Transcript Document

Paradoks Mimas-Enceladus
Abstract
Deformacje pływowe mogą być w
szczególnych przypadkach istotnym
źródłem ciepła przewyższając radiogeniczne
źródła ciepła. Ponieważ ciepło pływowe
silnie i nieliniowo zależy od parametrów
ciała i orbity prowadzi do paradoksów.
Zjawisko takie obserwujemy na przykładzie
Enceladusu i Mimasa – satelitów Saturna.
Źródła ciepła
•4. Małe ciała tracą szybko swoje ciepło początkowe a
ogrzewanie wskutek długożyciowych pierwiastków
radioaktywnych jest mało wydajne i nie wystarcza do
utrzymania aktywności nawet na największych satelitach
lodowo-skalnych (patrz martwa Kallisto). Dlatego
obserwowana aktywność przypisywana jest ogrzewaniu
pływowemu. Tłumaczy to dobrze aktywność Io i Europy.
W przypadku Mimasa i Enceladusa spotykamy się z
kolejnym problemem.
Średniej wielkości satelity Saturna
• 1. Saturn ma 6 średniej wielkości satelity (MIS): Mimas,
Enceladus, Tethys, Rhea, Dione, and Iapetus.
• Największa jest Rhea a najmniejszy Mimas. Wszystkie są
sferycznymi ciałami zbudowanymi z mieszaniny skał
krzemianowych i lodu (głównie lodu wodnego ale także z
zamrożonych innych substancji lotnych jak amoniak).
Składowa skalna ma prawdopodobnie skład chondrytów i
charakterystyczną dla chondrytów produkcję ciepła
radiogenicznego (w przybliżeniu średnią dla Ziemi). Składowa
lodowa praktycznie pozbawiona jest pierwastków
radioaktywnych i nie generuje ciepła. Jak więc widzimy
wydajność radiogenicznych źródel ciepła na jednostkę masy w
satelitach lodowo-skalnych jest mniejsza niż w Ziemi.
Podstawowe wzory
Intensywność konwekcji charakteryzuje liczba Rayleigha. W przypadku
ogrzewania od środka definiujemy ją jako:
(1)
3
5
Ra 
g  cp  r q
k 
2
gdzie r, , , , g, cp, k, q oznaczają odpowiednio: promień satelity,
gęstość, współczynnik rozszerzalności cieplnej, lepkość, przyspieszenie
grawitacyjne na powierzchni, ciepło właściwe, współczynnik przewodnictwa
cieplnego i średnią wydajność produkcji ciepła na jednostkę masy.
Produkcja ciepła q jest dana przez: q=qrad + qtidal gdzie qrad i qtidal to
uśrednione wydajności produkcji ciepła radiogeniczne i pływowe. Stosunek
qtidal do q oznaczamy przez C=qtidal/q. Ciepło radiogeniczne można
obliczyć przyjmując, że skalna składowa ma wydajność równą chondrytom–
Table 1. Ogrzewanie pływowe ma postać znaną z poprzednich wykładów:
(2)
5 4 2
q tidal 
63  n r e
38  Q
gdzie n średni ruch orbitalny, e mimośród orbity, Q bezwymiarowy
współczynnik dyssypacji („dobroć”) ,  moduł ścinania (Peale 2003).
MIMAS
Mimas•Radius 199 km
•Density 1169 kg m-3
•Dead body (only impact
craters)
ENCELADUS
•Radius 249 km
•Density 1603 kg m-3
•Active body
Labirynth
Aladdin
Ali Baba
Isbanir Fossa
Daryabar Fossa
Samarkand
Sulci
Enceladus podczerwieni
Enceladus jest najmniejszym ciałem w US, który
wykazuje działalność wulkaniczną (zamiast lawy wylewa
się woda!). Zdjęcia z sondy Cassini z 2005 r.
Dione (trailing
hemisphere)
DIONE
•Radius 559 km
•Density 1498 kg m-3
•Recently active body (i.e.
ciało było aktywne
tektonicznie po Wielkim
Bombardowaniu )
Dwa podstawowe układy konwekcyjne
• Sposób ogrzewania
– Radiogeniczne (jednorodne dla satelitów średniej wielkości)
– pływowe (niejednorodne i zorientowane względem planety – patrz
wykład o grzaniu pływowym)
• Typowe układy komórek konwekcyjnych na małych i śednich liczb
Rayleigha (1 komórka w kształcie pierścienia – lewa strona; dwie
komórki – prawa strona).
1 cell pattern of
convection with
1 upward
current and 1
downward
current
Convective
cell and
direction of
flow
Axis of symmetry of flow
2 cell pattern of
convection with
2 downward
currents and 1
upward current
common for both
cells
Deformacje pływowe i ogrzewanie
Patrz także wykład o grzaniu pływowym
For a circular orbit the planet is fixed in respect to satellite (no tidal heating).
For an eliptical orbit the planet oscillates in respect to satellite.
Tidal deformations lead to tidal heating of the satellite’s interior.
Mimas-Enceladus-Dione Paradox
Równanie (2) było użyte przez Peale et al. (1979) aby przewidzieć
wulkanizm na Io. Jednak sytuacja satelitów Saturna jest bardziej
skomplikowana. Porównajmy qtidal i liczbę Rayleigha Ratidal . Można
to zrobić jeśli , Q, i  mają zbliżone wartości dla rozpatrywanych
satelitów. Indeks ‘tidal’ w Ratidal oznacza, że do obliczenia Ra użyto
tylko pływowych źródeł ciepła (nie zmienia to wniosków, jako że
grzanie radiogeniczne jest za małe aby istotnie zmienić wartości liczb).
Wyniki porównania są zaskakujące. Wartość qtidal dla martwego
Mimas jest 42 razy wyższa niż qtidal dla aktywnego Enceladusa
(jest to głównie wynikiem różnicy orbity obu satelitów).
Porównanie liczb Ra nie wyjaśnia paradoksu; Ratidal dla Mimasa
jest większe niż Ratidal dla Enceladusu. Zauważmy także, że Ratidal
jest duże dla Dione (aktywnego w przeszłości ale obecnie
martwego). Te sprzeczności oznaczają, że bardziej zaawansowany
model jest konieczny. Model uwzględnia nie tylko zależne od
temperatury , Q, i , ale także możliwe bifurkacje.
Oszacowania qtidal i Ra czyli
Mimas-Enceladus-Dione Paradoks
Mimas (martwy)
qtidal=42
Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=3.42
Enceladus (aktywny!)
qtidal=1
Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=1
Dione (aktywny w przeszłości ale obecnie
martwy)
qtidal=0.15
Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=15.3
Do wyjaśnienia paradoksu próbujemy użyć
parametrycznej teorii konwekcji
Parametryczna teoria konwekcji
dla konwekcji napędzanej
ciepłem pływowym
Podstawa dla parametrycznej teorii
konwekcji jest określenie zależnośći
Nu(Ra). Do określenia Nu(ra)
wykorzystujemy pełny 3D model numeryczny
konwekcji ogrzewanej przez deformacje
pływowe
Parametryczna teoria konwekcji dla ogrzewania pływowego
Do wyjaśnienia paradoksu można użyć parametrycznej teorii konwekcji. Jak opisano to w
jednym z poprzednich wykładów podstawą tej teorii jest zależność liczby Nusselta Nu od
liczby Ra. Obecnie jednak używać będziemy liczby Rayleigha dla ogrzewania od
wewnątrz czyli i liczba Nu zdefiniowana jest inaczej. Nu jest dane przez:
Nu=(Tcond /Tconv)
gdzie Tcond oznacza różnicę temperatury Tav-Ts bez konwekcji (to jest gdy tylko
przewodnictwo cieplne przenosi ciepło) a Tconv = Tav-Ts jest różnicą z konwekcją (Tav
to średnia temperatura wnętrza a Ts to temperatura powierzchni). Zależność Nu(Ra)
została określona na podstawie 3D modelu konwekcji uwzględniającego ciepło
radiogeniczne i pływowe (Czechowski and Leliwa-Kopystyński 2003). Zależność te daje
wzór i rysunki (patrz 2 następne slajdy)
(5)
Nu ( Ra )   ( C )  Ra   ( C ) 
gdzie (C)=0.0663+0.0318C, (C ) =((C ))-(1/) i 0 < min    0.28. Równanie (5)

