Transcript Stigande kurva

Exponentialfunktionen
Exponentiella förlopp med tidkonstanter är
mycket vanliga inom så gott som alla
fysikaliska tillämpningar.
I stället för att formellt lösa de bakomliggande
differentialekvationerna brukar ingenjörer
använda ”snabbformler” och ”tumregler”.
Här följer de vanligaste …
William Sandqvist [email protected]
exponentialfunktionen
Stigande kurva
x (t )  1  e

Fallande kurva
t

x (t )  e

t

Man kan använda
detta ”normerade”
diagram för att
avläsa en
uppskattning av
vad som händer vid
ett exponentiellt
förlopp med en
tidkonstant.
Normerat diagram 0…100% och 0…5 
William Sandqvist [email protected]
exponentialfunktionen
Tumregel för 1
och för 5 .
Stigande kurva
x (t )  1  e

Fallande kurva
t

x (t )  e

Vid tiden t =  har
1-e-1, 63% av
slutvärdet uppnåtts.
t

Vid tiden t = 5 har
1-e-5, av slutvärdet
uppnåtts. Mindre än 1
promille återstår då
till slutvärdet.
37% återstår till
slutvärdet.
 Man brukar därför anse att slutvärdet uppnåtts efter 5 tidkonstanter.
William Sandqvist [email protected]
exponentialfunktionen
Stigande kurva
x (t )  1  e

Fallande kurva
t

x (t )  e

Vid tiden t =  återstår det e-1, 37%, av
slut-värdet.
t

Vid tiden t = 5 är
det e-5, dvs. mindre
än 1 promille, kvar
till slutvärdet.
67% av slutvärdet har
då uppnåtts.
 Man brukar därför anse att slutvärdet uppnåtts efter 5 tidkonstanter.
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Ex. Snabb uppskattning av tidkonstanten
Figuren visar ”stegsvaret” för två processer med ”en tidkonstant”. Hur stor
är tidkonstanten T för de båda processerna?
Testsignal: stegändring ( = slå på strömbrytaren)
y
y
y
William Sandqvist [email protected]
Ex. Snabb uppskattning av tidkonstanten
100%
100%
63%
63%
T  25 [ ms ]
T  1 [s ]
Tidkonstanten där tangenten skär asymtoten, eller vid 63% av
slutvärdet.
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Differentialekvationer beskriver
kurvskaror
slut
x
Tidkonstanten anger kurvans
branthet.
Differentialekvationer beskriver
kurvskaror.
Vet vi att kurvan är en exponential- start
x0
funktion behöver vi också veta
startvärdet x0 och slutvärdet x för
att kunna ”välja” rätt kurva.
William Sandqvist [email protected]
Snabbformel för exponentialfunktioner
Typ. Stigande kurva
x (t )  1  e

t

Typ. Fallande kurva
x (t )  e

t

Snabbformel (ger direkt funktionen för en stigande/fallande kurva):
x0 = storhetens startvärde
t

x = storhetens slutvärde
x (t )  x   ( x   x 0 ) e 
 = förloppets tidkonstant
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
”Hela swinget genom resten”
Stigande kurva. En vanlig frågeställning vid exponentiella förlopp är:
Hur lång tid t tar det att nå till x ?
William Sandqvist [email protected]
”Hela swinget genom resten”
 Stigande kurva.
x  X (1  e

t

)

x
 1 e
X
t    ln
X
X x
   ln

t


x 
t

ln  1 

X 


" hela"
" resten"
William Sandqvist [email protected]

t    ln
X x
X
”Hela swinget genom resten”
 Fallande kurva.
x  X e

t


x
e

t

X
t    ln
X
x
   ln

ln
x
X

t


" hela"
" resten"
William Sandqvist [email protected]
t    ln
x
X
”Hela swinget genom resten”
 Del av kurva.
t    ln
" hela"
" resten"
Gäller alltid vid
exponentiella förlopp
med tidkonstant!
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Ex. Uppmätning, tidtagning, av tidkonstanten
a) För en viss process med ”en tidkonstant” mätte man att det
tog 12 sekunder för utsignalen att nå 50% av sitt slutvärde
vid en stegformad signaländring. Hur stor är processens
tidkonstant?
b) För en annan process tog det 10 minuter att nå 90% av
slutvärdet. Hur stor var processens tidkonstant?
William Sandqvist [email protected]
Ex. Uppmätning, tidtagning, av tidkonstanten
a) 12 sekunder för 50% T = ?
t  T  ln
" hela"

12  T  ln
" resten"
100  0

100  50
T 
12
 17 ,3 [ s ]
ln 2
b) 10 minuter för 90% T = ?
t  T  ln
" hela"
" resten"

10  T  ln
100  0
100  90

T 
William Sandqvist [email protected]
10
ln 10
 4 ,34 [ min ]
William Sandqvist [email protected]