Transcript Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung - prof

Energiebetrachtung
 Die Bahnradien der Elektronen sind ein
Maß für deren Energie
 Aus den Elektronenbahnen kann damit eine
grafische Darstellung der Elektronenenergie
abgeleitet werden
Halbleiterphysik
Prof. Goßner
1
Energie-Term-Schema
 Man überträgt die kreisförmigen
Elektronenbahnen eines
einzelnen Atomes
in gerade Linien in einem
Energiediagramm
Radius
Energie
Energie
 Man erhält das sog.
Energie-Term-Schema
 Jeder Elektronenbahn entspricht eine
einzelne Linie im Energiediagramm
(ein einzelner Energieterm)
Halbleiterphysik
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Energiebänder-Schema
 Die Elektronen vieler Atome (z.B. in einem
Kristall) beeinflussen sich gegenseitig
Energie
 Die einzelnen Energieterme lassen sich nicht
mehr unterscheiden
 Die zahllosen einzelnen Energieterme gehen in
Energiebänder über
 Energien zwischen den Energiebändern sind nicht
möglich (verbotene Bänder)
Halbleiterphysik
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Energiebänder-Schema
 Das Energieband der äußersten
Elektronenschale wird Valenzband genannt
 Oberhalb des Valenzbandes befindet sich ein
Energiebereich, den Elektronen einnehmen,
die sich von ihren Atomen getrennt haben
(freie Elektronen)
Energie
Leitungsband
Valenzband
 Da freie Elektronen zur Stromleitung beitragen
können, spricht man vom Leitungsband
Halbleiterphysik
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Energiebänder-Modell
 Reaktionen mit anderen Atomen und
elektrische Vorgänge werden nur durch
Elektronen im Valenzband und im
Leitungsband bestimmt
Energie
Leitungsband
Verbotenes Band
 Üblicherweise werden daher nur diese
Energiebänder und das dazwischen
liegende verbotene Band dargestellt
Halbleiterphysik
Valenzband
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Energiebänder-Modell
 Die Oberkante des Valenzbandes liegt
bei der Energie WV
 Die Unterkante des Leitungsbandes
liegt bei der Energie WC
 WC – WV = W ist die Ausdehnung
des verbotenen Bandes
(Bandabstand)
 Elektronen, die die Energie Wvac
überschreiten, können den Kristall
verlassen
Halbleiterphysik
W
Wvac
Leitungsband
WC
W
Verbotenes Band
WV
Valenzband
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Energiebänder-Modell von Metallen
W
 Bei Metallen überlappen sich
Valenzband und Leitungsband
 Die Unterkante WC des
Leitungsbandes liegt tiefer als die
Oberkante WV des Valenzbandes
 Valenzelektronen können damit ins
Leitungsband wechseln, ohne
Energie aufnehmen zu müssen
Halbleiterphysik
Leitungsband
WV
WC
Überlappung
Valenzband
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Energiebänder-Modell von Halbleitern
W
 Bei Halbleitern existiert ein
verbotenes Band zwischen
Valenzband und Leitungsband
Leitungsband
Leitungsband
WCC
 Bei Germanium beträgt der
Bandabstand W  0,7 eV
 Bei Silizium beträgt der
Bandabstand W  1,1 eV
Halbleiterphysik
W
Verbotenes Band
W
WV
V
Valenzband
Valenzband
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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern
W
 Bei T = 0 K halten sich
alle Valenzelektronen im
Valenzband auf
 Bei T = 0 K ist der
Halbleiter ein Isolator.
Das Leitungsband ist leer
Halbleiterphysik
Leitungsband
WC
W
Verbotenes Band
WV
Valenzband
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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern
 Bei T > 0 K nehmen die
Elektronen Energie auf.
 Beträgt die Energieaufnahme
bei einem Elektron  W, so
wird es ins Leitungsband
angehoben
 Im Valenzband bleibt ein nicht
besetzter Energieterm zurück,
ein Loch
W
Leitungsband
W
Verbotenes Band
WV
 Freie Elektronen und Löcher entstehen
beim reinen Halbleiter immer paarweise:
 Paarbildung
Halbleiterphysik
W
WC
Valenzband
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Energiebänder-Modell von Nichtleitern
 Es ist nicht möglich
Valenzelektronen eine Energie
von mehr als ca. 2,5 eV
zuzuführen
 Materialien mit einem
Bandabstand von W  2,5 eV
sind daher Nichtleiter
(Isolatoren)
 Beispiel:
Halbleiterphysik
Diamant W  7 eV
W
Leitungsband
(immer unbesetzt)
WC
W
Verbotenes Band
WV
Valenzband
(immer voll besetzt)
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Energieverteilung der Ladungsträger
 Über die Energieverteilung der Ladungsträger können
nur Wahrscheinlichkeits-Aussagen getroffen werden
 Die Ladungsträgerdichte n(W) auf einem bestimmten
Energieniveau hängt ab
 von der dort herrschenden Dichte D(W) der
besetzbaren Energieterme (= Zustandsdichte) und
 von der Wahrscheinlichkeit P(W), daß die einzelnen
Energieterme mit Ladungsträgern besetzt sind
 Es gilt:
Halbleiterphysik
n(W) = D(W) · P(W)
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Dichte besetzbarer Energieterme = Zustandsdichte
W
In der Nähe der Bandkanten gilt für
die Zustandsdichte näherungsweise:
D n (W ) ~
W  WC
D p (W ) ~
WV  W
WC
WV
Bei Null beginnend wächst die
Zustandsdichte zum Bandinneren hin
Halbleiterphysik
Dn(W
)
Dp(W
)
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Besetzungswahrscheinlichkeit
 Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Energieterme
folgt der Fermi-Dirac-Verteilung
1
P(W ) 
1  exp
W  WF
k T
k = 1,38 ·10-23 Ws/K (Boltzmann-Konstante)
T = absolute Temperatur
WF = Fermi-Niveau (Fermi-Energie)
Halbleiterphysik
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
 Besetzungswahrscheinlichkeit bei
T=0K
 Für W > WF
1
P(W ) 
1  exp
W  WF

