Introduzione - Università degli Studi di Firenze
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Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
v1
v2
θ1
NODO 1
x = x1
l
θ2
NODO 2
x = x2
x
Trave caricata nei nodi,
assenza di sforzo normale
Scelta della funzione interpolante gli spostamenti:
vx f (v1 , v2 ,1 ,2 , x)
v(x x1 ) v1
v(x x2 ) v2
dv
1
dx xx1
dv
2
dx x x2
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
t.c.
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 1/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Sia il sistema di coordinate fissato tale che: x1 = 0 e x2 = l.
Si assume che la funzione interpolante sia del tipo:
v( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
Imponendo le 4 condizioni al contorno troviamo le 4 costanti:
v( 0 ) v1 a0
a 0 v1
v(l) a0 a1l a2l 2 a3l 3 v2
a1 1
dv
v1 1
dx 0
a2
dv
a1 2a2l 3a3l 2 2
dx l
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Corso di Meccanica Computazionale
3
1
21 2
v
v
2
1
l2
l
2
1
a3 2 v1 v2 2 1 2
l
l
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 2/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Quindi:
v( x) 1( x)v1 2 ( x)1 3 ( x)v2 4 ( x)2
dove:
3x 2 2 x 3
1 ( x) 1 2 3
l
l
2x 2 x 3
2 ( x) x
2
l
l
3x 2 2 x 3
3 ( x) 2 3
l
l
x3 x2
4 ( x) 2
l
l
Funzioni di forma Hermitiane:
Sono di ordine almeno C1, ciò significa che rendono sia v che dv/dx continui
tra due elementi adiacenti.
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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 3/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Calcoliamo
la
matrice
di
rigidezza
dell’elemento
k(e) utilizzando
discretizzazione del PLV (equilibrio in forma debole):
l
k ( e ) BT EBdx
0
B cinΩ
dove:
Ω [1 2 3 4 ]
cin
d2
2
dx
d 21 d 2 2 d 23 d 24
B cinΩ 2
dx2
dx2
dx2
dx
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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Operatore cinematico
Matrice delle funzioni di forma
per le deformazioni
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 4/NDIAP
la
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Calcoliamo la matrice delle funzioni di forma per le deformazioni:
d 21 d 2 2 d 23 d 24
B cinΩ 2
2
2
2
dx
dx
dx
dx
d 2 1
dx2
d 2 2
dx2
d 23
dx2
d 2 4
dx2
6 12x
3
2
l
l
4 6x
2
l l
6 12x
2 3
l
l
2 6x
2
l l
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Corso di Meccanica Computazionale
6 12x
B 2 3
l
l
4 6x
2
l l
6 12x
3
2
l
l
2 6x
2
l l
Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 5/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Quindi, la matrice di rigidezza dell’elemento k(e) è:
6 12x 4 6 x 6 12x 2 6 x
B 2 3 2 2 3 2
l
l l l
l
l l
l
l
k
(e)
B EBdx
dove:
T
E EJ
0
l
l
l
0
0
0
k ( e ) BT EB dx BT EJ Bdx EJ BT Bdx
Ad esempio:
k11( e )
2
EJ
6 12x
EJ 2 3 dx ... 12 3
l
l
l
0
l
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Claudio Borri
(rev. 09/04/2015) Capitolo 2: 6/NDIAP