Transcript 1.3《空间几何体的表面积与体积》

学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公
式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力
,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的
兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生
的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的
能力.
重点
了解柱体锥体的表面积计算公式.
难点
柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.
思考
在初中,我们已经学习了正方体和长方体的
表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何
体的展开图与其表面积的关系吗?
正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体,它
们的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的
面积.
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形
围成的几何体，它们的展开图是什么？如
何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形.
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形.
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
这样， 我们可以把多面体展成平面图形，利用
平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四
面体S  ABC(如下图), 求它的表面积.
S
A
B
C
解: 先求△SBC的面积,过点S 作SD⊥BC,
S
交BC于点D.因为BC=a ,
A
B
D
2
3
a
SD  SB  BD  a    
a
2
2
2
C
所以
2
2
1
1
3
3 2
SSBC  BC  SD  a  a  a
2
2
2
4
因此,四面体S-ABC的表面积
3 2
S  4
a  3a 2
4
按照计算多面体表面积的方法，你能
找出圆柱、圆锥 、 圆台的表面积的
求法吗？
圆柱的侧面展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r，母线为 l，那么圆柱
2
的底面积为 r ，侧面积为 2rl 。因此圆柱的
表面积为
S
2  S底  S侧
表面
S  2r  2rl  2r (r  l )
O′
l
O r
2r
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么
它的表面积为
S  r S表面
rl Sr底
(r  Sl )扇
2
S
l
O
2r
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于
上、下两个底面和加上侧面的面积，即
SS
 (r S上底
 r Sr l rlS)扇环
表面
'2
2
'
下底
2r 
O′
O
2r
r′
r
例2 如下图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆
底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁
长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每
平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多
 取3.14,结果精确到1毫升)
少油漆(
10cm
15cm
7.5cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的
表面积
2
2
10cm
15cm
7.5cm
 15  15
20 
 1.5 
s       15  15     
2
2
 2  2



 
 1000cm  0.1 m
2
2
涂100个花盆需油漆: 0.1100 100  1000 (毫
升)
答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
A
则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（
）
1
4

1 2
A.
2
1 2
C.

4
1 4
D . 2
B.
2 . 已知圆台的上下底面的半径分别为2cm
和4cm,它的表面积为 38 cm2 ,则它的母线长
为( A )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
3 . 若一个棱台的上、下底分别是边长为
1cm和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的
侧面积为(D )
2
4 6cm2 68 cm
34 cm2 38 cm2
A
B
C
D
....
4 . 一个直角三角形的直角边分别为12与5,
以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧
面积为( C )
A.60
B.78
C. 65
D.156 
5 .五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分
别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧
780
棱长是13cm,求它的侧面面积______.
2
6 . 已知圆锥的表面积为 am2 ,且它的侧面展开
3a
图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____.
3
7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么
这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为
180
____度
8 . 已知圆锥表面积为 5 ,且侧面展开图形为
扇形,扇形的圆心角为90,则圆锥底面半径为
_____.
1
小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法：
将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面
图形求面积的方法求立体图形的表面积.