Transcript 马尔可夫骨架过程在PERT网络中的应用

2012年“随机图与复杂网络” 学术研讨
会
马尔可夫骨架过程在PERT网
络中的应用
孔祥星
合作者：张玄、侯振挺
中 南 大 学
2012年5月27日
统筹方法
想泡壶茶喝。当时的情况是：没有开水，开水壶
要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶没有拿，怎么办？
s
1
2
b
t
3
c
4
d
5
活动1（洗茶壶）需要1分钟，活动2（烧开水）需要
15分钟，活动3（洗茶壶）需要1分钟，活动4（洗茶
杯）需要1分钟，活动5（拿茶叶）需要2分钟。
PERT网络
在华罗庚先生所提的统筹方法中，项目中每个活动
的持续时间是固定的，只要安排好工序就可以求出项
目的完工时间。后来有人假设项目中每个活动的持续
时间是相互独立服从负指数分布的随机变量，可用马
氏链来研究项目的完工时间分布。我们进一步把每个
活动的持续时间推广为相互独立服从一般分布的随机
变量，把每个活动已实施的时间作为补充变量，从而
构建一个带有吸收态的马尔可夫骨架过程，通过其向
后方程得到了PERT网络完工时间分布的解析表达式。
PERT网络
用 G  (V , A) 表示一个具有一个源点s和一个汇点t
的有向非循环网络，其中， V  v1 , v2 ,, vm  表示节点
（事件）集， A  a1 , a2 ,, an  表示弧（活动）的集
合，对于任意个一个活动 a A ，其持续时间是服
从一般分布的随机变量。令  (a) 表示弧 a 的起点，
 (a ) 表示弧 a 的终点，一条 ( s , t ) 有向路径是一个弧
序列 (a1 , a2 ,, ak ) 且弧序列满足如下的条件  (a1 )  s ，
 (ak )  t 且  (ai )   (ai 1 ),i  2,3,, k 。
PERT网络
定义1 令 O (v) 和 I (v) 分别表示以节点 v 为起点和终点
的弧的全体，分别可以表示如下：
O(v)  a  A :  (a)  v
(v  V ),
I (v)  a  A :  (a )  v
(v  V ).
定义2 设 s  X  V，t  X  V  X ，则 ( s , t ) 割集定
义为 ( X , X )  a  A :  (a)  X ,  (a)  X .

