Transcript TEORIA RENOWACJI (TEORIA ODNOWY)

TEORIA RENOWACJI
(TEORIA ODNOWY)
PROF. DR HAB. GRAŻYNA KARMOWSKA
1
PRZEDMIOT TEORII ODNOWY



punktem wyjścia TO jest demografia
matematyczna,
jej głównym zadaniem jest ustalenie zmian
zachodzących w liczebności i strukturze
populacji,
teorię demografii matematycznej można
uogólnić na inne zbiory, których pewne
elementy przybywają a inne ubywają.
2
DEFINICJA TEORII ODNOWY


TO stanowi zespół metod matematycznostatystycznych służących do ustalenia prawidłowości
w procesie ubywania elementów tworzących zbiór
pewnych obiektów trwałego użytkowania
oraz do określenia liczby obiektów, które w danym
okresie będą musiały być zastąpione nowymi
obiektami o takich samych lub podobnych
własnościach.
[Banasiński]
3
DEFINICJA TEORII ODNOWY


Odnowa środków produkcji dokonuje się w
samym procesie produkcji, przy czym
odbywa się odmiennie w przypadku środków
obrotowych i środków trwałych.
Środki obrotowe zużywają się w ciągu
jednego cyklu obrotowego o znanym okresie i
w końcu każdego takiego okresu muszą być
odnowione, aby proces produkcyjny mógł być
kontynuowany.
4
DEFINICJA TEORII ODNOWY


odnowa środków obrotowych nie nasuwa
większych trudności,
środki trwałe nie zużywają się w ciągu 1
cyklu produkcji i pozostają w procesie
produkcyjnym przez dłuższy czas zwany
okresem użytkowania danego środka
5
ZAŁOŻENIA




rozpatrywane środki trwałe są jednorodne,
obiekty pozostają w użytkowaniu całkowitą liczbę
okresów i ubywają w końcu okresu (czas życia
środków trwałych jest zmienną losową typu
skokowego),
proces zużywania się środków trwałych jest
procesem reprodukcji prostej (przez cały czas
badania liczba obiektów jest stała),
istnieje górny kres trwania obiektów wynoszących
(omega) lat.
6
ZAŁOŻENIA




Czas życia urządzenia – czas użytkowania aż
do momentu powstania uszkodzenia,
Potrafimy dokładnie określić moment kiedy
urządzenie staje się bezużyteczne,
Wszystkie warunki eksploatacji urządzeń są
podobne,
Wszystkie urządzenia zostały wprowadzone
do eksploatacji jednocześnie.
7
PRZEDMIOT TEORII ODNOWY


Jeżeli za zbiór przyjmiemy środki trwałe, to
możemy traktować go jako populację, w
której istnieje „wymieralność” i „narodziny”
elementów tej populacji.
Wymierają elementy, które zostają zużyte w
procesie produkcji i muszą być z tego procesu
usunięte, a rodzą się elementy nowe,
wprowadzone do procesu produkcji.
8
RODZAJE PROCESÓW ODNOWY


proces odnowy w pełnym toku
rozwijający się proces odnowy
9
PROCES ODNOWY W PEŁNYM
TOKU


Aby wyrównać powstały ubytek w roku t
należy wprowadzić tyle obiektów ile ulega
wycofaniu N0(t) (trzeba wprowadzić do
użytkowania).
Określa ono liczbę obiektów N0(t), które
trzeba odnowić w danym roku dla
wyrównania ubytku obiektów wychodzących
z zużycia.
10
PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU


t - jednostka czasu,
w rozpatrywanym zbiorze znajdują się obiekty
wprowadzone do użytkowania przed rokiem,
dwoma laty,…, t   -lat;
 N 0 ( t  1 ), N 0 ( t  2 ),..., N 0 ( t   )
liczba obiektów wprowadzonych do użytkowania
odpowiednio w roku: t-1,t-2,…
,

p 1 , p 2 ,..., p 
prawdopodobieństwo ubytku spośród obiektów
(współczynnik eliminacji)
11
PROCES ODNOWY W PEŁNYM TOKU

