Transcript ה – VaR - WordPress.com

Value at Risk – ‫הערך בסיכון‬
(VaR)
‫תוכן עניינים‬
‫‪ .1‬הקדמה‬
‫‪ .2‬מדד הערך בסיכון (‪)VaR‬‬
‫‪ .3‬חישוב ה – ‪VaR‬‬
‫‪ .1‬הקדמה‬
‫‪ ‬עד כה‪ ,‬איפיינו את ההתפלגות התשואות ע"י מדד סטיית‬
‫התקן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תזכורת‪ :‬האנטרופיה (אי‪-‬וודאות) של ההתפלגות הנורמלית תלויה אך‬
‫ורק בסטיית התקן‪.‬‬
‫‪ ‬ראינו שאת המדד הזה ניתן לחשב מתשואות היסטוריות‬
‫וממחירי אופציות (‪)Implied Volatiltiy‬‬
‫‪ ‬כמו‪-‬כן‪ ,‬במצגת הקודמת‪ ,‬תיארנו את הסיכונים המשוייכים‬
‫לתיקי אופציות‪.‬‬
‫‪ .1‬הקדמה‬
‫‪ ‬מוסד פיננסי מחשב את מדדי הסיכונים השונים הקשורים‬
‫לחשיפות של המוסד הפיננסי‪ .‬אולם‪ ,‬קיים צורך לסכם את כל‬
‫המדדים האלו למדד אחד‪.‬‬
‫‪ ‬מדד הערך בסיכון (‪ )VaR‬מנסה לסכם (ע"י הצגה של מספר‬
‫בודד) את סה"כ הסיכון אליו חשוף המוסד הפיננסי‪.‬‬
‫‪ ‬אנחנו נראה ‪ 2‬דרכים לחישוב ה – ‪:VaR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סימולציה היסטורית (‪)Historic simulation‬‬
‫בניית מודל (‪)Model building‬‬
‫‪VaR .2‬‬
‫‪ ‬מדד ה – ‪ VaR‬בא להצהיר את הדבר הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫"אני בטוח ברמת ודאות של ‪ X%‬שלא אפסיד יותר מ – ‪ $V‬ב – ‪ N‬הימים‬
‫הבאים"‪.‬‬
‫‪ ‬ובכן‪ V ,‬הנו מדד ה – ‪ VaR‬והנו פונקציה של זמן (‪ )N‬ורמת‬
‫ווודאות (‪.)X%‬‬
‫‪ ‬למעשה‪ V ,‬הנו ההפסד (תקופתי) בהסתברות של ‪(100-X)%‬‬
‫‪ ‬כלומר‪ VaR ,‬הנו ההפסד המקביל‬
‫למאית ה – )‪ (100-X‬של התפלגות‬
‫השינויים בערך התיק לאורך ‪ N‬ימים‪.‬‬
‫‪VaR .2‬‬
‫‪ ‬לדוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N=5‬‬
‫‪X=97‬‬
‫אז ה ‪ VaR -‬הנה המאיון השלישי של התפלגות השינויים (ב – ‪ 5‬ימים)‬
‫בשווי התיק‪.‬‬
‫טווח הזמן‬
‫‪ ‬לרוב‪ N=1 ,‬בגלל שאין מספיק מידע‬
‫(נתונים) להעריך ישירות את התנהגות‬
‫את משתני השוק מעבר ליום אחד‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪N  dayVaR  1  dayVaR N‬‬
‫‪ .3‬חישוב ה ‪VaR -‬‬
‫‪ ‬את חישוב ה – ‪ VaR‬ניתן לבצע ע"י סימולציה היסטורית או בניית‬
‫מודל‪ .‬אנחנו נתמקד בדרך השניה‪.‬‬
‫‪ ‬לפני זה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בתמחור אופציות‪ ,‬נהוג לצטט את סטיית התקן במונחים שנתיים‪ .‬כלומר‪ ,‬סטיית‬
‫התקן באופציות הנה למעשה סטיית התקן של תשואות נ‪.‬ב לשנה אחת‪.‬‬
‫במדידת הערך בסיכון‪ ,‬נהוג לצטט את סטיית התקן היומית‪.‬‬
‫הקשר בין השתיים‪:‬‬
‫‪ year   day 252‬‬
‫‪ .3‬חישוב ה ‪VaR -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתחיל מהמודל הפשוט ביותר‪ :‬תיק הכולל מניה אחת בלבד (מניית‬
‫ישראל)‪ .‬כמו – כן‪ ,‬נניח נורמאליות‪.‬‬
‫שווי האחזקה שלנו במניה עומד על ‪ $10‬מיליון במניית ישראל‪.‬‬
‫סטיית התקן של תשואות (יומיות) של מניית ישראל הנה ‪ 2%‬ליום (או‬
‫קרוב ל – ‪ 32%‬לשנה)‪.‬‬
‫אנחנו מעוניינים לחשב את ה – ‪ VaR‬ברמת וודאות של ‪ 99%‬ל‪10-‬‬
‫ימים‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N=10‬‬
‫‪X=99%‬‬
‫‪ .3‬חישוב ה ‪VaR -‬‬
‫‪ ‬שלב א'‪ :‬נתרגם את מושג סטיית התקן למונחים כספיים‪ ,‬קרי‪:‬‬
‫‪10,000,000 0.02  $200,000‬‬
‫‪ ‬שלב ב'‪ :‬נתרגם כעת את סטיית התקן למונחים של ‪ 10‬ימים‪:‬‬
‫‪200,000 10  $632,456‬‬
‫‪ ‬למען הפשטות‪ ,‬נניח תשואה יומית ממוצעת של ‪( 0%‬ריאלי עבור‬
‫טווחים קצרים)‬
‫‪ ‬שלב ג'‪ :‬נשתמש ב – ‪Standard Normal‬‬
‫‪ ‬לפי ההתפלגות הזו רמת וודאות של‬
‫‪ 99%‬מקבילה ל – ‪ 2.33‬סטיות‬
‫מהמוצע‪ .‬כלומר‪N(-2.33)=0.01 :‬‬
‫‪ .3‬חישוב ה ‪VaR -‬‬
‫‪ ‬ולכן ה – ‪ VaR‬ל – ‪10‬‬
‫ימים‪2.33 632,456  $1,473,621 :‬‬
‫‪ ‬תזכורת‪ Standard Normal :‬מתארת את ההתפלגות של משתנה‬
‫בעל המאפיינים הבאים‪:‬‬
‫)‪x  N (0,1‬‬
VaR - ‫ חישוב ה‬.3
Standard – ‫התפלגות ה‬
:Normal
.‫ מנרמלים את המשנה‬.1
z
x  E ( x)
x
 E ( z )  0,  z  1
:‫ ההתפלגות נהפכת ל‬.2
z
1 2
f ( z) 
e
2
‫ פונקציית הצפיפות‬.3
xi  E ( x )