przekształcamy do postaci (ρ gęstość, q wydajności źródeł ciepła, r promień satelity, k
współczynnik przewodnictwa cieplnego:
2
qr
.
(6)
 Ra     
T av  T s 
k
Interpolation 1
do wzoru (5)
Interpolation2: do wzoru (5)
Podstawowe równanie modelu
Podstawiając liczbę Ra daną wzorem (1) do (6) otrzymujemy podstawowe
równanie dla naszej teorii:
F (T av )  T s  T av 
3 5
2
 q (T av ) r  g  c p  r q (T av )
k



k  (T av )
2

  ( C (T av )) 



 0
(7)
gdzie Tav jest niewiadomą. Każde rozwiązanie rów. (7)odpowiada
średniej temperaturze dla stacjonarnej konwekcji. Wielkości zależne od
temperatury (q and  ) obliczane są używając Tav (Schubert et al. 2001).
Zauważmy, że niektóre parametry są nieznane jak lepkość, Q i moduł
ścinania dlatego też próbujemy uzgodnić obserwacyjne fakty z
możliwymi wartościami tych parametrów.
Jest to częste podejście w podobnych przypadkach, np. wiedząc, że Merkury
jest w rezonansie spin-orbita 2:3 próbujemy jakie są właściwości jego
wnętrza.
Właściwości wnętrza: Q(T), (T) i lepkość η
The exact form of functions Q(T) and (T) are not known but we know that they are
decreasing with T. We choose: Q(T)=Q0exp(Q/T) and (T)=0exp( /T). They are
grouped into one function I(T)=Q(T) (T) in the form:
(3)
 I 
I (T )  I
0
exp 

