’un élément à
plusieurs accès électriques
 cohérence du modèle garantie,
 utilisation plus facile des symétries
Supposent les relations univoques (pas d ’hystérésis)
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Equations « générales »
d  w cm   1  w cm
u
 ( )
 ... (Ri)
dt  i
i 
 w cm  w cm
C



Les deuxièmes termes n ’ont pas été vus lors du cours ELEC 1310
(limité aux circuits filiformes)
Ce sont les termes de glissement.
 = position de la matière
 = position du circuit
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Les termes de glissement sont nuls si  =  . On parle alors de
« circuits filiformes ». C’est le seul cas considéré dans le cours de
l’an passé.
Quand est-il utile de considérer les termes de glissement ?
• Dans le cas (rare) de machines dérivées de la roue de Barlow (ou
du disque de Faraday)
• Dans le cas des machines DC si on veut traiter l’induit comme
UN circuit.
Attention, dans le cas des machines à collecteur électronique, il faut encore introduire
d’autres termes si l’on veut arriver à une précision raisonnable tout en considérant l’induit
comme un seul circuit.
• Dans
le cas des machines polyphasées si on veut considérer les
systèmes d, q et o comme des circuits à part entière.
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Convertisseurs homopolaires
(dérivés de la roue de Barlow ou du disque de Faraday)
Ci-contre, le circuit magnétique n’est pas
représenté complètement.
Il y a des variantes topologiques (machines
cylindriques, machines linéaires...)
On doit utiliser la notion de circuit glissant
pour introduire un modèle circuit de ces
machines.
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Machines à courant continu
Bien que l’induit soit formé de
multiples circuits filiformes, il est
équivalent à un circuit glissant unique.
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Machines DC à collecteur électronique
Exemple : génératrice à redresseur
On peut encore utiliser un circuit glissant, mais le circuit d’induit n’est
plus fixé à 90° par rapport à l’axe de l’inducteur. En outre, pour être
complet, il faut tenir compte d’autres degrés de liberté, notamment
d’une variation de la « largeur des balais » en fonction du courant
d’induit (correspondant au temps de commutation dans le circuit
filiforme).
La notion s’étend aux « brushless ».
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Machines à courant alternatif
Il existe des situations où l’on ne peut plus se contenter
d’un circuit équivalent monophasé
• machine à pôles saillants
• ou régime déséquilibré
• ou régime transitoire
On devrait alors considérer chaque phase séparément,
d’où un grand nombre d’équations fortement
couplées.
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Circuits o, d, q
La situation peut se simplifier en changeant de circuit
(mathématiquement). Pour cela, on remplace les circuits a, b
et c par trois autres circuits o, d et q (homopolaire, direct et
en quadrature). Cela se ramène à un changement de
variables. On a par exemple pour les tensions.
[u o , u d , u q ]  [u a , u b , u c ] T P(e )
où T et P sont des matrices (matrice de Concordia et
matrice de Park)
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[u o , u d , u q ]  [u a , u b , u c ] T P(e )
La matrice de Concordia T est une matrice constante



2
|T|
3



2
2
2
2
2
2
1
1
2
1

2


0 

3 
2 
3


2 
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[u o , u d , u q ]  [u a , u b , u c ] T P(e )
La matrice de Park P est une matrice variable
0
1
P(e )  0 cose
0 sin e

