Transcript Lezione 2 - Università degli Studi di Firenze

Claudio Borri
MECCANICA COMPUTAZIONALE
Lezione 2
TITOLO
Rev. 9 aprile 2015
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 1/NDIAP
Sommario
 SOMARIO
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 2/NDIAP
Problema elastostatico (continuo 3D)
Il problema elastostatico è caratterizzato dai tre gruppi di equazioni
definiti in ogni punto del continuo
Congruenza:
1  ui u j
 ij  

2   x j
 xi
Legame:
 ij 
Equilibrio:
  ij
 xi











kk ij 
 ij
1  
1  2

E
in V
 bj  0
Cui si aggiungono le condizioni al contorno:
c.c. statiche
 ij n j  tˆi
c.c. cinematiche
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u i  rˆi
su S t
su S r
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Notazione computazionale
In meccanica computazionale si è soliti raccogliere spostamenti, deformazioni e
sforzi nei vettori:
 b1 
 
b  b2
 
 b3 
  11 


 22


 33 
σ  


1
2


 
23


  3 1 
 1 


2


 3 
ε 


 12 
 
23



 3 1 
 u1 
 
u  u2
 
 u 3 
 tˆ1 
 
tˆ   tˆ2 
 tˆ 
 3
 rˆ1 
 
rˆ  rˆ2
 
 rˆ3 
Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione
vengano rappresentati in vettori colonna.
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Problema in notazione computazionale
congruenza: ε   cin  u
legame:
σ  E ε
equilibrio:
 sta   cin
T
R sta
 1

 0

 0
c.c. statiche:
 sta  σ  b  0
 1

0

0
 
 2
0

  3
0
2
0
1
3
0
0 

0

3 

0 
2 

 1 
0
0
2
0
2
0
1
3
0
3
0
1
E
3 

0

 2 
R cin
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1  
1

 0

 0
R sta  σ  tˆ
su S t
c.c. cinematiche: R cin  u  rˆ
su S r
1  



 

 0
E
 1  2  
 0

0 0 
  0
1 0
 
0 1 


0
0
1 

0
0

1 
0
0
0
0
1  2
0
2
0
0
0
1  2
2
0
0
0
0
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

0

0 

0 


0 

1  2 

2 
0
Diagramma di Tonti
spostamenti
R cin  u  rˆ
u
b
EQUILIBRIO
CONGRUENZA
 sta  σ  b  0
ε   cin  u
LEGAME
sforzi
generalizzati
σ
R sta  σ  tˆ
ε
σ  E ε
deformazioni
generalizzate
condizioni al contorno statiche
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condizioni al contorno
cinematiche
carichi esterni
Problema unidimensionale (asta)
È possibile generalizzare la notazione matriciale utilizzando la stessa scrittura
per differenti problemi strutturali.
Ad esempio per il caso unidimensionale della biella, i vettori (con una sola
componente) sono:
b  qx 
σ  N 
ε   x 
qx
Nˆ
u  u x 
tˆ   Nˆ 
 
rˆ   uˆ x 
Nˆ
x
e le matrici relative sono banalmente:
 d 
T
 sta   cin  

 dx 
E   EA
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R sta    1 
R cin    1
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Trave piana rigida a taglio
qx 
b   
qy 
 
ε 
 
N 
σ 
M 
qy
u x 
u   
u y 
 uˆ x 
 
rˆ   uˆ y 
ˆ 
 
 sta   cin
T
N
y





qx
ux
x
 Nˆ

ˆt   Tˆ
 ˆ
 M
uy
f
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T
M
d x
 
0
A
EE
0
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0 
2 
dx 
0

J
Trave piana deformabile a taglio
qx 
 
b  qy 
m 
 
N

σ  T

 M
qy


ε 

 




qx
u x 
 
u  u y 
 
 




m
 sta   cin
T
ux
x
N
y
uy
f
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 Nˆ

ˆt   Tˆ
 ˆ
M

T
M





d x

 0

 0
 EA

E 0

 0
 uˆ x 
 
rˆ   uˆ y 
ˆ 
 
0
dx
0
0
G As
0
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 9/NDIAP
0 

1

2
d x 
0 

0

E J 
Problema piano (di tensione)
Per il problema piano di tensione (che verrà meglio analizzato nel cap. 4), si ha:
qx 
b   
qy 
n 
xx


σ   n yy 


n
xy


 
xx


ε    yy 



xy


u x 
u   
u y 
 uˆ n 
ˆr   
 uˆ t 
 pˆ n 
ˆt 
 
 pˆ t 
pˆ n
pˆ t
qy
y
 sta   cin
T
qx
x
1 
Eh 
E
 1
2 
1 
0 0

0
0
1   



2 
R sta
  x2

   x y
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y
2
x y
2
2
2 x  y 

 x y 
 x

 0

 y
 x
R cin  
  y
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 10/NDIAP
0 

y
 x 
y

x
Piastra (o lastra inflessa) rigida a taglio
(teoria di Kirchhoff-Love)
 m xx 


σ   m xx 
m 
 xy 
b  qz 
  xx 


ε    yy 
 2 
 xy 
u  u z 
x
y
 tˆ 
tˆ   
 mˆ 
n
z
qz
tx
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T
h
t
z
 sta   cin
m xy
 uˆ z 
rˆ   
 ˆ t 
  xx 


   yy 
 2 
 xy 

1 
3

Eh
E
 1
2 
12(1   )

0 0

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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 11/NDIAP
0
0
1 
2







Energia potenziale totale

EPT
u

1
2

V
εu  σ u dV 
T

V
u  b dV 
T

u  tˆ d A
T
St
Il pedice “u” indica che si tratta di un funzionale in cui la variabile
indipendente sono gli spostamenti (deformazioni e tensioni sono assunti in
funzione di questi tramite congruenza e legame). Nella formulazione agli
spostamenti del FEM è questo il funzionale che utilizzeremo.
È possibile scrivere funzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli
sforzi (metodo delle forze):
• energia potenziale complementare
Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formulazioni miste con
l’assunzione di più variabili indipendenti:
• potenziale di Hellinger-Reissner (spostamenti e sforzi)
• potenziale di Veubeke-Hu-Washizu (spostamenti, deformazioni e sforzi)
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(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 12/NDIAP