x  E ( x) 
 
P z  i

x


1
2
x


e

z2
2
dz
‫‪ .3‬חישוב ה ‪VaR -‬‬
‫‪ ‬דוגמא נוספת‪ :‬מניית תל‪-‬אביב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אחזקה של ‪ $5‬מיליון‬
‫סטיית תקן יומית של ‪ 16%( 1%‬שנתי)‬
‫סטיית ‪-‬תקן ל – ‪ 10‬ימים‪:‬‬
‫‪:VaR‬‬
‫‪50,000 10  $158,144‬‬
‫‪158,144 2.33  $368,405‬‬
‫‪ ‬מה אם התיק שלנו מורכב ממנית ישראל ות"א?‬
‫‪ .3‬חישוב ה – ‪ – VaR‬פיזור סיכונים‬
‫‪ ‬דוגמא של ‪ 2‬מניות‪:‬‬
‫ה – ‪:VaR‬‬
‫תל‪-‬‬
‫אביב‬
‫ישראל‬
‫‪$1‬‬
‫‪2%‬‬
‫סטיית תקן יומית‬
‫‪0.3‬‬
‫קורלציה‬
‫‪ $10‬מיל'‬
‫אחזקה‬
‫‪ $5‬מיל'‬
‫‪ ‬ראשית‪ ,‬נחשב את סטיית התקן של התיק‪:‬‬
‫‪ X Y  200K 2  50K 2  2  0.3  200K  50K‬‬
‫‪ X Y  220,227‬‬
‫‪220,227 10  2.33‬‬
‫‪ $1,622,657‬‬
‫פיזור התיק נתן לנו‪:‬‬
‫‪1,473,621 368,405‬‬
‫‪ 1,622,657  $19,369‬‬
VaR - ‫ חישוב ה‬.3
‫ מה היא ההשפעה האינקרמנטלית של מניית ת"א על ה‬:‫ שאלה חשובה‬
?VaR –
N
R p   i Ri
:‫ תיק השקעות‬
 i 
i
 
N
E R p   i E Ri 
i
N
N
i
j
   i j i j  i , j
2
P
N
   i i2   i j i j  i , j
2
P
i
i  j j i
VaR - ‫ חישוב ה‬.3
i 
:‫ תיק השקעות‬
1
N
:‫פיזור סיכונים‬
 
N
 ER ,
1
E Rp 
N
1
  2
N
2
P
1
  2
N
2
P
i
i
N
N
  
i
i
N
i, j
j
  i2 
i
j
1
N2
  
i  j j i
i
j
i, j
N 2 N  N  1
1 2 N 1
  2 


 
 ij
ij
N
N2
N
N
lim  P2   ij
2
P
N 