 T 
where I0 =Q00 and I, = Q +  .
The rheology of icy satellites is complicated. The uppermost layer (‘lithosphere’) is
elastic for small deformation and brittle for large deformations. The medium below the
lithosphere is also solid but for very slow geologic processes it behaves like a viscous
fluid with the viscosity given by:
(4)
 E 


 (T )   0 
(1 i )
exp 

R T 
where 0 is a constant,  is the second invariant of deviatoric stress tensor, i is the
power law index (i=1 corresponds to a Newtonian fluid), E is the activation energy of
the dominant mechanism of deformation, and R =8.314 [J K-1 mole-1] is the universal
gas constant (McKinnon 1998; Goldsby and Kohlstedt 1997; Durham et al. 1998).
Parameters 0, E and i depend on many factors; e.g. size of ice crystal, content of
gases, size of mineral grains etc., most of them are essentially unknown. Therefore we
assume that 0 and E are just parameters of the model. We also assume that i=1
because non-Newtonian flow could be simulated by Newtonian flow with lower E
(Christensen 1984; Dumoulin 1999).
Zależność modelu od parametrów
Powyższe wzory wprowadzają 5 nieznanych parametrów do modelu: 0 ,
E, I0, I,  . Rozwiązania rów (7) zależą od wartości tych parametrów:
Nastepny slajd pokazuje przykład rozwiązania, które wyjaśnia paradoks
Mimas-Enceladus. Widzimy, że Rów. (7) posiada kilka stacjonarnych
rozwiązań, czyli że dane ciało niebieskie może być w różnych stanach
termicznych zależnie o jego historii. Nas interesują możliwe wielokrotne
rozwiązania dla Enceladusa. Rzeczywiście dla pewnych zakresów
parametrów 0 , E, I0, I,  Enceladus mógłby występować w
specyficznym wysokotemperaturowym stanie odpowiadającym jednemu
z rozwiązań Rów. (7). Pokazuje to górny rysunek na następnym slajdzie.
Jednocześnie dla tych samych wartości parametrów Mimas może
występować jedynie w jednym z dwóch niskotemperaturowych
rozwiązań.
Jak można się zorientować silna nieliniowość i ostatecznie istnienie kilku
możliwych stacjonarnych stanów cieplnych jest wynikiem silnej
zależności pływowej produkcji ciepła od temperatury.
Nisko temperaturowe stabilne
„podstawowe” rozwiązanie
Wysoko temperaturowe „wzbudzone”
stabilne rozwiazanie
Niestabilne
rozwiazanie
Ten przypadek nie spełnia
narzuconych ograniczeń,
więc wartości parametrów
tutaj użytych należy odrzucić
Figure 1
Wykres F(Tav - Ts) dla dwóch
kompletów parametrów
Obie osie w Kelvinach.
Oznaczenia: Mi - Mimas, En
– Enceladus, Te – Tethys, Di
– Dione, Rh – Rhea, Ia –
Iapetus. Przecięcia
wykresów z zerem (linia
przerywana) odpowiadają
rozwiązaniom Eq. (7).
Każdy satelita ma
przynajmniej 1 rozwiązanie ,
Mimas ma 2 rozwiązania
dla obu kompletów
parametrów, Enceladus ma
3 rozwiązania dla Rys. a i 1
rozwiązanie dla Rys. b.
Jedno z rozwiązań paradoksu
For Enceladus (excited state): Tav-Ts = 117 K
Ra= 1.40E+5
q total= 8.08E-11 W/kg
C=q tidal/ q total= 0.96
For Mimas (basic state): Tav-Ts = 2.51 K
Ra= 1.79E-10
q total= 2.04E-12 W/kg
C=q tidal/ q total= 0.24
For Dione (basic state): Tav-Ts = 31.5 K
Ra= 9.00E-3
q total= 3.03E-12 W/kg
C=q tidal/ q total= 0.03
Wnioski
W przypadku ogrzewania pływowego
1. Każdy satelita ma niskotemperaturowe rozwiązanie rów. (7)
odpowiadające niskiej produkcji ciepła. Taki stan można uznac za
podstawowy.
2. Niektóre satelity mają dodatkowo rozwiązania wysokotemperaturowe
odpowiadające wysokiej produkcji ciepła pływowego. Te stany można
nazywać „wzbudzonymi stanami”.
3. W którym stanie znajdzie się dany satelita zależy m.in. od warunków
początkowych. Można przypuszczać, że Enceladus znalazł się w rezonansie
orbita-orbita w czasie gdy jeszcze był dosyć gorący. Spowodowało to dosyć
silne grzanie pływowe, które dzięki rezonansowi trwa do chwili obecnej.
4. Mimas mógł znaleźć się w rezonansie później gdy był już zimny. Niska
temperatura oznacza wysokie wartości Q i μ czyli niską produkcję ciepła
pływowego. Dlatego obecnie mimo orbity z względnie dużymi mimośrodem e i
n grzanie pływowe w Mimasie jest małe.
5. Możliwe jest też, że Enceladus został w pewnym etapie rozgrzany wskutek
wielkiego uderzenia meteoroidu. Zwiększenie temperatury zaowocowało
zwiększeniem grzania pływpwego i ustalenia się wysokiej temperatury.