 sin e 
cose 
0
Pour simplifier les équations de la machine, on choisit
e lié à la position du rotor et tel que le circuit d soit
« aligné » avec l’inducteur, le circuit q étant en
quadrature avec l’inducteur.
(Pour l’étude en régime du réseau, on préfère parfois lier e à la phase wt
du réseau. Dans ce cas, les équations de la machine ne se simplifient pas !)
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La transformation permet,
dans le cas des machines à
couplage sinusoïdal, de
réduire le nombre de termes
de couplage entre les
équations … donc d’obtenir
un circuit équivalent distinct
pour chaque composante.
Par exemple, pour une
machine synchrone en
régime, on pourra tenir
compte de pôles saillants à
l’aide des circuits (on
suppose que l’homopolaire
n’est pas excité) ci-contre.
Ces circuits ne sont plus couplé que par le biais de sources de tension (qui
tiennent compte du glissement et dépendent du flux dans l’autre circuit),
ainsi que par les éléments non linéaires éventuels (saturation croisée).
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Utilisation d ’un modèle circuit
pour la conception par calcul
Pour spécifier des composants
Possible seulement pour les
composants au comportement
simple (résistances standard …).
Les composants de puissance ne
sont pas conçus spécialement pour
avoir un comportement simple !
Pour concevoir un composant par calcul
Utilisation d ’un modèle circuit
pour déterminer des caractéristiques de matériaux
Directement
Indirectement
Il peut y avoir plusieurs modèles
« circuit » pour un même dispositif
Le choix dépend de l’usage que l’on veut faire du modèle :
* Vérifier la tenue du dispositif à différents régimes,
* Déterminer son rendement énergétique
* Dimensionner l’électronique de puissance associée
* Concevoir un régulateur PID pour le commander,
* Tester ce régulateur en tenant compte de la saturation….
* …………………………………
Exemple de demande mal formulée : donnez moi LES équations
de LA machine à courant continu (sans autre précision).
Le choix d’un modèle circuit dépend des grandeurs à calculer, mais aussi de la
précision, du temps requis pour l’utiliser …
Il faut aussi savoir quels sont les temps caractéristiques des
phénomènes que l’on souhaite étudier :
La présence de l’électronique de puissance donne lieu à des temps très courts :
attention aux capacités « parasites ».
Ia
T
L
u2, Ia
D
U1
u2, Ia
u2 (U2moy)
cde
w
u2
Ia
t
commutation des
semiconducteurs
A l’échelle du
hachage, on
considère souvent
les commutations
comme
instantanées
u2
Ia
t
période de
hachage de
l’électronique
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Transitoire électrique : souvent quasistatique (modèle purement
inductif). Ils sont régis par les valeurs des inductances et des résistances.
On ne considère que les valeurs moyennes sur une période de hachage.
u2, Ia
U2moy
Ia
t
Dans beaucoup de cas, les transitoires électriques sont beaucoup plus court
que les transitoires mécaniques. Dans ce cas, on ne s’intéresse souvent
qu’au régime permanent d’un point de vue électrique (entendez par là
lentement variable car le régime évolue avec la variation de la vitesse
mécanique) mais transitoire d’un point de vue mécanique.
Rappelons que, dans certains cas, le régime « permanent » électrique
peut être étudié par un circuit équivalent monophasé.
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Il y a aussi des situations où l’on considère les régimes électrique
et mécanique comme permanents (entendez par là lentement
variables car le régime évolue avec la variation de température)
mais que l’on étudie le transitoire thermique (régi essentiellement
par les capacités et les résistances thermiques)
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De quel modèle a-t-on besoin pour
rendre compte du régime permanent ?
Pour une machine synchrone à pôles lisses en régime permanent
: le circuit le plus simple est celui de Behn-Eschenburg
Ce circuit rend mal compte des non linéarités et des pertes
Dans le cas d’une machine à aimant permanent, pas de circuit
inducteur et on prend E0 constant.
IL FAUT vérifier que les hypothèses sont satisfaites (pôles
lisses et fonctionnement sans saturation) !
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Exemple de question.
• point de vue énergie : quel courant (amplitude et phase)
faut-il soutirer à une génératrice pour en extraire un
maximum de puissance tout en lui gardant une durée de
vie convenable ?
• point de vue mécatronique : quel courant (à chaque
instant) faut-il appliquer à un actionneur pour suivre un
profil de vitesse donné tout en lui gardant une fiabilité
suffisante ?
Le modèle de Behn-Eschenburg ne permet qu’une
réponse approchée car ses éléments ne correspondent pas
à des éléments physiques. Il ne rend donc pas compte
correctement des pertes !
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Le circuit équivalent le plus simple qui tient compte des non
linéarités est celui de Potier (limité aux machines à pôles lisses).
Les pertes par effet Joule et les pertes magnétiques sont bien séparées.
Ce circuit se ramène au précédent par une transformation de Thévenin.
Dans le cas d’une machine à aimant, il n’y a pas d’inducteur et on prend i’f
constant.
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Comment déduire la valeur des
paramètres à partir de calculs de
champ ?
Il y a au moins deux possibilités
• soit chercher à faire correspondre à chaque phénomène un
élément de circuit.
• soit déterminer les éléments du circuit équivalent en
réalisant des essais expérimentaux virtuels (par calcul de
champ) semblables à ceux qui sont utilisés pour déterminer
expérimentalement les paramètres (voir cours 1310 ou
2753).
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Par la première méthode (faire correspondre chaque phénomène à un élément de
circuit), on n’obtient pas directement un circuit classique (Potier, BehnEschenburg) parce que les éléments de ces circuits ne correspondent pas à des
phénomènes distincts.
+ homopolaire
D et Q sont les circuits amortisseurs rotoriques. On remarque la
présence de termes de glissement.
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Après diverses simplifications, on retrouve des circuits plus
familiers
+ circuit homopolaire
En régime permanent, on retrouve les circuits équivalents
habituels (pas de tension sur les éléments rotoriques)
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En régime permanent, on obtient
On peut introduire la notion de phaseur, mais ce n’est que pour une
machine à pôle lisse que cela permet de combiner les deux circuits d et
q en un seul et obtenir le circuit de Potier.
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Autre approche : on effectue des essais virtuels et on en déduit
les paramètres du modèle circuit comme si on avait effectué des
mesures de laboratoire.
On peut faire des essais virtuels sans correspondant réel (par
exemple supprimer l’aimantation des aimants, ou appliquer une
valeur de courant qui mettrait en danger une machine réelle).
On peut aussi mélanger les deux approches.
Comme dans le cas des essais réels, on a intérêt à effectuer des
essais dont les résultats dépendent principalement d’une partie
seulement des paramètres à déterminer (rappel labo sur machine
asynchrone des cours ELEC1310 ou 2753 : un essai à rotor
bloqué pour déterminer les éléments série et un essai à faible
charge pour déterminer les éléments parallèle)
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Essais expérimentaux
But : valider le modèle choisi
Moyen : déterminer expérimentalement les valeurs des
paramètres « circuit », et les comparer aux valeurs obtenues par
le calcul a priori.
Note : l’expérience ne permet pas toujours de vérifier la valeur
de tous les paramètres obtenus par calcul de champ. En
particulier, pour les machines à aimant permanent, la séparation
de l’inductance de magnétisation et de l’inductance de fuite par
des essais expérimentaux classiques est quasi impossible. Dans
ce cas, on déduit du modèle calculé un modèle du type BehnEschenburg (qui ne considère que la somme de ces deux
inductances) et on effectue la vérification sur ce dernier !
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