EL MODO HELMHOLTZ DE DOS OSCILADORES PARADIGMÁTICOS: EL SISTEMA MASA RESORTE Y EL PÉNDULO

Dr. Reinaldo Welti – UNR - FCEIA

Material preparado para el Taller TA2 de REF 17 – Sept 2011

Modos de oscilación de una botella

L

Si la botella se comporta como un tubo cerrado abierto, la longitud de onda del modo más bajo sería del orden de 4L,y su frecuencia f1 sería del orden de c/4L, donde c es la velocidad del sonido

Si la botella no tiene cuello = tubo abierto cerrado

l

Los dos primeros modos de un tubo abierto – cerrado

f 1 = c/4l f 2 = 3c/4l

La frecuencia del modo más bajo de la botella con cuello es mucho menor. Esto significa que la longitud de onda de este modo es mucho mayor que la longitud característica de la botella

Si la longitud de onda es “grande”, las funciones que describen las ondas de desplazamientos y de presión son “casi” rectas.

15 Sólo energia cinética 10 5 Sólo energia potencial eléstica 0 -0.15

0 0.05

-0.1

k eq

-0.05

x (cm)

Para el estudio de su primer modo la botella puede considerarse como de “parámetros concentrados”

15 10 primer modo (

a

) 5 0 -0.15

-0.1

-0.05

x

(m) 0 0.05

10 5 0 -5 segundo modo (

b

) -10 -0.15

-0.1

-0.05

x

(m) 0 0.05

Se observa que en el 2º modo las energías potencial y cinética se distribuyen sobre toda la botella. El sistema debe ser analizado como de parámetros distribuidos.

OSCILADOR MASA RESORTE

¿porqué en muchos libros al sistema masa resorte se lo pone sobre una superficie horizontal?

Un interesante problema de elasticidad

) ) 2

k

2

kL

En ausencia de campo gravitatorio Estiramiento producido por el campo gravitatorio

Si al sistema se lo perturba se generan ondas Las ondas son análogas a las que se excitan en un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro

1er. modo 2do. modo desplazamiento longitudinal

Se comporta igual que la botella sin el cuello

Resorte para mostrar las ondas longitudinales Es un típico sistema de parámetros distribuidos

Cómo convertirlo en un sistema de parámetros concentrados A la búsqueda de un “cuello” para el resorte Se tiene que deformar poco (módulo de Young grande) La masa tiene que ser lo suficientemente grande para que su energía cinética sea mayor que la del resorte

M m

Nueva posición de equilibrio Efecto de la masa

M

sobre la forma de los modos: el primer modo es casi rectilíneo.

La frecuencia del segundo modo es más de 10 veces más alta

y

(unidades arbitrias)

y

(unidades arbitrias)

Figura 3

. Los dos primeros modos de oscilación de un sistema masa-resorte, para

m M

 1 (gráfica de la izquierda) y para

M

 0 (gráfica de la derecha).

EL PÉNDULO

l l

Figura 5

. Los dos primeros modos de oscilación de un péndulo: línea continua (1º modo), línea a rayas (2º modo).

Figura 6.

La forma que toma el péndulo durante una oscilación según Galileo.

En la Fig. 6 se muestra un dibujo de Galileo basado en observaciones de las oscilaciones de un péndulo cuando la masa suspendida es pequeña (del orden de la masa de la cuerda). Palmieri (2009) afirma que Galileo conocía la existencia de los llamados modos de oscilación ( “modos latentes de oscilación”) y que el péndulo se mueve en una superposición de sus diferentes modos. Si esto ocurre el movimiento del péndulo deja de ser periódico.

Palmieri afirma que esta es la causa por la cual Galileo en sus experimentos para demostrar el isocronismo insistía en utilizar hilos delgados de masa despreciable comparada con la masa suspendida en su extremo. En este caso la frecuencia del segundo modo es muy grande (30 veces más grande que la frecuencia fundamental) y, por lo tanto, oscila solamente en su modo fundamental

.

desolazamiento longitudinal del resorte