1
1 e

0
k T
P(W>WF) = 0
Halbleiterphysik
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
 Besetzungswahrscheinlichkeit bei
T=0K
 Für W < WF
1
P(W ) 
1  exp
W  WF

1
1 e

1
k T
P(W<WF) = 1
Halbleiterphysik
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K
Bei T = 0 K ergibt die
Fermi-Dirac-Verteilung
eine Sprungfunktion
 Bei T = 0 K sind alle
Energieniveaus oberhalb von
WF unbesetzt [P(W) = 0]
W
WF
 Bei T = 0 K sind alle
Energieniveaus unterhalb von
WF besetzt [P(W) = 1]
0
Halbleiterphysik
0,5
1 P(W)
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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T > 0 K
W
 Bei T > 0 K ergibt die FermiDirac-Verteilung einen stetigen
Übergang von P(W) = 0 zu
P(W) = 1
500 K
300 K
 Bei W = WF beträgt die
Besetzungswahrscheinlichkeit:
1
P(W ) 
1  exp
WF  WF
P(WF) = 0,5
Halbleiterphysik

1
1 e
0
WF

1
2
k T
0
0,5
1 P(W)
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Lage des Fermi-Niveaus bei reiner Eigenleitung
W
 Beim reinen (nicht dotierten)
Halbleiter liegt das Fermi-Niveau
in der Mitte des verbotenen
Bandes
Leitungsband
WC
WF
WV
Valenzband
Halbleiterphysik
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
T = 0K
 Alle besetzbaren Energieterme unterhalb des FermiNiveaus (also im Valenzband) sind vollständig mit
Elektronen besetzt. Es gibt keine Löcher
 Alle besetzbaren Energieterme oberhalb des FermiNiveaus (also im Leitungsband) sind unbesetzt.
Es gibt keine freien Elektronen.
Halbleiterphysik
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
T > 0K
 Durch Energiezufuhr werden Elektronen aus dem
Valenzband ins Leitungsband angehoben (Paarbildung)
 Freie Elektronen im Leitungsband
 Gleich viele Löcher im Valenzband
 Einzelne Elektronen fallen unter Energieabgabe vom
Leitungsband ins Valenzband zurück (Rekombination)
 Freie Elektronen und Löcher löschen sich gegenseitig aus
 Temperaturabhängiges Gleichgewicht zwischen
Paarbildung und Rekombination (Intrinsic-Konzentration)
Halbleiterphysik
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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung
 Für die Energieverteilung der freien Elektronen im
Leitungsband gilt:
n (W )  P(W )  D n (W )
 Für die Energieverteilung der Löcher im Valenzband
gilt:
p ( W )  {1  P ( W )}  D p ( W )
(n(W) bzw. p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW)
Halbleiterphysik
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Das
Integral
von
p(W)
über
das
gesamte
Valenzband
ergibt
Das
Integral
von
n(W)
über
das
gesamte
Leitungsband
Energieverteilung
der
Löcher
Energieverteilung
freier
Elektronen
Ladungsträgerverteilung
bei
Eigenleitung
ebenfalls
Intrinsicdichte
n