如果一个 ( s , t ) 割集
有向割集。

( X , X ) 是空集，则称 ( X , X ) 为一致
PERT网络
定义3 在项目的实施过程中，在时刻每个活动都
会处于活动、休眠的或空闲的三种状态之一：
（1）活动：如果某个活动在时刻t正在施工则
称该活动处于活动的状态。
（2）休眠：如果某个活动 a 已经完工，但是
I (  ( a ))中的活动没有都完工，此时 O(  (a)) 中的活动
不能开始施工，称 a 处于休眠的状态。
（3）空闲：如果某个活动既不是活动的也不
是不活动的，则称为空闲的。
PERT网络
设 L  (a1 , a2 ,, ak ) 是PERT网络G 的一条路径，路
径 L 的完工时间很明显不一定等于各个活动
a1 , a2 ,, ak 的完工时间之和。为了计算路径 L 的完工
时间分布，可采用如下的方法，令
Ak  ak , Ai 1  a  A : a  I ( (a' )),a' Ai , i  k , k 1,,2
A' A1  A2    Ak
从而包含 A' 所有活动的子图 G ' 的完工时间等于路径
L 的完工时间。
PERT网络
如图（a）所示，设路径 L  (1,3,5) ，则 A3  5,
A2  3, 4 , A1  1, 2 ，从而 A'  A1  A2  A3  1,2,3,4,5 。则子图
G ' 如图（b）所示，路径 L 的完工时间与子图 G ' 的
完工时间相等。
马氏骨架过程
在图(b)中所有的UDC为(1,2), (2,3), (1,4), (3,4),
(5)。所有UDC的容许二划分如下表所示，其中，
*表示该活动处于休眠状态。
表1
如上令 E 和 F 表示所有UDC中活动的和休眠的
活动。对 a E，令 (t ) 表示活动已实施的时间，
令 G () 表示活动 a 的持续时间分布。则剩余
a
(a)
马氏骨架过程
时间的分布
G(aa ) () 可表示为
G ( a ) ( a  t )  G ( a ) ( a )
G a (t ) 
1  G ( a ) ( a )
(a)
以活动的已实施的时间 
的状态变为
表2
a
(t ) 作为补充变量则表1
马氏骨架过程
令
E  
1  2 0,  0,  2 3 0,  0,  2 3* 0,   .
则 X (t ) 是一个状态空间为 E 的马尔科夫骨架过程。
令 r0  0, r1 , r2 , 表示 X (t ) 的不连续时间点（在时刻
rn (n  1)有一个活动完工），则 rn (n  1) 是马氏骨架过
程 X (t ) 的骨架时序列。
为了表述的方便，把表2中10个状态分别用
1,2，……，10来表示，马尔科夫骨架过程 X (t ) 在
完成状态1后转移到状态2或4或6，完成某项活动
马氏骨架过程
后继续向后转移，最终到达状态10，从而整个项
目完成。马尔科夫骨架过程的状态转移示意图如
下所示：
马氏骨架过程
令 T 表示PERT网络的完工时间，则
T  mint  0, X (t )  ( ,  ) | X (0)  (1,2,0,0)
可以通过马尔科夫骨架过程的向后方程计算项目
工期 F (t )  PT  t 的分布。
令 F9 ( 5 , t )表示从状态9转移到状态10的完工时间分
布，其中活动5已实施的时间长度为  5 ，则
F9 (5 , t )  P(5,5 ), t , ( ,  )
  q(5,5 ), ds, ( ,  ) P( ,  ), t  s, ( ,  )
t
0
t
  dG(55) ( s) : G(55) (t ).
0
马氏骨架过程
令 F8 ( 3 , t ) 表示从状态8转移到状态10的完工时间分
布，其中活动3已实施的时间长度为 3 ，则
F8 (3 , t )  P(3,4*,3 ), t , ( ,  )
  q(3,4*,3 ), ds, (5,0) P(5,0), t  s, ( ,  )
t
0
t
  G0(5) (t  s)dG(33) ( s).
0
马氏骨架过程
令 F1 (1 ,2 , t) 表示从状态1转移到状态10的完工时间分布，其
中活动1和2已实施的时间长度分别为 1 和 q2 则
F1 (q1 , q2 , t ) = P {(1, 2, q1 , q2 ), t , (f , f )}
t
ò q ((1, 2, q , q ), ds, (2, 3, q
+ ò q ((1, 2, q , q ), ds, (1, 4, q
+ å (G (s ) - G (s - ))(G
=
0
1
2
2
+ s, 0))P {(2, 3, q2 + s, 0), t - s, (f , f )}
1
2
1
+ s, 0))P {(1, 4, q1 + s, 0), t - s, (f , f )}
t
0
s£ t
t
(1)
q1
(1)
q1
(2)
q2
)
(s ) - G q(2) (s - ) P {(3, 4, 0, 0), t - s, (f , f )}
2
ò (1 - G (s ))F (q + s, 0, t - s )dG (s )
+ ò (1 - G (s ))F ( q + s, 0, t - s )dG (s )
+ å (G (s ) - G (s - ))(G (s ) - G (s - ))F (0, 0, t (2)
q2
=
0
t
(1)
q1
0
s£ t
(1)
q1
2
4
(1)
q1
2
(1)
q1
1
(2)
q2
(2)
q2
(2)
q2
6
s ).
马氏骨架过程
路径 L  (1,3,5) 的完工时间等于子图 G ' 的完工时间，
即马尔科夫骨架过程从状态1转移到状态10的时间。
F (t )  PT  t  F1 (0,0, t ),

E (T )   tdF (t ),
0

Var (T )   t 2 dF (t )  E (T )2
0
例子
为了说明本章所得解析结果的有效性，给出一个
具体的例子，设活动5的持续时间服从参数   1,   2
的  -分布，则其密度函数和剩余时间分布为
 xe , x  0,
( 5)
f ( x)  
x  0,
0,
5 t
x
G(55)


(t ) 

xe x dx
5

x
.
xe dx
5
设活动1,2,3,4,6的持续时间分布分别服从参数为
1,2,3,4,6的负指数分布。
例子
路径 L  (1,3,5) 的完工时间等于子图 G ' 的完工时
间，即马氏骨架过程 X (t )从初始状态1到达吸收态
10的时间。完工时间的分布、期望与方差如下：
1 7t 5 5t 1 4t 7 3t
5 t 35t t 3t 2 t
 2t
F (t )  1  e  e  e  e  2e  e 
e 
e ,
72
32
9
8
32
24
4

E (T )   tdF(t )  3.5119,
0

Var(T )   t 2 dF(t )  E (T ) 2  2.9910.
0
参考文献
[1] Kulkarni V., Adlakha V. Markov and Markov-Regenerative PERT
networks. Operations Research, 1986, 34:769~781
[2] Azaron A., Katagiri H., Sakawa M., et al. Multi-objective resource
allocation problem in PERT networks. European Journal of
Operational Research, 2006, 172:838~854
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Mathematics and Computation, 2006, 181:163~174
[4] Azaron A, Katagiri H, Kato K, etal. Longest path analysis in
network of queues. European Journal of Operational Research,
2006, 174:132~149
[5] Kong X. X., Zhang X., and Hou Z. T., Markov skeleton process in
PERT networks. Acta Mathematica Scientia, 2010, 30B(5):
1440~1448
2012年“随机图与复杂网络” 学术研讨会
谢谢各位专家老师！