Transcript linearis_egyenletrendszerek_megoldasa_www.5mp.eu_

Lineáris
egyenletrendszerek
megoldása
Előadó: Beregszászi István
Módszerek
Direkt
 Iteratív

Kiküszöbölési eljárás (direkt módszer)
 Fokozatos közelítés (iteratív módszer)

Lineáris egyenletrendszer
a1 ,1 x1  a1 , 2 x 2    a1, n x n  y1
a 2 ,1 x1  a 2 , 2 x 2    a 2 , n x n  y 2




a n ,1 x1  a n , 2 x 2    a n , n x n  y n
 a 1 ,1

 a 2 ,1

 
a
 n ,1
a1, 2
a 2,2

a n,2
a 1 , n   x1   y 1 
   
 a 2 ,n   x 2   y 2 
    


  
   
   
 a n , n   x n   y n 

A x  y
a i , n 1  y i
n
a
j 1
i, j
 x j  a i , n 1
( i  1, n )
Gauss elimináció

Gauss-féle kiküszöbölési eljárás (Gauss
elimináció)
 A lineáris
egyenletrendszer sorozatos
átalakításokkal először felső háromszög
mátrixú egyenletrendszerré alakítjuk, melyből
sorozatos visszahelyettesítéssel megkapjuk a
megoldásvektor elemeit.
Gauss elimináció
a1,1 x1  a1, 2 x 2    a1, n x n  a1, n 1
a 2 , 2 x 2    a 2 , n x n  a 2 , n 1


a n , n x n  a n , n 1
Gauss elimináció
( k 1 )
( k 1 )
ai, j  ai, j
(k )

a i ,k
a
( k 1 )
k ,k
( k 1 )
ak , j
( k  1, n  1; i  k  1, n ; j  k , n  1)
a 1 ,1 x 1  a 1 , 2 x 2    a 1 , n x n  a 1 , n  1
(0)
(0)
(0)
(0)
a 2 , 2 x 2    a 2 , n x n  a 2 , n 1
(1 )
(1 )
(1 )


( n 1 )
( n 1 )
a n , n x n  a n , n 1
( n 1 )
xn 
a n , n 1
a
( n 1 )
n ,n
x n 1 
1
a
(n2)
n  1 , n 1
a
(n2)
n 1 , n  1
(n2)
 a n 1 , n  x n

Gauss elimináció
Gauss elimináció
Gauss elimináció
részleges főelem-kiválasztással
Ha az együtthatók különbsége nagy, és a főátlón
lévő elem (az osztó) értéke kicsi, a megoldás
során jelentős hiba keletkezhet. Jobb eredményt
kapunk, ha az i-edik ismeretlent az egyenletnek
abból az egyenletéből küszöböljük ki, ahol az
ismeretlen együtthatója abszolút értéke a
legnagyobb. A módszert részleges főelemkiválasztásnak nevezzük.
Részleges főelem-kiválasztás
10
20
30
abs.max.
1
0
0
abs.max.
1
0
0
abs.max.
1
0
0
5
12
19
2
7
17
9
22
45
0,567
-4,333
-3,667
1,5
-8
-6
a[1,1] = 30
0,633
-0,667
-1,333
a[2,2] = -1,333
0,633
1
0
0,567
2,75
-2,5
1,5
4,5
-5
a[3,3] = -2,5
0,633
1
0
0,567
2,75
1
1,5
4,5
2
Gauss elimináció
teljes főelem-kiválasztással
Ha a Gauss eliminációs módszerben a
kiküszöbölendő változó kiválasztásnál a k-ik
lépésben nem feltétlenül a k-ik ismeretlent
küszöböljük ki, hanem helyette az összes szóba
jöhető elemből választott legnagyobb abszolút
értékű elemmel generáljuk az eljárást, akkor a
módszert teljes főelem-kiválasztásúnak
nevezzük.
Teljes főelem-kiválasztás
10
20
30
abs.max.
1
0
0
abs.max.
1
0
0
abs.max.
1
0
0
5
12
19
2
7
17
9
22
45
0,567
-4,333
-3,667
1,5
-8
-6
a[3,1] = 30
0,633
-0,667
-1,333
a[2,3] = -4,333
0,567
1
0
0,633
0,154
-0,769
1,5
1,846
0,769
a[3,3 ]= -0,769
0,567
1
0
0,633
0,154
1
1,5
1,846
1
Gauss-Jordan módszer

A Gauss-Jordan módszerben a főátlón lévő ismeretlenek
együtthatóit egyesekre alakítjuk, minek folytán a szabad
változók értékei lesznek majd az egyenletrendszer
megoldásai.
A módszer alkalmazása során a k-ik közelítésben a k-ik sor
( k 1 )
együtthatói az
a
k,j
(k )
a k , j  ( k 1 ) ( k  1, n ; j  k , n  1)
a k ,k
képlettel, míg a k-tól különböző i-edik sor együtthatói az
( k 1 )
ai, j  ai, j
(k )
( k 1 )
 a i ,k
 ak , j
(k )
( i  1, n ; i  k , j  k , n  1)
képlettel számolhatók ki. Ilyekor az i-ik ismeretlent nem csak az
i+1-ik, i+2-ik, … , n-edik egyenletből is kiküszöböljük és így a
kiküszöbölés befejezés után már meg is kapjuk az
ismeretleneket.
Gauss-Jordan módszer
Jacobi iteráció

Jacobi iteráció
(fokozatos közelítés módszere)
n
xi 
b
i, j
x j  bi , n 1
( i  1, n )
j 1
n
a
i, j
 x j  a i , n 1
( i  1, n )
j 1
n
0    a i , j  x j  a i , n 1
( i  1, n )
j 1
n
0    a i , j  x j  a i , n 1
j 1
n
0  
j 1
ai, j  x j
a i ,i

a i , n 1
a i ,i

1
a i ,i
 xi
( a i ,i  0 ; i  1, n )
( a i ,i  0 ; i  1, n )
Jacobi iteráció
n
(k )
xi


( k 1 )
bi , j x j
 b i , n 1
( i  1, n ; k  1, 2 , 3 ,...)
j 1
Közelítések:
(0)
(0)
(0)
x1 , x 2 , ,..., x n
- kezdő értékek
n
a i ,i 
a
i, j
( i  1, n )
j 1
ji
a közelítések konvergálnak, ha a főátlón lévő elemek dominálnak
Gauss-Seidel módszer
Az x
(k )
i
(k )
(k )
közelítéseket, és ezeket fel is használjuk
i 1
(k )
xi

(k )
kiszámításakor már ismerjük az x1 , x 2 , ,..., x i 1

j 1
( k 1 )
bi , j x j
n


ji
( k 1 )
bi , j x j
 b i , n 1
( i  1, n ; k  1, 2 , 3 ,...)
Példa
3 x1  0 ,1 x 2  0 , 2 x 3  7 ,85
0 ,1 x1  7 x 2  0 , 3 x 3   19 , 3
0 , 3 x1  0 , 2 x 2  10 x 3  71 , 4