Liczba urządzeń, które przetrwały okres t
(współczynnik dotrwania)
( t ) 

N( t )
N( 0 )
Prawdopodobieństwo, że dane urządzenie
(wprowadzone do eksploatacji w chwili 0) przetrwa
okres t
p  ( t )  ( t )
12
przed
rokiem wychodzi z użytkowania
N 0 ( t  1 )p 1
ogólna liczba ubytku w czasie t:
N 0 ( t )  N 0 ( t  1 )p 1  ...  N 0 ( t   )p 
13
ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY


przyjmujemy, że pierwsze obiekty zostały
wprowadzone do użytkowania w roku t=0 i w
liczbie N0(0)
liczba obiektów, które trzeba odnowić w kolejnych
latach dla t  1,2 ,...,  wynosi: No(1)=No(0)p1
N 0 ( 1 )  N 0 ( 0 )p 1
N 0 ( 2 )  N 0 ( 1 )p 1  N 0 ( 0 )p 2
N 0 (  )  N 0 (   1 )p 1  ...  N 0 ( 0 )p 

N (  )   N (   j )p j
j1
14
ROZWIJAJĄCY SIĘ PROCES ODNOWY



TO ustala prawidłowości w procesie
ubywania elementów tworzących zbiór
pewnych obiektów trwałego użytkowania,
określa liczbę obiektów, które w danym
okresie będą musiały być zastąpione nowymi
obiektami,
zajmuje się również wyznaczaniem
optymalnego okresu użytkowania.
15
WYZNACZANIE OPTYMALNEJ
POLITYKI ODNOWY


w zakresie obiektów, które psują się nagle
obiekty, których koszty utrzymania rosną z
czasem
16
Problem 1.
W firmie zainstalowanych jest 1000 lampek
kontrolnych. Wymiana uszkodzonej lampki
kosztuje 100 zł, a wymiana prewencyjna 20 zł.
Określ optymalną politykę renowacyjną wobec
lampek kontrolnych, wiedząc, że
współczynniki eliminacji wynoszą
odpowiednio: p1=0,1; p2=0,3; p3=0,4; p4=0,2
17
Rozwiązanie:
Ubytki lampek w poszczególnych okresach:
 N(0)=1000
 N(1)=1000x0,1=100
 N(2)=1000x0,3+100x0,1=310
 N(3)=1000x0,4+100x0,3+310x0,1=400+30+31=461
 N(4)=1000x0,2+100x0,4+310x0,3+461x0,1=379,1
18
Rozwiązanie:
Koszty wymiany wszystkich urządzeń po pierwszym
okresie:
 K1=100x100+900x20=28 000 zł
Odpowiednio w następnych latach:
 K2=(100+310)x100+690x20=54 800zł
 K3=(100+310+461)x100+539x20=87 880zł
 K4=(100+310+461+379,1)x100+621x20=137 420zł
19
Polityka odnowy a koszty
średniookresowe
Okres
0
1
2
3
4
Koszty
eksploatacji
20 000
28 000
54 800
97 880
137 420
Koszty
średniookresowe
28 000
27 400
32 626,6
34 355
20
W ZAKRESIE OBIEKTÓW,
KTÓRE PSUJĄ SIĘ NAGLE
wyróżniamy 2 rodzaje kosztów wymiany:
 k 1 - koszt wymiany urządzenia zużytego;
 k 2 - koszt wymiany urządzenia jeszcze sprawnego.
21
W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE
PSUJĄ SIĘ NAGLE



Zakładamy, że koszt wymiany urządzenia zużytego
jest wyższy niż koszt wymiany urządzenia jeszcze
sprawnego, czyli k 1.  k 2
Jeżeli powyższa nierówność zachodzi to może się
okazać, że opłaca się wymienić wszystkie
urządzenia, kiedy jeszcze są sprawne.
Kryterium wyboru optymalnej polityki odnowy jest
minimum sumy kosztów odnowy.
22
W ZAKRESIE OBIEKTÓW, KTÓRE
PSUJĄ SIĘ NAGLE