{1-P(W)}
Ddie
(W)
=
p(W)

P(W)
D
(W)
=
n(W)
ergibt die
Intrinsicdichte
n
p n
ii
WC
W
W
W
Fläche = ni
Dn(W)
n(W)
Dp(W)
p(W)
WF
WV
P(W)
0
Halbleiterphysik
0,5
1
Fläche = ni
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Energiebändermodell bei Störstellenleitung
 Durch Dotieren des Halbleiters
treten besetzbare Energieterme
im verbotenen Band auf
 sog.
Störterme
 Die Störterme beeinflussen
die Lage des Fermi-Niveaus
Halbleiterphysik
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Energiebändermodell bei n-leitendem Halbleiter
W
 n-leitende Element-Halbleiter sind
mit 5-wertigen Fremdatomen dotiert
Leitungsband
 Das jeweils fünfte Valenzelektron
besitzt eine Energie im verbotenen
Band nahe der Leitbandkante
(Störterme)
 Dadurch verschiebt sich das FermiNiveau in Richtung Leitbandkante
Halbleiterphysik
WC
WF
Störterme
WV
Valenzband
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Energieverteilung
der
Löcher
Energieverteilung
freier
Elektronen
Das
Integral
von
n(W)
das
gesamte
Leitungsband
Das
Integral
von
p(W)über
über
das
gesamte
Valenzband
Unterhalb
der
Leitbandkante
treten
Störterme
auf
Das
Ferminiveau
verschiebt
sich
in
Richtung
Leitungsband
Ladungsträgerverteilung
bei
n-Leitung

{1-P(W)}
D
(W)
p(W)
(W)  P(W)
== n(W)
ergibt
Majoritätsträgerdichte
pD
ergibtdie
die
nMinoritätsträgerdichte
W
W
W
Majoritätsträger
WC
Dn(W)
n(W)
Dp(W)
p(W)
WF
WV
P(W)
0
Halbleiterphysik
0,5
Minoritätsträger
1
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Energieverteilung
der
Löcher
Energieverteilung
freier
Elektronen
Das
von
das
gesamte
Leitungsband
DasIntegral
Integral
vonn(W)
p(W)über
über
das
gesamte
Valenzband
DasOberhalb
Ferminiveau
verschiebt
sich intreten
Richtung
Valenzband
der
Valenzbandkante
Störterme
auf
Ladungsträgerverteilung
bei
p-Leitung

{1-P(W)}
D
(W)
=
p(W)

P(W)
D
(W)
=
n(W)
ergibt
die
Minoritätsträgerdichte
ergibt die
p nMajoritätsträgerdichte
W
W
W
Minoritätsträger
WC
Dn(W)
n(W)
Dp(W)
p(W)
WF
WV
P(W)
Majoritätsträger
0
Halbleiterphysik
0,5
1
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Ladungsträgerverteilung innerhalb der Bänder
W
Die beweglichen Ladungsträger
halten sich vorzugsweise in
Bandkantennähe auf
Eigenleitung
n-Leitung
p-Leitung
WC
 Freie Elektronen im Leitungsband
WV
nahe WC
n(W)
p(W)
 Löcher im Valenzband nahe WV
Halbleiterphysik
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