Lezione 2 - Università degli Studi di Firenze
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Transcript Lezione 2 - Università degli Studi di Firenze
Claudio Borri
MECCANICA COMPUTAZIONALE
Lezione 2
TITOLO
Rev. 9 aprile 2015
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 1/NDIAP
Sommario
SOMARIO
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 2/NDIAP
Problema elastostatico (continuo 3D)
Il problema elastostatico è caratterizzato dai tre gruppi di equazioni
definiti in ogni punto del continuo
Congruenza:
1 ui u j
ij
2 x j
xi
Legame:
ij
Equilibrio:
ij
xi
kk ij
ij
1
1 2
E
in V
bj 0
Cui si aggiungono le condizioni al contorno:
c.c. statiche
ij n j tˆi
c.c. cinematiche
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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
u i rˆi
su S t
su S r
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 3/NDIAP
Notazione computazionale
In meccanica computazionale si è soliti raccogliere spostamenti, deformazioni e
sforzi nei vettori:
b1
b b2
b3
11
22
33
σ
1
2
23
3 1
1
2
3
ε
12
23
3 1
u1
u u2
u 3
tˆ1
tˆ tˆ2
tˆ
3
rˆ1
rˆ rˆ2
rˆ3
Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione
vengano rappresentati in vettori colonna.
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 4/NDIAP
Problema in notazione computazionale
congruenza: ε cin u
legame:
σ E ε
equilibrio:
sta cin
T
R sta
1
0
0
c.c. statiche:
sta σ b 0
1
0
0
2
0
3
0
2
0
1
3
0
0
0
3
0
2
1
0
0
2
0
2
0
1
3
0
3
0
1
E
3
0
2
R cin
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Corso di Meccanica Computazionale
1
1
0
0
R sta σ tˆ
su S t
c.c. cinematiche: R cin u rˆ
su S r
1
0
E
1 2
0
0 0
0
1 0
0 1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1 2
0
2
0
0
0
1 2
2
0
0
0
0
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 5/NDIAP
0
0
0
0
1 2
2
0
Diagramma di Tonti
spostamenti
R cin u rˆ
u
b
EQUILIBRIO
CONGRUENZA
sta σ b 0
ε cin u
LEGAME
sforzi
generalizzati
σ
R sta σ tˆ
ε
σ E ε
deformazioni
generalizzate
condizioni al contorno statiche
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 6/NDIAP
condizioni al contorno
cinematiche
carichi esterni
Problema unidimensionale (asta)
È possibile generalizzare la notazione matriciale utilizzando la stessa scrittura
per differenti problemi strutturali.
Ad esempio per il caso unidimensionale della biella, i vettori (con una sola
componente) sono:
b qx
σ N
ε x
qx
Nˆ
u u x
tˆ Nˆ
rˆ uˆ x
Nˆ
x
e le matrici relative sono banalmente:
d
T
sta cin
dx
E EA
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R sta 1
R cin 1
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 7/NDIAP
Trave piana rigida a taglio
qx
b
qy
ε
N
σ
M
qy
u x
u
u y
uˆ x
rˆ uˆ y
ˆ
sta cin
T
N
y
qx
ux
x
Nˆ
ˆt Tˆ
ˆ
M
uy
f
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T
M
d x
0
A
EE
0
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0
2
dx
0
J
Trave piana deformabile a taglio
qx
b qy
m
N
σ T
M
qy
ε
qx
u x
u u y
m
sta cin
T
ux
x
N
y
uy
f
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Nˆ
ˆt Tˆ
ˆ
M
T
M
d x
0
0
EA
E 0
0
uˆ x
rˆ uˆ y
ˆ
0
dx
0
0
G As
0
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 9/NDIAP
0
1
2
d x
0
0
E J
Problema piano (di tensione)
Per il problema piano di tensione (che verrà meglio analizzato nel cap. 4), si ha:
qx
b
qy
n
xx
σ n yy
n
xy
xx
ε yy
xy
u x
u
u y
uˆ n
ˆr
uˆ t
pˆ n
ˆt
pˆ t
pˆ n
pˆ t
qy
y
sta cin
T
qx
x
1
Eh
E
1
2
1
0 0
0
0
1
2
R sta
x2
x y
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y
2
x y
2
2
2 x y
x y
x
0
y
x
R cin
y
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 10/NDIAP
0
y
x
y
x
Piastra (o lastra inflessa) rigida a taglio
(teoria di Kirchhoff-Love)
m xx
σ m xx
m
xy
b qz
xx
ε yy
2
xy
u u z
x
y
tˆ
tˆ
mˆ
n
z
qz
tx
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T
h
t
z
sta cin
m xy
uˆ z
rˆ
ˆ t
xx
yy
2
xy
1
3
Eh
E
1
2
12(1 )
0 0
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0
0
1
2
Energia potenziale totale
EPT
u
1
2
V
εu σ u dV
T
V
u b dV
T
u tˆ d A
T
St
Il pedice “u” indica che si tratta di un funzionale in cui la variabile
indipendente sono gli spostamenti (deformazioni e tensioni sono assunti in
funzione di questi tramite congruenza e legame). Nella formulazione agli
spostamenti del FEM è questo il funzionale che utilizzeremo.
È possibile scrivere funzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli
sforzi (metodo delle forze):
• energia potenziale complementare
Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formulazioni miste con
l’assunzione di più variabili indipendenti:
• potenziale di Hellinger-Reissner (spostamenti e sforzi)
• potenziale di Veubeke-Hu-Washizu (spostamenti, deformazioni e sforzi)
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