Na podstawie równań odnowy obliczamy ile w
poszczególnych latach przeciętnie zużyje się
urządzeń.
Następnie wyliczamy przeciętny wydatek na jeden
okres wynikający z polityki odnowy wszystkich
urządzeń, co jeden okres, co dwa, itd.
Optymalna wartość odpowiadać będzie najniższemu
wydatkowi przeciętnemu na jeden okres.
Minimalny koszt wskazuje nam, po którym okresie
czasu najkorzystniej jest wymienić wszystkie
urządzenia.
23
OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY
UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM



obiekty tej grupy w miarę upływu czasu starzeją się
fizycznie i moralnie.
po pewnym czasie eksploatacja urządzenia staje się
tak kosztowna, że zachodzi konieczność jego
wymiany na nowe.
w związku z tym powstaje problem wyznaczenia
optymalnego okresu użytkowania urządzenia tzn.,
w jakim momencie stare urządzenie powinno być
wymienione na nowe
24
OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY
UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM


Funkcja kryterium stanowi minimalne
przeciętne roczne koszty.
Przyjmujemy, że koszty utrzymania
rozpatrywanego obiektu są niemalejącą
funkcją czasu, a wartość złomu jest stała.
25
OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY
UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM





C - koszt zakupu urządzenia,
Z - wartość złomu,
N - liczba lat eksploatacji,
T- przeciętne roczne koszty całkowite,
F(t)- stopa wydatków na utrzymanie
urządzenia.
26
OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY
UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM



Dla f(0)=0 oraz f(n) jest funkcją niemalejącą
utrzymujemy warunek minimum funkcji w postaci
f(n)=T.
a więc min T nastąpi dla takiego n, dla którego
nakłady bieżące f(n) (stopa utrzymania) zrównają się
z dotychczas poniesionymi przeciętnymi kosztami.
Opierając się na tych wynikach możemy
zadecydować, kiedy należy odnowić urządzenie pod
warunkiem, że dysponujemy dokładnym wzorem
określającym koszty utrzymania.
27
OBIEKTY, KTÓRYCH KOSZTY
UTRZYMANIA ROSNĄ Z CZASEM


Jeżeli mamy dane roczne koszty utrzymania to nie
musimy korzystać z przedstawionych wyżej
warunków gdyż możemy przystąpić do wymiany
urządzenia wówczas, gdy przeciętne koszty osiągają
minimum.
Przeciętne koszty roczne obliczamy następująco: od
wartości początkowej odejmujemy wartość złomu a
dodajemy bieżące koszty eksploatacji liczone od
początku aż do danego roku włącznie i dzielimy
przez okres użytkowania
28
Metoda Houldena
Łączny koszt eksploatacji urządzenia przez n okresów:
n
K ( n )  c   f ( t ) dt  z
0
Roczny przeciętny koszt utrzymania:
K( n )
n
1n
z
   f ( t ) dt 
n n0
n
c
29
Metoda Houldena

Szukamy minimum
'
cz
1
 K (n) 
 n   n2  n2


f (n) 
cz

n
1
n

f ( t ) dt 
f (n)  0
n
0
n

n
1
f ( t ) dt 
K (n)
n
0
Dla wartości skokowych:
f( t ) 
c z
n

1
t
n
Kj
j 0
30
Problem 2.

Cena zakupu samochodu c=120 tys. zł, cena
złomu z=10 tys. zł. Średnie bieżące koszty
eksploatacji (paliwo, części zamienne, naprawy)
przedstawia tabela:
Okres
1
2
3
4
5
6
7
Koszty
(tys.zł)
5
10
15
25
35
55
77
31
Rozwiązanie:

Wyznaczamy minimum średniookresowych
kosztów utrzymania samochodu:
Okresy
Koszty średniookresowe
1
2
3
4
5
6
7
115,00
62,50
46,67
41,25
40,00
42,50
46,43
Po piątym okresie eksploatacji samochód należy wymienić
32
M
I
Ł
E
G
O
D
N
I
A
33